信与系统课后习题与解答第三章

1、3-1求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。图3-1精品解由图3-1可知，f（t）为奇函数，因而a=an4t2兀b=2f(t)sin(n®t)dt,=nT011T4tE=2TotE.-2EJ2sin(n®t)dt=cos(n®t)2in®Tii所以，三角形式的傅利叶级数（FS）为2E11sin(t)+sin(3t)+sin(5t)13151指数形式的傅利叶级数（FS）的系数为F=-jbn2n0,n=0,±2,±4,-,n=0,±1,±3,、n兀所以，指数形式的傅利叶级数为f(t)=jEj

2、EjEcjE2兀ej®1t+ej®1tej®1t+3ej®1t,D=兀兀3兀兀iT3-2周期矩形信号如图3-2所示。若：图3-2重复频率f=5kHz脉宽t=20Ms幅度E二10V求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值的系数解对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数1t2兀F=一J2f(tt)ejntdt,=nT_T1T-2E(n®T)ET(n®T)sin1=Sa1n兀I2JTI2丿1t=2Eej叫dt=T_t12则的指数形式的傅利叶级数(FS)为f(t)=艺Fe加咛=艺SanT'nt、1I2ejnOjtn

3、=gn=g其直流分量为|F|=limETSa0nT0T'nt、1I2Et=T+=2Esin(T)31兀(12丿基波分量的幅度为|F二次谐波分量的幅度为|F2.,E(T)+F=sin2兀I12丿三次谐波分量的幅度为|F3+|F|=2Esin(33上33兀I12丿由所给参数f=5kHz可得10&sin1&沁1.39(V)n二次谐波分量的有效值为多sinJx104nx10x10-6=空Isin36。沁1.32(v)三次谐波分量的有效值为證-sin3x104兀x10x10-6=匹Zsin524。沁1.21(V)13n=104兀rad/s,T=2x10-4s1将各参数的值代入，可

4、得直流分量大小为i°x20x1°-6=1V2x10-4基波的有效值为2sin104nx10x10-63-3若周期矩形信号f(t)和f(t)的波形如图3-2所示，f(t)的参数为1=0.5皿,121T=山s，E二1V；f(t)的参数为1=1.5ys，T=3卩s，E二3V，分别求：2()厶的谱线间隔和带宽(第一零点位置)，频率单位以kHz表示；(2) f(t)的谱线间隔和带宽；2f(t)与f(t)的基波幅度之比；12(4)f(t)基波与f(t)三次谐波幅度之比。122nT解由题3-2可知，图3-2所示周期矩形波形的傅利叶级数为次谐波幅度为2E3n/1'sin3®

5、;I12丿2E.(3nt)sin3nIT丿且基波幅度为2Esin(1)®一2Esin(ntnI12丿nT丿-8'n1)1I2丿ejnf,1f(t)二竽兰Sa另外，周期信号的频谱是离散的，每两根相邻谱线间的间隔就是基频®。周期1矩形信号频谱的包络线是抽样函数，其第一个零点的位置为21令TnOT注意，频谱还可以表示为频率f的函数。由O=2if可知，若以f为频谱图的横轴，则谱线间隔就为，第一个零点的位置就为/=-。T依据以上结论，可得到题中个问题的答案如下：f(t)的谱线间隔=丄=丄=1000kHz1T1卩s带宽(第一零点位置)=1=1=2000kHzt0.5psf(t)

6、的谱线间隔=；x103kHz2T3ps3带宽=x103kHzT1.5ps3卩)的基波幅度_12x1.sm1x0.5ps1psf2的基波幅度_12x3.sin1x1.5ps'3ps丿因此f(t)的基波幅度：f(t)基波幅度2：1=1:31211宙的三次谐波幅度_竽31x1恥sin3ps22因此f(t)基波幅度：f(t)三次谐波幅度一：一=1:112113-4求图3-3所示周期三角信号的傅利叶级数并画出幅度谱2图3-3解由图3-3可知，该周期三角信号是偶函数，因而b二0n即f(t)不包含正弦谐波分量。TtEa二12f(t)dt二02-T2-2TfTE2兀a_2f(t)cos(n®

7、t)dt_,®_n2_T121T-24fT2E/“_2tcos(n®t)dtT0T1n®1tsin(n®t)2-f2sin(100n®t)dt18E(n®T)21cos0,4E(n兀)2n=2,4,n=1,3,11cos(®t)+cos(3®t)+cos(5®t)H1321521幅度谱如图3-4所示图3-43-5求图3-5所示半波余弦信号的傅利叶级数。若E二10V,f=10kHz，大致画出幅度谱。解由图可知，f(t)为偶函数，因而bn1(*X1Ta二2f(t)dt二4Ecos0TTTT-2-4f(t)co

8、s(n®t)dt=Ecostcos(n-IT2兀2兀(n+1)亍匸+cos0dtcos2EJ:T.(n+1、sin兀I2丿n+1.(n-1、sin兀I2丿n-10,n=1n=3,5,7,2En兀cos(1-n2)兀2,n=2,4,6,从而EE2Ef(t)=+cos(t)+cos(2®t)兀213兀12E2E2E-cos(4®t)+cos(6®t)-cos(8®t)+15兀135兀163兀14cos(t)+cos(2®t)13兀1EE=+兀2444-cos(4®t)+cos(6®t)-cos(8®t)+15

9、兀135兀163兀1若E=10V,f=10kHz，则幅度谱如图3-6所示图3-63-6求图3-7所示周期锯齿信号的指数形式的傅利叶级数，并大致画出频谱图图3-7解图3-7所示周期锯齿信号指数形式的傅利叶级数（FS）的系数1fT2兀F=f(t)e-jndt,=nTo11=1t(EToITt+Ee-j叫dt=丿TET21jn®te-j叫丫oEj2n兀,n=±1,±2,2nn从而EjEjEjEjEej®1t+ej®1tej2®/+ej2®一22兀2兀4兀4兀EE=+2兀sint)+sin(2®t)H_121_/兀'

10、;1(兀）coscot+cos2ot一+112J2I12JEE+2兀幅度谱和相位谱分别如图3-8（a）、（b）所示(b)图3-83-7利用信号的对称性，定性判断图3-9中各周期信号的傅利叶级数中所含有的频率分量。解(a)如图3-9(a)所示。因为f(t)是偶函数，所以不含正弦波；又因为f(t)是奇谐函数，所以不含直流项和偶次余弦项。综上，f(t)只含奇次余弦分量。(b) 如图3-9(b)所示。因为f(t)是奇函数，所以不含正弦波；又因为f(t)是奇谐函数，所以不含偶次余弦项。综上，f(t)只含奇次余弦分量(c) 如图3-9(c)所示。因为f(t)是奇谱函数，所以只包含奇次谐波分量。(d) 如图

11、3-9(d)所示。因为f(t)是奇函数，所以只包含正弦分量。(e) 如图3-9(e)所示。因为f(t)是偶函数，所以不含正弦项；又因为f(t)是偶谐函数即f(t+-=f(t),I2丿所以不含奇次谐波分量。综上，f(t)只含有直流和偶次余弦分量。(f) 如图3-9(f)所示。因为f(t)是偶谐波函数，所以不包含奇次谐波分含量；又因为f(t)-丄是奇函数,2所以f(t)-1只包含正弦分量。综上，f(t)只包含直流和偶次谐波的正弦分量。3-8求图3-10中两种周期信号的傅利叶级数。图3-102兀i一T由题3-4知，f(t)二-竺12兀2f(t)=彳-cos2兀23252解(a)如图3-10(a)所示

12、。此题中的f(t)与题3-4中的信号(记为ft)在图形上相同，只是平移了£，即M=f11cos(t)+cos(3t)+cos(5t)+,=1321521_E4E则2兀2_E4E2兀2E_4E+2兀2(兀)1/:3兀)1/t+cosl3®t+cosl5®t+112丿32(、1牙52(、12丿cos2兀,=1T-sin(t)+sin(3®t)-sin(5®t)+sin(7®t)1321521721sin(t)-sin(3®t)+sin(5®t)-sin(7®t)1321521721(b)如图3-10(b)所示

13、。方法一：由于f(t)为偶函数，所以ao=TJ：/（t）dt=T；亍J出tdt+J*Edt+JTT3T444Et+ELtT丿=3E=TT2兀a=f（t）cos（n®t）dt,=竺J41cos（n®t）tdt+2EJTcos（n®t）dt+8EJTcos（n®t）dt一T201TT1T3Tv17442E3n兀+cos（n兀）22E=cos（n兀）2一4E（n兀）28EfrJT23T4tcos（n®t）tdt14E,n=1,3,5.（n兀）2=<0,n=4,8,.8E=26一,n2,6,.、（n兀）24E匚n兀）1一cos2丿（n兀）2V,n

14、=1,2,3,.4E111cos（t）+cos（2t）+cos（3t）+cos（5t）+.12191251方法二：此题还可利用单脉冲信号的FT与周期性脉冲信号的FS的系数之间的关系O=n®1先求如图3-11所示的单脉冲信号f(t)的FT可利用微积分性质。广(t)和f"(t)000分别如图3-12(a)、(b)所示。由于4E4ET3Tf"0(t)=丁5(t)+5(t-T)-5(t-才)+8(t-才)4eT打'o)(t)0T3TT4E(a)由FT的微分性质，得图3-12f"o(t)(4Ef4EAT丿kT丿0T3TT:44T(4Ef4EkT丿kT丿(b

15、)4ET.3T(j®2F(w)=1+e-阿ej4ej4I0Tk丿十口4E(-T.3T'于是F)=e-j4+e-j4-e-何-10T®2,则周期信号的傅利叶系数F=1F0®)nT0_EGmo_n®n_1,3,5,、.3n冗12e-j2n冗1丿_<_v,n_2,6,10,S兀上0,n_4,8,12,3-9求图3-13所示周期余弦切顶脉冲的傅利叶级数，并求直流分量I°。以及基波图3-13和k次谐波的幅度（I和I）。1k(1) 9_任意值9_60。(3)9_90。提示：i(t)-i叫)-严m1-cos9®1为i(t)的重复角频率

16、解图3-13所示信号i(t)=im:cos(®t)-cos9"-,11-cos9为i(t)的重复角频率直流分量1tIJ2i(t)dt,0T_T-2-住Fi2k一止1一cos9®1i®m1cos(®t)-cos9dt11o一sin(t)|飪-1cos92兀(1-cos9)®12sin9-29cosO12兀(1-cos0)I1由于i(t)是偶函数,所以b=0n则基波的幅度-2f丘iaJ®m11T丄1-cos9i兀V1cos9)=G-sin9cos9)"兀(1-cos9)9-d®1-=i(sin9-9cos9)

17、m兀(1-cos9)Los(t)-cos91cos(®t)dt1192sin29cos9+-2sm9®1k次谐波的幅度=2fdiaJ®mkkTJM-cos9®1sin(k+1)9sin(k-1)92sink9cos9+Los(t)-cosocos(k®t)dt11ik(1-cos9)2i(sink9cosO-ksin9fkK(k2-1)(1-cos9)k-1cosk9)(2)当9=60时,isin60。一一cos60。二mI3丿0兀(1-cos60°)i-sin60°-cos60°二m13丿1兀(1-cos60&#

18、176;)0.22im2兀v'3B_Li0.39i(.k兀kn.y2i(knrkn、sin-cos60°一kcos-sin60°!3kcos133丿mI33丿mmm2ik兀(k2-1)-2kn(k2一1)(3)当9=90°时,isin90°一一cos90°.m(2丿i1imm0n(1-cos90°)nnim'n、一sin90°-cos90°12丿i1n2i(sin孚-cos90°一kcos孚-sin90°丿2ikn-cosm2n(1-k2)kn(k2-1)3-10已知周期函数前四

19、分之一周期的波形如图3-14所示。根据下列各种情况的要求画出f(t)在一个周期(0<t<T)的波形。(1) f(t)是偶函数，只含有偶次谐波；(2) f(t)是偶函数，只含有奇次谐波；(3) f(t)是偶函数，含有偶次和奇次谐波；(4) f(t)是奇函数，只含有偶次谐波；(5) f(t)是奇函数，只含有奇次谐波；(6) f(t)是奇函数，含有偶次和奇次谐波。f(t)在0<t<T内解(1)由要求可判断出，f(t)既是偶函数，又是偶谐函数的波形如图3-15(a)所示。图3-15(2) 由要求可判断出，f(t)既是偶函数，又是奇函数。f(t)在0<t<T内的波形如

20、图3-15(b)所示。(3) 有条件可判断出，f(t)是偶函数，亦是非奇偶函数。满足这个条件的f(t)不止一个，下面仅画出一例。f(t)在0<t<T内的波形如图3-15(c)所示。(4) 由要求可判断出，f(t)既是奇函数，有时偶谐函数。f(t)在0<t<T内的波形如图3-15(d)所示。(5) 由要求可判断出，f(t)既是奇函数，又是奇谢函数。f(t)在0<t<T内的波形如图3-15(e)所示。(6) 由要求可判断出，f(t)是奇函数，亦是非奇非偶函数，满足该条件的f(t)不止一个，下面仅画出一例。f(t)在0<t<T内的波形如图3-15(f)

21、所示。3-11求图3-16所示周期信号的傅利叶级数的系数，(a)题求a,b；(b)题求F(b)图3-16解(a)由图3-16(a)可知，fi(t)的周期为4,且在0,4内的函数表达式为sin(兀t)u(t)一u(t一2)o从图3-16(a)中易看出，f(t)在一个周期内的平均只为零，即=4Jo4f（）（2兀）cosn-tdt=I4丿J2sin（兀t）cos20(n兀、(n兀、兀+tsin兀-t1可12丿0,dt=J2Jsin4oIn=2,4,（4-n2）兀,n=1,3,(n兀、(n兀、兀-t-cos兀+t112丿n丰2dt=1J2Jcos4oI（巴tLtI2丿f（t）=K41111cos（t）

22、一一cos（3t）一一cos（5t）+sin（2t）,=1521b=J2sin（兀t）sinn400,=Si一t4所以(b)由图3-16可看出f2（t）=f1t+丄一fft-yl2丿112丿于是1(V”，2兀兀F=jTf(t)e-加彎力,=nT02x0.064Vu0.303x0.064Vu0.019V1000*jx5x2000kx10-7综上所述，(1) 稳态时电容两端电压之直流分量幅度为0.25V，基波幅度为0.313V，五次谐波幅度为0.019V。(2) 电容电压v(t)中直流分量与v(t)中直流分量之比值0.25：0.25=1，v(t)中CiC基波幅度与v(t)中基波幅度之比值为|Hj)

23、|=0.847，v(t)中五次谐波幅1C度与v(t)中五次谐波幅度之比值为H(j5o)|=0.303。由以上比值可分析得1知，此RC电路是一低通滤波器，对高频分量衰减的相对大一些，而对低频分量衰减的相对少一点。3-13学习电路课时已知，LC谐振电路具有选择频率的作用，当输入正弦信号频率与电路的LC谐振频率一致时，将产生较强的输入响应，而当输入信42eJn2dt+J2-sin43I21卩.=2sin4-12=1J2cosKt-e-Jn2tdt-1J2cosKt-e-Jn2tdt4-14322=卜8-12nneJ(1-2加+e-J(1+2加/1J7dtJ2832J(8-4k)k3(2-n)4卞。j

24、(n-2)eJ4J(8+4兀)兀.3(2+n)2e-J4-ej.3/n兀|=e4+(4-n2)兀(4-n2)兀(3)兀t-_I2丿-e-jn2tdteJ(1-細+e-J(1+細:(n+2)4.1/n冗e4dte-/3冗-e/4+e-J4nK(4-n2)k3n兀3兀r=2coscos(n兀)-1-2jsmcos(n兀)-1(4-n2)兀|44=1-cos(nK)cos(n2-4)k(3n兀.3n兀'/sm44丿3-12如图3-17所示周期信号v(t)加到RC低通滤波电路。已知v(t)的重复频率iif1(t)=T=1kHz，电压幅度E=1V,R=1kQ,C=0.1|iF。分别求:v(t)i

25、求上述各分量与v(t)相应分量的比值，讨论此电路对各分量响应的特点i提示：利用电路课所学正弦稳态交流电路的计算方法分别求各频率分量之响应。)解首先把周期电压源信号v(t)展开为傅里叶级数:i1fT2E1Ea=J2tdt=0T0T4tcos(n®t)dt=1-2E<n2®2°，n=1,3，n=2,4，En®'-En=1,3，n=2,4，H(j®)=Ucj®CUiRH1j®C2ft2Eb=J2tsin(n®t)dt=<nT0T1因此E2EEE2Ev(t)=-cos(®t)+sm(®

26、;t)-sm(2®t)-cos(3®t)i4兀21兀12兀19兀21+sin(3®t)-sin(4®t)-cos(5®t)+sin(5®t)H3兀14兀125兀215兀1式中E=1V,®=2nf=2000兀rad/s。11由所给电路，求得电路的频响函数为电压源v(t)中的直流分量iEU=0.25Vi04v(t)中的基波分量的幅度iU=竺+i1兀4兀2v(t)中五次谐波分量的幅度i4E2E2U二+u0.064Vi5625兀425兀2电容两端电压v(t)亦为与v(t)同频率的周期信号，且当U作用时，电容两端电Cii0压U二U二0

27、.25V，亦即v(t)中的直流分量为025V,v(t)中的基波分量的幅C0i0CCj-2000kx10-7度x0.37V=0.847x0.37Vu0.313V1000+j-2000kx10-7v(t)中五次谐波分量的幅度jx5x2000kx10-7C号频率适当偏离时，输出响应相对值很弱，几乎为零（相当于窄带通滤波器）。利用这一原理可从非正弦周期信号中选择所需的正弦频率成分。图3-18所示RLC并联电路和电流源i(t)都是理想模型。已知电路的谐振频率112兀：LC=1kHz,R=lOOkQ，谐振电路品质因数Q足够高(可滤除邻近频率成分)oi(t)为周期矩形波，幅度为1mA。当)的参数(jT)为下

28、列情况时，粗略地画出v(t)输出电压的波形，并注明幅度值。2(1) 1=5Ms,T=10ps;(2) 1=10Ms,T=20Ms;(3)1=15s,T=30s;图3-18解(1)当T=10ms时，(t)的基频f=1=105Hz=100kHz因为电路的谐振频率f=100kHz，所以电路将产生较强的，由i(t)中的基波所引01起的输出电压v(t)oi(t)的傅里叶级数展开式为21i(t)仝1n=1sin(nt)i4x10-3.sm2n兀4sin(t)+4(2®t)x10-3sin2X10-3sm21"12丿12"12丿sin(2®t)1竹)=+上x10罰2注

29、3"I2丿sin(3®t)+1rrt2"其中=2"X105rad/s1T4x10-3xsin2兀2兀X105X10-6X5'A=-x10-3A兀由屮)的傅里叶级数(FS)可知，其基波的幅度为此基波所引起响应电压v(t)二R-1sin(t)(此时电路发生谐振)2114=x10-3x105sin(t)沁127sint)V"11即当t=5Ms,T=10"时，输出电压为一个频率为100kHz，幅度为127V的正弦波，其波形如图3-19(a)所示图3-19(3) (2)当T=20ms时，i(t)的基频f=-=50kHz11T(4) 此时

30、电路产生的输出电压v(t)主要应是由i(t)中的二次谐波分量所引起的21由(1)知，i(t)中二次谐波的幅度I=x10-3sin2T)122"1这里=105rad/s,T=10ps144因而I=x10-3sin2(105"X10X10-6)=x10-3Sin2(")=022"2"即由二次谐波所引起的响应为零。考虑到由其他谐波分量所引起的电压很微弱，所以输出电压v(t)近似为零。2(3) 当T=30卩s时，i(t)的基频f=1=100kHziiT3此时电路产生的输出电压v(t)主要由i(t)的三次谐波分量所引起的。由(1)知,2143ti(t)中

31、三次谐波的幅度Ix10-3sin2()133兀2、rrr兀这里=一x106rad/s,t=15Msi154x10-3sin23x一x106x15x10-6因而I=1533兀2V丿4A=x10-3A3兀此三次谐波所引起的响应4v(t)=R-1sin(3®t)=105xx10-3sin(3®t)=42.4sin(3®t)(V)2313k11即输出电压为一个频率为100kHz，幅度为42.4V的正弦波，其波形如图3-19(b)所示。3-14若信号波形和电路结构仍如图3-18所示，波形参数为t=5ps,T=10ps(1) 适当设计电路参数，能否分别从矩形波中选出以下频率分

32、量的正弦信号：50kHz,100kHz,150kHz,200kHz,300kHz,400kHz?(2) 对于那些不能选出的频率成分，试分别利用其他电路(示意表明)获得所需频率分量的信号。(提示：需利用到电路、模拟电路、数字电路等课程的综合知识，可行方案可能不只一种。)解(1)输入信号i(t)的周期T=10卩s，因而基频f=丄=100kHz11T也就是说，(t)中只包含100kHz的整数倍频率的谐波成分，因此不可能从此矩形波中选出100kHz的非整数倍频率，即50kHz,150kHz。又由题3-13可知，(t)的傅里叶级数(FS)为i(t)仝1n=14x10-3.sm2n兀sin(nt)1其中=

33、2兀x105rad/s,t=5ps1当n=2和n=4时，二次谐波和四次谐波的幅度均为0，因此也不可能从此矩形波中选出200kHz和400kHz的正弦分量。综上所述，当参数为t=5皿T=10Ms时，电路只能从矩形波中选出100kHz和300kHz的正弦分量。选出50kHz的正弦分量可利用如图3-20(a)所示系统。选出150kHz的正弦分量可利用如图3-20(b)所示系统。选出200kHz和100kHz的正弦分量可利用如图3-20(c)所示系统。(a)(b)(c)图3-203-15求图3-21所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图22图3-21解由图3-21易知TT'TT)tut+-

34、ut-一lT丿l2)l2)f(t)二Ecos则此信号的傅里叶变换F()=J2T-25)Ecoste-j®tdtlT丿Ent_ntf兀ej(t-®)2-e-j(t-®)22j-®-2lT丿TtATTAEcos®Ecos®2ETcos12)亠12)dteE1-兀T2T2Tn一+®lT丿j(T-®"+e-j(T+®"EJt=22-T2e-j(兀+®)Tej(汛+®)TeT2-eT2其频谱图如图3-22所示图3-223-16求图3-23所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅里叶变换

35、图3-23解(a)f'(t)的波形如图3-24(a)所示丿f'(t)二(t(tut+-utI2丿I2丿图3-242E-eIVt+TIsft-T2丿等式两边同取傅里叶变换(FT),有F()=Sa2E(®T)(®T)jcosSa®V2丿V2丿<丁丿2E-cosj®2E小(®Tj®T丿当时,(®T(、®T®TEej2+ej2I2丿v丿2E(丽F®)=-TSa用罗必塔法则求F(0),cosF(0)=j2E-lim0-SaSa(®TYl，或F(0)二J2竺tej-o-tdt

36、=；£dt二0一TT一TT-2-2(b)f'(t)的波形如图3-24(b)所示。f'(t)=ESQ-LQ-u(t一T)兀S()+丄j®兀S(®)+丄j®e-j®T=E(1e-j®T)Tj®EF()=(1-j®T-e-j®T)®2T2(c)f'(t)及f"(t)波形如图3-24(c)、(d)所示。4兀22兀-2kEf(t)一壬f(t)+S(t)一S(一-)两边求FT,有4兀22兀E(j®)2F(®)=-F(®)+-(1-e-j

37、4;T)T2T2兀E(1.)(1e-j®-)T4兀2t2一2F(®)=丿2兀ET(1-e-j®-)E®F(®)=i(1e-j®-)4兀2-®2-2®2-®21e一j®2-ej®2-(e一j®2)2其中E®=1®2-®212jE®.(®T)=ism2一21,Te-j2F)=lim1T®12jE®-i2-2®(®T)cosI2丿.®Tlime-j2®T®1ET2

38、j(d)由于f(t)二Esin(®t)(T(T)ut+ut12丿2丿2丿因而f"(t)二E®2sin(®t)11E®1(t8t+-8I2丿即f"(t)二®2f(t)E®两边求FT,有,®Tj2)(j®)2F(®)=®2F(®)+E®(ej2e112E®sin1F(®)=j-(®T2兀,®=®2®21T1其中F(®)二j2E®-1T(®T)-cos2I2丿ET2

39、4;13-17图3-25说是各波形的傅里叶变换可在本章正文或附录表中找到,利用这些结果给出各波形频谱所占带宽B(频谱图或频谱包络图的第一零点值)，注意图中的时间单位都为卩s。-202t(b)矩形双脉冲(a)矩形单脉冲(c)升余弦脉冲(d)三角脉冲22(e)梯形脉冲解(a)f(t)是矩形单脉冲信号，其频谱函数（F（）二EiSa其中E为幅度，T为脉冲宽度。F®)是一抽样寒暑，其第一零点值f=1，此题T中t=4Ms，因此带宽B=1MHz14(b) f(t)是有两个平移了的矩形单脉冲信号合成的，其频谱函数（T、F（）=2EiSacos（3）I2丿其中E仍为脉冲幅度，T为脉冲宽度。由于F

40、74;)的包络是抽样函数，所以带宽B仍为丄，此题中t=4皿，因此宽度B=-MHzT14(c)f(t)为升余弦脉冲信号，其频谱函数Et7F®)的第一零点值f=2，此题中tF=丁其中E为最大幅度f(0)，t为脉冲宽度。“，因此带宽B广4MHz(d)偶对称的三角脉冲信号的频谱函数为竽Sa2，其第一零点值f=2。t此题中f(t)的是平移了半个脉宽的偶对称三角脉冲信号，由FT的时移特性可知,EtFPSa2te_j2其中为E最大幅值，T为脉宽。由于平移不会改变信号的频带宽度，且此题中2t=2Ms，因此带宽B=1MHz1T(e)偶对称的梯形脉冲信号的频谱函数8E"m（T+t）"

41、"m（T-t）_sin1sin1（t-t）rn24L4F）二12第一零点值f二一2。此题中的f(t)是平移了半个脉宽的偶对称梯形脉冲信号,T+T1且T=2ms,=1Ms同（d）可得带宽22B=-MHz1T+T41(f)偶对称抽样脉冲信号Sat)的频谱函数cF）=卜）-u（-）Cc第一零点值f=2。此题中的f(t)是平移了个单位的偶对称抽样脉冲，且2兀c同(d)可得带宽兀1=1Ms，CDc106兀B12兀Hz-2MHz3-18“升余弦滚降信号”的波形如图3-26(a)所示，它在到t3的时间范围内以升余弦的函数规律滚降变化。T0Tt22(b)升余弦滚降信号的分解图3-26f(t)=<

42、;升余弦脉冲信号的表达式可以写成兀(t-T/2+t)1+COS0-2t0或写作f(t)=<恥2-to1-sin兀(t7/2)kT其中，滚降系数k亠=土T/2T求此信号的傅里叶变换式，并画出频谱图。讨论k二0和k二1两种特殊情况的结果。提示：将f(t)分解为f(t)和f(t)之和，如图3-26(b)所示，分别求傅里叶变换在12相加。解根据提示，先考察函数g(t)=<E1-sin2E.(兀t一一1+sm2IkT丿(t>0)(t<0)其波形如图3-27(a)所示。g(t)是一奇函数，因此(b)图3-27-2j41-sinIkT=-jEsin(et)dt一2t0kT-jE-jE

43、1kT-jEkT-jEsin(t)dtsin(keT1ft(兀t)(兀t)cos-1+J0cos+et-cos-et12J201kT丿1kT丿etsin(et)dt2IkT0丿1e(k®tcoscoscos(keTsin+cos-2-sinkeT(keTkeTcos-2-sin-sin-1（兀）kt（兀）kTsin+e1LIkT丿2J1LIkT丿22冗2冗+e-edt（冗.（冗）kT（冗（冗）kT-e-sm|+e-+e-sin-e1kt丿L1kT丿21kT丿1kT丿2kTkT2冗+e2Ikt1-cos-ekeT(keTkeTcos-1-cos(keT-2-sin-e2-e-2-sin

44、-1-e2-ecos-esin+keTkeT-e2-cos-coskeT-sinkeT(ke兀-e2再考察图32(a)所示的g(t)和g(t),121G(e)=G(3)e一购2,G()=G()ej212则图3-26(b)中的信号f(t)的傅里叶变换2F)=G()+G(®)=G()212.i.i'ei'eiAe-je2-eje2=一2jsinG(e)=一jeiSaj2Jj2JG)图3-26(b)中信号f(t)的傅里叶变换F()=EiSaF(e)=F(e)+F(e)=EiSa12<ei、j丁丿=iSa于是=iSa'ei'j丁丿=EiSaI一j

45、4;G+E'ei'j丁cos1一'ei'j亍丿jwiSa一1'ei、j丁丿G)一cos兀、ki丿、>>+E>丿丿2一2'kei、j丁丿其频谱图如图3-27(b)所示。当k=0时，f(t)=f(t)是矩形脉冲信号，其傅里叶变换为F()=EiSa当k=1时，f(t)是升余弦脉冲信号，其傅里叶变换为F()=EiSa21T23-19求图3-28所示F的傅里叶逆变换f(t)。(a)解此题的关键是正确写出频谱函数F()的表达式。(a)由图3-28(a)可知,|F(w)|=aL(w+w)-u(w-w)p(w)=wtu(w+w)-u(w-w)0

46、00由于F)=|F)|ej9(a)=Aejt0lu(w+w)-u-w)所以F(w)=Aejw0L(w+w)-u(w-w)】00先求F（）二aL（+®）-u（-）的傅里叶逆变换。由变换对00Sa(®t)o+®)-u(®-®)1c®00c可知f(t)=A©oSaC®t)10又F()=F()dj®o1利用FT的延时性知f(t)=f(t+1)10即f(t)=A®oSa®(t+1)1兀00(b)由图3-28(b)可知,|F(®)|=aIu(®+®)-u(®

47、-®)1p(®)=-lu(®+®)-u(®)1+lu(®)-u(®-®)12020则F(®)=Aej-2人(®+®)-u(®)+Aej2L(®)-u(®-®)=-jAlu(®+®)-u(®)1+jAlu(®)-u(®-®)100从而-F(®)=-jA)(®+®)-8(®)+jA)(®)-8(®-®)1d®00因为f(t)=F1邑F(®)|=理Lj®01-1L翌1-ej®011id®J2020jA121=2ej®01ej®012=jAL12ej®0tej®0t200=j(1-cos®t)0所以由FT的频域微分性质，有f(t)=迪=A(cos®t-1)=土sin2-jt兀t0兀t3-20函数f(t)可以表示成偶函数f(t)与奇函数f(t)之和，试证明:eo1)若f(t)是实函数，且Ff(t)1=F(®)，则Ff(t)LRer(o)eFf(t)LjIm(F(o)o3