六年级奥数,牛吃草问题,教师讲义

1、牛吃草问题讲义牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是:(1) 草的生长速度=(对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少天数)三(吃的较多天数吃的较少天数)；(2) 原有草量=牛头数X吃的天数一草的生长速度X吃的天数；(3) 吃的天数=原有草量三(牛头数一草的生长速度)；(4) 牛头数=原有草量三吃的天数+草的生长速度。这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为1，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思

2、维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点特点：在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。典例评析例1、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么它可供几头牛吃20天？例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头年吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？小学六年级奥数第-3-页共6页例3、一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量。请问

3、：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量一一即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的；，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多，我教大家

4、一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，也不用管它，【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可俄4头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是(20X10-24X6)(10-6)=14份，原来的草量是(24-14)X6=60份。可供18头牛吃60三(18-14)=15天例2因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有

5、的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量【思考2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？8天，设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：(20X5T6X6)三(6-5)=4份，原来的草量：(20+4)X5=120份，可供11头牛吃1202(11+4)=8天。总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。知识

6、衍变牛吃草基本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法，以后出现样吃草问题，驴吃草问题也知道怎么做，甚至，以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法例3自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？【分析】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”，所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。【思考3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行0分米，另一只每天爬行15分米。黑夜

7、往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？15米。蜗牛每夜下降：(20X5-15X6)三(6-5)=10分米所以井深：(20+10)X5=150分米=15米例4一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？【分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键【思考4】一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用

8、15部相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？5小时。设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是：(20X10-15X10)(20-10)=5份，池内原有的水是：(10-5)X20=100份.所以，用25部抽水机需要：100三(25-5)=5小时思维拓展例5有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和每天增

9、加的量各是多少。【思考5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头？25头。设每头牛每天的吃草量为1份。每天新生的草量为：(23X9-27X6)2(20-10)=15份，原有的草量为(27-15)X6=72份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量72+15X8+2X4=200份。所以这群牛原来有20028=25头例6有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地

10、可供19头牛吃多少天？【分析】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要将这三块草地的面积统一起来。例1一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天小学六年级奥数第-3-页共6页把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽?摘录条件：27头6天原有草+6天生长草23头9天原有草+9天生长草21头？天原有草+?天生长草小学解答：解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为1，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23X9-27X6=45。为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那(9-6)=3天生长出来的

11、，所以每天生长的青草为45三3=15现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？(27-15)X6=72那么：第一次吃草量27X6=162第二次吃草量23X9=207每天生长草量45三3=15原有草量(27-15)X6=72或162-15X6=7221头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72三6=12(天)初中解答：假设原来有的草为x份，每天长出来的草为y份，每头牛每天吃草1份。那么可以列方程：x

12、+6y=27X6x+9y=23X9解得x=72,y=15若放21头牛，设n天可以吃完，贝9：72+15n=21nn=12例2水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？摘录条件：5台20天原有水+20天入库量6台15天原有水+15天入库量?台6天原有水+6天入库量小学解答：设1台1天抽水量为1，第一次总量为5X20=100，第二次总量为6X15=90每天入库量（100-90）三（20-15）=220天入库2X20=40,原有水100-40=6060+2X6=7272三6=12（台）初中解答：假设原来有的水为x

13、份，每天流进来的水为y份，每台机器抽出的水是1个单位。那么可以列方程：x+20y=20X5x+15y=6X15解得x=60,y=2若要6天抽完，设n台机器可以抽完，贝9：60+6X2=6nn=12巩固练习1. 一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。可供25头牛吃天。（）A.10B.5C.20A假设1头牛1天吃草的量为1份。每天新生的草量为：（10X40-15X20）三（40-20）=5（份）。那么愿草量为：10X40-40X5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：200三（25-5）=10（天）。2. 一块草地

14、上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光。那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要只羊。（）A.22B.23C.24B假设1只羊1天吃草的量为1份。每天新生草量是：（14X10-20X5）（10-5）=8（份）原草量是:20X5-8X5=60（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊：60三4+8=23（只）3画展9时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点_分。（）A.10B.12C.15C假

15、设每个人口每分钟进入的观众量是1份。每分钟来的观众人数为（3X9-5X5）F（9-5）=0.5（份）到9时止，已来的观众人数为：3X9-0.5X9=22.5（份）第一个观众来到时比9时提前了：22.520.5=45（分）所以第一个观众到达的时间是9时-45分=8时15分。4.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（）亿人。70设1亿人1年所消耗的资源为1份那么地球上每年新生成的资源量为：（80X300-100X100）（300-100）=70（份）只有当地球每年新生资源

16、不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活：7021=70（亿人）5快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米、小学六年级奥数第-7-页共6页20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用()小时。12自行车的速度是：(20X10-24X6)三(10-6)=14(千米/小时)三车出发时自行车距A地：(24-14)X6=60(千米)慢车追上自行车所用的时间为：60三(19-14)=12(小时)6. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水

17、管不断进水，若用24根抽水管抽水，6小时可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，()小时可将可将水池中的水抽干。18 设1根抽水管每小时抽水量为1份。(1) 进水管每小时卸货量是：(21X8-24X6)2(8-6)=12(份)(2) 水池中原有的水量为：21X8-12X8=72(份)(3) 16根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：722(16-12)=18(小时)7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是()辆。19

18、设每两汽车每小时运的货物为1份。(1) 进水管每小时的进水量为：(8X16-9X12)2(16-12)=5(份)(2) 码头原有货物量是：9X12-12X5=48(份)(3) 3辆汽车运10小时后还有货物量是：48+(5-3)X10=68(份)(4) 后来增加的汽车辆数是：(68+4X5)24-3=19(辆)8有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？8天(1) 按牛的吃草量来计算，80只羊相当于8024=20(头)牛。(2) 设1头牛1天的吃草量为1份。(3) 先求出这片草地每天新生长的草量：(16X20-20X12)2(20-12)=10(份)(4) 再求出草地上原有的草量：16X20-10X20