测量误差与处理

1、第二章第二章 测量误差分析与处理测量误差分析与处理u当对同一量进行多次等精度重复测量，得到一当对同一量进行多次等精度重复测量，得到一系列不同的测量值，称为系列不同的测量值，称为测量列测量列。u利用统计学的方法，从理论上来估计随机误差利用统计学的方法，从理论上来估计随机误差对测量结果的影响，也就是首先从测量列中求对测量结果的影响，也就是首先从测量列中求得一个最优概值，然后对最优概值的测量误差得一个最优概值，然后对最优概值的测量误差作出估计，得出测量值，这就是作出估计，得出测量值，这就是数据处理数据处理。 第一节第一节 随机误差的分布规律随机误差的分布规律 一、随机误差的正态分布性质一、随机误差的

2、正态分布性质n测定值的随机性表明了测量误差的随机性测定值的随机性表明了测量误差的随机性质。质。n随机误差就其个体来说变化是无规律的，随机误差就其个体来说变化是无规律的，但在总体上却遵循一定的统计规律。但在总体上却遵循一定的统计规律。u测量列中的随机误差：测量列中的随机误差： i = xiX0式中式中,i 测量列的随机误差，测量列的随机误差，i = 1，2，3，n； xi 测量列的测量值；测量列的测量值； X0 被测量的真值。被测量的真值。 u随机误差分布的性质随机误差分布的性质u有界性：有界性：在一定的测量条件下，测量的随在一定的测量条件下，测量的随机误差总是在一定的、相当窄的范围内变机误差总

3、是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率接近于动，绝对值很大的误差出现的概率接近于零。零。u单峰性：单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小，绝对值为绝对值大的误差出现的概率小，绝对值为零的误差出现的概率比任何其它数值的误零的误差出现的概率比任何其它数值的误差出现的概率都大。差出现的概率都大。u对称性：对称性：绝对值相等而符号相反的随机绝对值相等而符号相反的随机误差出现的概率相同，其分布呈对称性。误差出现的概率相同，其分布呈对称性。u抵偿性：抵偿性：在等精度测量条件下，当测量在等精度测量条件下，当测量次数不断增加而趋于无穷时，

4、全部随机次数不断增加而趋于无穷时，全部随机误差的算术平均值趋于零。误差的算术平均值趋于零。u正态分布的正态分布的分布密度函数分布密度函数为为 式中，式中， 标准误差（均方根误差）；标准误差（均方根误差）； e e 自然对数的底。自然对数的底。u如用测定值如用测定值x x本身来表示，则本身来表示，则 22212fe202(xX)21fxe2n0ini 11Xlimxnn2ini 11limn二、正态分布密度函数与概率积分二、正态分布密度函数与概率积分u对于一定的被测量，在静态情况下，对于一定的被测量，在静态情况下，X X0 0是一定的，是一定的，的大小表征着诸测定值的的大小表征着诸测定值的弥散程

5、度。弥散程度。u值越小，正态分布密度曲线越尖锐，值越小，正态分布密度曲线越尖锐，幅值越大；幅值越大；值越大，正态分布密度曲值越大，正态分布密度曲线越平坦，幅值越小。线越平坦，幅值越小。u可用参数可用参数来表征测量的精密度，来表征测量的精密度，越越小，表明测量的精密度越高。小，表明测量的精密度越高。u并不是一个具体的误差并不是一个具体的误差，它的数值大小只，它的数值大小只说明了在一定条件下进行一列等精度测量时，说明了在一定条件下进行一列等精度测量时，随机误差出现的概率密度分布情况。随机误差出现的概率密度分布情况。u在一定条件下进行等精度测量时，任何单次在一定条件下进行等精度测量时，任何单次测定值

6、的误差测定值的误差i i可能都不等于可能都不等于，但我们认，但我们认为为这列测定值具有同样的均方根误差这列测定值具有同样的均方根误差；而；而不同条件下进行的两列等精度测量，一般来不同条件下进行的两列等精度测量，一般来说具有不同的说具有不同的值。值。u随机误差出现的性质决定了人们不可能随机误差出现的性质决定了人们不可能正确地获得单个测定值的真误差正确地获得单个测定值的真误差i i的数的数值，而只能在一定的概率意义之下估计测值，而只能在一定的概率意义之下估计测量随机误差数值的范围，或者求得误差出量随机误差数值的范围，或者求得误差出现于某个区间的概率。现于某个区间的概率。u将正态分布密度函数积分将正

7、态分布密度函数积分u概率积分概率积分 202(x X )x21F xedx222b2a1P(ab)ed222a201P( aa)P(a)2ed2 2zz202P(a)P(z )edz(z)2若令若令a=z，则，则第二节第二节 直接测量误差分析与处理直接测量误差分析与处理u子样平均值：子样平均值：代表由代表由n个测定值个测定值x1, x2, , xn组成的子样的散布中心组成的子样的散布中心u子样方差：子样方差：描述子样在其平均值附近散布描述子样在其平均值附近散布程度程度n22ii 11s(xx)nnii 11xxn一、算术平均值原理一、算术平均值原理 u测定值子样的算术平均值是被测量真值的最测定

8、值子样的算术平均值是被测量真值的最佳估计值。佳估计值。u算术平均值的意义算术平均值的意义 设设x x1 1、x x2 2、，x xn n为为n n次测量所得的值，则次测量所得的值，则算术平均值算术平均值 为为 xni12ni 1xxxxxnnu算术平均值的性质算术平均值的性质 用算术平均值代替被测量的真值，则有用算术平均值代替被测量的真值，则有 式中式中 vi xi的剩余误差；的剩余误差； xi 第第i个测量值，个测量值，i=1，2，n。 iivxx （1 1）剩余误差的代数和等于零，即）剩余误差的代数和等于零，即 （2 2）剩余误差的平方和为最小，即）剩余误差的平方和为最小，即01niiv最

9、小niiv12u测定值子样平均值的均方根误差是测定值测定值子样平均值的均方根误差是测定值母体均方根误差的母体均方根误差的 倍。倍。u在等精度测量条件下对某一被测量进行多在等精度测量条件下对某一被测量进行多次测量，用测定值子样平均值估计被测量次测量，用测定值子样平均值估计被测量真值比用单次测量测定值估计具有真值比用单次测量测定值估计具有更高更高的的精密度。精密度。n/1xn二、二、贝塞尔公式贝塞尔公式 u因为真值因为真值X X0 0为未知，所以必须用残差为未知，所以必须用残差v vi i来来表示，即表示，即 此式称此式称贝塞尔公式贝塞尔公式。2222201211nniiniixXnnnnn22i

10、ii1i1vxxn1n1三、测量结果的置信度三、测量结果的置信度 假设用假设用 对对进行估计的误差为进行估计的误差为 ，那，那么么 。对于某一指定的区间。对于某一指定的区间, ， 落在该区间内的概率为落在该区间内的概率为 。 同样地，可以求得测定值子样平均值同样地，可以求得测定值子样平均值 落落在区间在区间, 的概率为的概率为xxxx xP() P(x) xxu 表示表示“测定值子样平均测定值子样平均值这一随机变量出现于一个固定区间值这一随机变量出现于一个固定区间内内 ”这一事件的概率；这一事件的概率；u 表示表示“在宽度一定作随在宽度一定作随机变动的随机区间机变动的随机区间 内包含被内包含被

11、测量真值测量真值”这一事件的概率。这一事件的概率。P(x) P(xx) , x,xu定义区间定义区间 为测量结果的为测量结果的置信区置信区间间，也称为置信限，也称为置信限u为为置信区间半长置信区间半长，也称为误差限，也称为误差限u概率概率 为测量真值经过在为测量真值经过在置信区间置信区间 内的内的置信概率置信概率。u危险率危险率：x,xP(xx) x,xP(xx)1 u置信区间与置信概率共同表明了测量结置信区间与置信概率共同表明了测量结果的果的置信度置信度，即测量结果的可信程度。，即测量结果的可信程度。u对于同一测量结果，置信区间不同，其对于同一测量结果，置信区间不同，其置信概率是不同的。置信

12、概率是不同的。u置信区间越宽，置信概率越大；反之亦置信区间越宽，置信概率越大；反之亦然。然。u一列等精度测量的结果可以表达为在一定一列等精度测量的结果可以表达为在一定的置信概率之下，以测定值子样平均值为的置信概率之下，以测定值子样平均值为中心，以置信区间半长为误差限的量中心，以置信区间半长为误差限的量 测量结果子样平均值测量结果子样平均值置信区间半长置信区间半长（置信概率（置信概率P？）？）例题例题1： 在等精度测量条件下对某透平机械的在等精度测量条件下对某透平机械的转速进行了转速进行了20次测量，获得如下的一列测次测量，获得如下的一列测定值（单位：定值（单位：r/min） 4753.1 47

13、57.5 4752.7 4752.8 4752.1 4749.2 4750.6 4751.0 4753.9 4751.2 4750.3 4753.3 4752.1 4751.2 4752.3 4748.4 4752.5 4754.7 4650.0 4751.0 试求该透平机转速（设测量结果的置信概试求该透平机转速（设测量结果的置信概率率P95）。）。0 .4752x0 . 2447. 0nx9 . 0876. 096. 1%95zP4752.00.9(r/min)(P95%)速度u在实际测量工作中，并非任何场合下都能在实际测量工作中，并非任何场合下都能对被测量进行多次测量，而多为单次测量。对被

14、测量进行多次测量，而多为单次测量。如果知道了在某种测量条件下测量的精密如果知道了在某种测量条件下测量的精密度参数，而且在同样的测量条件下取得单度参数，而且在同样的测量条件下取得单次测量的测定值，那么次测量的测定值，那么单次测量情况下测单次测量情况下测量结果的表达式量结果的表达式为：为：测量结果单次测定值测量结果单次测定值置信区间半长置信区间半长（置信概率（置信概率P P？）？）例题例题2 2： 对例对例1 1所述的透平机转速测量，设测所述的透平机转速测量，设测量条件不变，单次测量的测定值为量条件不变，单次测量的测定值为4753.1 4753.1 r/minr/min，求该透平机转速（测量结果的

15、置，求该透平机转速（测量结果的置信概率信概率P P9595）。）。9 . 396. 1950 . 21zzP可知从例4753.1 3.9 r/min (P95%)速度（） 在同样的置信概率下，用单次测定值在同样的置信概率下，用单次测定值表示测量结果比用多次测量所获得的测定表示测量结果比用多次测量所获得的测定值子样平均值表示的误差大。值子样平均值表示的误差大。四、测量结果的误差评价四、测量结果的误差评价u标准误差标准误差u若测量结果用单次测定值表示，误差限若测量结果用单次测定值表示，误差限采用标准误差，则采用标准误差，则 测量结果单次测定值测量结果单次测定值x标准误差标准误差 （P=68.3%）

16、u若测量结果用测定值子样平均值表示，若测量结果用测定值子样平均值表示，误差限采用标准误差，则误差限采用标准误差，则 测量结果子样平均值测量结果子样平均值x标准误差标准误差 （P=68.3%）u极限误差极限误差u测量列标准误差的三倍，定义为测量列测量列标准误差的三倍，定义为测量列的极限误差的极限误差u子样平均值的极限误差与测量列极限误子样平均值的极限误差与测量列极限误差的关系是差的关系是3 xn五、小子样误差分析与五、小子样误差分析与t分布分布 当测量次数很少时，子样平均值的标准误当测量次数很少时，子样平均值的标准误差很不准确，并且子样容量愈小，这种情况就差很不准确，并且子样容量愈小，这种情况就

17、愈严重。愈严重。 为了在为了在未知的情况下，根据子样平均值未知的情况下，根据子样平均值估计被测量真值，就须考虑一个统计量。它的估计被测量真值，就须考虑一个统计量。它的分布只取决于子样容量分布只取决于子样容量n n，而与，而与无关。这时无关。这时需引入需引入统计量统计量t t。 u定义定义t为为ut不服从正态分布，而服从不服从正态分布，而服从t分布，其概率密度分布，其概率密度函数为函数为式中，式中， 是特殊函数，是特殊函数，v是正整数，称为是正整数，称为t分布分布的自由度。的自由度。 xxxtn (v1) / 22v1()2f (t;)vtv() 12vu当进行当进行n n次独立测量时，由于次独

18、立测量时，由于t t受平均值受平均值的约束，服从自由度为的约束，服从自由度为n n1 1的的t t分布，所分布，所以以 n n1 1。ut t分布与母体均方根误差分布与母体均方根误差无关，只与子无关，只与子样容量样容量n n有关。有关。 u表中列有在各种自由度和置信概率下，满足式表中列有在各种自由度和置信概率下，满足式 的的tp值。它表明自由度为值。它表明自由度为v的的t分布在区间分布在区间tp，tp内的概率为内的概率为P。u假设一列等精度独立测定值假设一列等精度独立测定值x1，x2，xn服服从正态分布，真值和均方根误差均未知。根据从正态分布，真值和均方根误差均未知。根据这一列测定值可求得算术

19、平均值及其均方根误这一列测定值可求得算术平均值及其均方根误差的估计值：差的估计值： ppttpdtvtfttP),()(nii11xxnn2ixi 11(xx)n(n1)u由于由于 服从自由度服从自由度v = n1的的t分布，所分布，所以可用上式做以下的概率描述以可用上式做以下的概率描述或或u测量结果可表示为：测量结果可表示为： 测量结果测量结果xx/ )(pppxxP( tt )P( tt )PppxxP(xtxt)P pxxtP?（置信概率）例例3 3 用光学高温计测量某金属铸液的温用光学高温计测量某金属铸液的温度，得到如下度，得到如下5 5个测量数据（个测量数据（）：）：975975，1

20、0051005，988988，993993，987987 设金属铸液温度稳定，测温随机误差属设金属铸液温度稳定，测温随机误差属于正态分布。试求铸液的实际温度（取于正态分布。试求铸液的实际温度（取P P9595）。）。解：解： 根据根据P P9595和和v v4 4，查表得，查表得t tp p2.782.78，则测，则测量结果为量结果为989.8x52ixi 11(x989.8)4.75 4 pxxt989.8 13.2(P95%) u若上例用正态分布求取给定置信概率下若上例用正态分布求取给定置信概率下的置信温度区间是的置信温度区间是980.6,999.0，这要比，这要比由由t分布求得的区间分布

21、求得的区间小小。u这表明，在测量次数较少的情况下，用这表明，在测量次数较少的情况下，用正态分布计算误差限，往往会正态分布计算误差限，往往会得到得到“太太好好”的结果，夸大了测量结果的精密度的结果，夸大了测量结果的精密度。因此，对小子样的误差分析，应采用因此，对小子样的误差分析，应采用t分分布处理。布处理。第三节第三节 粗大误差粗大误差u粗大误差是指不能用测量客观条件解释粗大误差是指不能用测量客观条件解释为合理的那些突出误差，它明显地歪曲为合理的那些突出误差，它明显地歪曲了测量结果。了测量结果。u含有粗大误差的测定值称为坏值，应予含有粗大误差的测定值称为坏值，应予以剔除。以剔除。u产生粗大误差的

22、原因：产生粗大误差的原因：u测量者的主观原因测量者的主观原因u客观外界条件的原因客观外界条件的原因一、拉伊特准则拉伊特准则u拉伊特准则拉伊特准则(3(3准则准则) )：如果测量列中某如果测量列中某一测定值残差一测定值残差v vi i的绝对值大于该测量列标的绝对值大于该测量列标准误差的准误差的3 3倍，那么可认为该测量列中有倍，那么可认为该测量列中有粗大误差存在，且该测定值为坏值。粗大误差存在，且该测定值为坏值。u坏值剔除后，应重新计算新测量列的算坏值剔除后，应重新计算新测量列的算术平均值及标准误差，并再次进行检验术平均值及标准误差，并再次进行检验看余下的数据中是否还含有坏值看余下的数据中是否还

23、含有坏值。u拉伊特准则是判定粗大误差存在的一种最拉伊特准则是判定粗大误差存在的一种最简单的方法。简单的方法。u拉伊特准则是在重复测量次数拉伊特准则是在重复测量次数n n趋于无穷大趋于无穷大的前提下建立的，当的前提下建立的，当n n有限时，尤其是当有限时，尤其是当n n很小时（如很小时（如n10n10），此准则就不可靠。），此准则就不可靠。二、格拉布斯准则二、格拉布斯准则 对某一被测量进行多次等精度独立测量，对某一被测量进行多次等精度独立测量，获得一列测定值获得一列测定值x1，x2，xn。 为了检查测定值中是否含有粗大误差，为了检查测定值中是否含有粗大误差，将将xi由小到大按顺序排列为由小到大按

24、顺序排列为)()2()1(nxxx nn2iii 1i 111xx ,xxnn1格拉布斯按照数理统计理论导出了统计量格拉布斯按照数理统计理论导出了统计量的分布，取定危险率的分布，取定危险率a a，可求得临界值，可求得临界值g g0 0(n,a)(n,a)，而而(n)(1)(n)(1)xxxxg,g(n)0(1)0 xxPgn,xxPgn, 这样，得到了判定粗大误差的格拉布斯这样，得到了判定粗大误差的格拉布斯准则：若测量列中最大测定值或最小测定值准则：若测量列中最大测定值或最小测定值的残差有满足的残差有满足 者，则可认为含有残差者，则可认为含有残差v vi i的测定值是坏值，的测定值是坏值，因此

25、该测定值按危险率因此该测定值按危险率a a应该剔除。应该剔除。(1)0vg (n,a) (i1n) 或u用格拉布斯准则判定测量列中是否含有粗用格拉布斯准则判定测量列中是否含有粗大误差的坏值时，选择不同的危险率可能大误差的坏值时，选择不同的危险率可能得到不同的结果。得到不同的结果。u危险率的含义是按本准则判定为异常数据，危险率的含义是按本准则判定为异常数据，而实际上并不是，从而犯错误的概率。而实际上并不是，从而犯错误的概率。u危险率就是误剔除的概率。危险率就是误剔除的概率。例例5 5 测某一介质温度测某一介质温度15次，得到以下一次，得到以下一列测定值数据（列测定值数据（）：）： 20.42，2

26、0.43，20.40，20.43，20.42， 20.43，20.39，20.30，20.40，20.43， 20.42，20.41，20.39，20.39，20.40 试判断其中有无含有粗大误差的坏值。试判断其中有无含有粗大误差的坏值。解：解：(1)按大小顺序将测定值重新排列按大小顺序将测定值重新排列20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41，20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43(2)计算子样平均值和测量列标准误差计算子样平均值和测量列标准误差15152iii 1i 111xx20.404,xx

27、0.0331515 1(3)(3)选取选取a a5 5，查表得，查表得g g0 0(15,5(15,5) )2.412.41(4) (4) 计算最大与最小测定值的残差，并用格拉布计算最大与最小测定值的残差，并用格拉布斯准则判定斯准则判定因因故故x x(1)(1)20.3020.30在在a a5 5下被判定为坏值而剔除。下被判定为坏值而剔除。026. 0,104. 0)15()1(vv080. 0%)5 ,15(0)1(gv(5)(5)剔除含有粗大误差的坏值后，重新计算余下测剔除含有粗大误差的坏值后，重新计算余下测定值的算术平均值和标准误差，查表求新的临定值的算术平均值和标准误差，查表求新的临界

28、值，再进行判定。界值，再进行判定。 故余下的测定值中已无粗大误差的坏值。故余下的测定值中已无粗大误差的坏值。0(1)(14)0 x20.411,0.016g (14,5%)2.37v0.021,v0.019g (14,5%)0.038 系统误差与随机误差在性质上是不系统误差与随机误差在性质上是不同的，它的出现具有一定的规律性，不同的，它的出现具有一定的规律性，不能像随机误差那样依靠统计的方法来处能像随机误差那样依靠统计的方法来处理，只能采取具体问题具体分析的方法，理，只能采取具体问题具体分析的方法，通过仔细的校验和精心的试验才能发现通过仔细的校验和精心的试验才能发现与消除。与消除。第四节第四节

29、 系统误差的分析与处理系统误差的分析与处理 设有一列测定值设有一列测定值x x1 1，x x2 2，x xn n，若，若测定值测定值x xi i中含有系统误差中含有系统误差i i，消除系统误，消除系统误差之后其值为差之后其值为xxi i，则，则x xi i = x= xi i + +i i，其，其算术平均值为算术平均值为 式中，式中， 是消除系统误差之后的一列测定是消除系统误差之后的一列测定值的算术平均值。值的算术平均值。 nnnnniiiiiii 1i 1i 1i 1i 111111xx(x)xxnnnnn x一、系统误差的性质一、系统误差的性质 测定值测定值x xi i的残差的残差 式中，

30、式中，vvi i是消除系统误差之后的测定值的残差。是消除系统误差之后的测定值的残差。nniiiiiiiii 1i 1niiii 111vxx(x)xxxnn1vn由此，可以得到系统误差的两点性质：由此，可以得到系统误差的两点性质：（1 1）对恒值系统误差，由于）对恒值系统误差，由于 ，所以，所以v vi i = = vvi i。由残差计算出的测量列的均方根误差。由残差计算出的测量列的均方根误差 式中，式中， 是消除系统误差后测量列的均方根误差。是消除系统误差后测量列的均方根误差。nn22iii 1i 111vvn1n1niiin11 因此，得到系统误差的性质之一：因此，得到系统误差的性质之一：

31、恒恒值系统误差的存在，只影响测量结果的值系统误差的存在，只影响测量结果的准确度，不影响测量的精密度参数。如准确度，不影响测量的精密度参数。如果测定值子样容量足够大，含有恒值系果测定值子样容量足够大，含有恒值系统误差的测定值仍服从正态分布。统误差的测定值仍服从正态分布。 (2)对变值系统误差，一般有对变值系统误差，一般有 ，所以所以vi vi，。 因此，得到系统误差的第二个性质：因此，得到系统误差的第二个性质：变值系统误差的存在，不仅影响测量结变值系统误差的存在，不仅影响测量结果的准确度，而且会影响测量的精密度果的准确度，而且会影响测量的精密度参数。参数。 n1iiin1二、系统误差处理的一般原

32、则二、系统误差处理的一般原则 1 1在测量之前，应该尽可能预见到产生系统误在测量之前，应该尽可能预见到产生系统误差的来源，设法消除之。或者使其影响减少到可差的来源，设法消除之。或者使其影响减少到可以接收的程度。以接收的程度。 系统误差的来源一般可以归纳为以下几个方系统误差的来源一般可以归纳为以下几个方面：面：由于测量设备、试验装置不完善，或安装、调整，由于测量设备、试验装置不完善，或安装、调整，使用不得当而引起的误差。使用不得当而引起的误差。由于外界环境因素的影响而引起的误差。由于外界环境因素的影响而引起的误差。由于测量方法不正确，或者测量方法所赖以存在由于测量方法不正确，或者测量方法所赖以存

33、在的理论本身不完善而引起的误差。的理论本身不完善而引起的误差。 2 2在实际测量时，尽可能地采用有效的测量方在实际测量时，尽可能地采用有效的测量方法，消除或减弱系统误差对测量结果的影响。法，消除或减弱系统误差对测量结果的影响。 （1 1）对置法：消除恒值系统误差常用的方法。对置法：消除恒值系统误差常用的方法。 这种方法的实质是交换某些测量条件，使得这种方法的实质是交换某些测量条件，使得引起恒值系统误差的原因以相反的方向影响测量引起恒值系统误差的原因以相反的方向影响测量结果，从而中和其影响。结果，从而中和其影响。 例如，在两臂为例如，在两臂为l l1 1,l,l2 2的天平上称重，的天平上称重，

34、先将被测重量先将被测重量x x放在左边，标准砝码放在左边，标准砝码P P放放在右边，调平衡后，有在右边，调平衡后，有Pllx12 若若l l1 1与与l l2 2不严格相等，则取不严格相等，则取x xP P必引入恒必引入恒值系统误差，此时，若将值系统误差，此时，若将x x、P P交换位置，由于交换位置，由于l l1 1ll2 2，P P需换为需换为PP才能与才能与x x平衡，即平衡，即 于是可取于是可取 这样可消除因天平臂长不等而引入的恒值这样可消除因天平臂长不等而引入的恒值系统误差。系统误差。xllP21PPxPP2 （2 2）对称观测法：消除线性变化的累进系统误对称观测法：消除线性变化的累

35、进系统误差最有效的方法。差最有效的方法。 若在测量过程中存在某种随时间呈线性变若在测量过程中存在某种随时间呈线性变化的系统误差，则可以通过对称观测法来消除。化的系统误差，则可以通过对称观测法来消除。它就是将测量以某一时刻为中心对称地安排，它就是将测量以某一时刻为中心对称地安排，取各对称点两次测定值的算术平均值作为测量取各对称点两次测定值的算术平均值作为测量结果，即可达到消除线性变化的累进系统误差结果，即可达到消除线性变化的累进系统误差的目的。的目的。 u由于许多系统误差都随时间变化，而且由于许多系统误差都随时间变化，而且在短时间内可认为是线性变化。因此，在短时间内可认为是线性变化。因此，如果条

36、件许可均宜采用对称观测法。如果条件许可均宜采用对称观测法。（3 3）半周期偶数观测法：可以很好地消除周半周期偶数观测法：可以很好地消除周期性变化的系统误差。期性变化的系统误差。 周期性系统误差可表示为周期性系统误差可表示为 其中其中为常数，为常数，t t 为决定周期性误差的量，为决定周期性误差的量，T T为周期性系统误差的变化周期。为周期性系统误差的变化周期。tT2sina 当当t = tt = t0 0时，周期性误差时，周期性误差0 0为为当当 时，时， 而而 。 可见，测得一个数据后，相隔可见，测得一个数据后，相隔t t的半个周期的半个周期再测一个数据，取二者的平均值，即可消去周再测一个数

37、据，取二者的平均值，即可消去周期性系统误差。期性系统误差。00tT2sina2Ttt0 T2sina2TtT2sina010210 3 3在测量之后，通过对测定值进行数据处在测量之后，通过对测定值进行数据处理，检查是否存在尚未被注意到的变值系统误理，检查是否存在尚未被注意到的变值系统误差。差。 4 4最后，要设法估计出未被消除而残留下最后，要设法估计出未被消除而残留下来的系统误差对最终测量结果的影响。来的系统误差对最终测量结果的影响。 三、系统误差存在与否的检验三、系统误差存在与否的检验u一般情况下，人们不能直接通过对等精度测一般情况下，人们不能直接通过对等精度测量数据的统计处理来判断恒值系统

38、误差的存量数据的统计处理来判断恒值系统误差的存在，除非改变恒值系统误差产生的测量条件；在，除非改变恒值系统误差产生的测量条件；但对于变值系统误差，有可能通过对等精度但对于变值系统误差，有可能通过对等精度测量数据的统计处理来判定变值系统误差的测量数据的统计处理来判定变值系统误差的存在。存在。u在容量相当大的测量列中，如果存在着非在容量相当大的测量列中，如果存在着非正态分布的变值系统误差，那么测定值的正态分布的变值系统误差，那么测定值的分布将偏离正态，检验测定值分布的正态分布将偏离正态，检验测定值分布的正态性，将揭露出变值系统误差的存在。性，将揭露出变值系统误差的存在。u在实际测量中，往往不必作烦

39、冗细致的正在实际测量中，往往不必作烦冗细致的正态分布检验，可以借助于考察测定值残差态分布检验，可以借助于考察测定值残差的变化情况和利用某些较为简捷的判据来的变化情况和利用某些较为简捷的判据来检验变值系统误差的存在。检验变值系统误差的存在。 1 1根据测定值残差的变化判定变值系统误差的根据测定值残差的变化判定变值系统误差的存在存在 若对某一被测量进行多次等精度测量，获若对某一被测量进行多次等精度测量，获得一系列测定值得一系列测定值x x1 1，x x2 2，x xn n，各测定值的，各测定值的残差表示为残差表示为 niiiii 11vvn 如果测定值中系统误差比随机误差大，那么，如果测定值中系统

40、误差比随机误差大，那么，残差残差v vi i的符号将主要由的符号将主要由 项的符号来决定。项的符号来决定。因此，如果将残差按照测量的先后顺序排列起来。因此，如果将残差按照测量的先后顺序排列起来。这些残差的符号变化将反映出这些残差的符号变化将反映出 的符号变化，进而反映出的符号变化，进而反映出i i的符号变化。由于的符号变化。由于变值系统误差变值系统误差i i的变化具有某种规律，因而残的变化具有某种规律，因而残差差v vi i的变化也具有大致相同的规律性。的变化也具有大致相同的规律性。 n1iiin1n1iiin1由此可得：由此可得： 准则准则：将测量列中诸测定值按测量的先：将测量列中诸测定值按

41、测量的先后顺序排定，若残差的大小有规律地向一个方后顺序排定，若残差的大小有规律地向一个方向变化，由正到负或者相反，则测量列中会有向变化，由正到负或者相反，则测量列中会有累进的系统误差。累进的系统误差。 准则准则：将测量列中诸测定值按测量的先：将测量列中诸测定值按测量的先后顺序排定，若残差的符号呈有规律的交替变后顺序排定，若残差的符号呈有规律的交替变化，则测量列中含有周期性的系统误差。化，则测量列中含有周期性的系统误差。 例例6 对某恒温箱内的温度进行了对某恒温箱内的温度进行了1010次测量，次测量，一次获得如下测定值（一次获得如下测定值（）：）： 20.0620.06，20.0720.07，2

42、0.0620.06，20.0820.08，20.1020.10 20.12 20.12，20.1420.14，20.1820.18，20.1820.18，20.2120.21 试判定该测量列中是否存在变值系统误试判定该测量列中是否存在变值系统误差。差。解：解：计算各测定值的残差，并按先后顺序排列如计算各测定值的残差，并按先后顺序排列如下：下：-0.06-0.06，-0.05-0.05，-0.06-0.06，-0.04-0.04，-0.02-0.02，0 0，0.020.02，0.060.06，0.060.06，0.090.09 可见，残差由负变正，其数值逐渐增大，可见，残差由负变正，其数值逐渐

43、增大，故测量列中存在累进系统误差。故测量列中存在累进系统误差。12.20 x 2 2利用判据来判定变值系统误差的存在利用判据来判定变值系统误差的存在 根据残差变化情况来判定变值系统误根据残差变化情况来判定变值系统误差的存在，只有在测定值所含系统误差比差的存在，只有在测定值所含系统误差比随机误差大的情况下才是有效的。否则，随机误差大的情况下才是有效的。否则，残差的变化情况并不能作为变值系统误差残差的变化情况并不能作为变值系统误差存在与否的依据。为此，还需要进一步依存在与否的依据。为此，还需要进一步依靠统计的方法来判别。下面给出几个变值靠统计的方法来判别。下面给出几个变值系统误差存在与否的判据。这

44、些判据的实系统误差存在与否的判据。这些判据的实质是以检验分布是否偏离正态为基础的。质是以检验分布是否偏离正态为基础的。 判据判据1：对某一被测量进行多次等精度测量，获对某一被测量进行多次等精度测量，获得一列测定值得一列测定值x1，x2，xn，各测定值的残差，各测定值的残差依次为依次为v1，v2，vn。把前面。把前面k个残差和后面个残差和后面（nk）个残差分别求和（当）个残差分别求和（当n为偶数时，取为偶数时，取k = n/2；当；当n为奇数时，取为奇数时，取k = (n + 1)/2），并取其差），并取其差值值 若差值若差值D显著地异于零，则测量列中含有累进的显著地异于零，则测量列中含有累进的

45、系统误差。系统误差。 nkiik1iin1kiik1iivvDnvvD为奇数时， 判据判据2：对某一被测量进行多次等精度测量，获对某一被测量进行多次等精度测量，获得一列测定值得一列测定值x1，x2，xn，各测定值的真误，各测定值的真误差依次为差依次为1，2，n。 设设 ，若，若 ，则可认为该测，则可认为该测量列中含有周期性系统误差。其中量列中含有周期性系统误差。其中是该测量列是该测量列的均方根误差。的均方根误差。 判据判据2是以独立真误差的正态分布为基础的。是以独立真误差的正态分布为基础的。在实际计算中，可以用残差在实际计算中，可以用残差vi来代替来代替i。1n1i1iiC2Cn1例例7 试用

46、判据试用判据1 1、2 2来判定例来判定例6 6中的测量列中的测量列是否含有系统误差。是否含有系统误差。解：计算得到各测定值的残差：解：计算得到各测定值的残差：-0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，0.02，0.06，0.06，0.09用判据用判据1检验检验因为因为可见，可见，D显著地显著地异于零，故可认为测量异于零，故可认为测量列中含有累进系统误差。这与准则列中含有累进系统误差。这与准则1判判定的结论相同。定的结论相同。46. 023. 023. 010651iiiivvD09. 0max vDu当测量次数无穷大时，只要当测量次数无穷大时，只要D0，一般就，一般就可

47、认为测量列中含有累进系统误差。可认为测量列中含有累进系统误差。u当测量次数当测量次数n有限时，有限时， D0不能说明累进不能说明累进误差的存在，一般采用误差的存在，一般采用D vmax作为作为判定测量列中累进系统误差存在的依据。判定测量列中累进系统误差存在的依据。用判据用判据2 2检验检验因为因为 故可判定测量列内含有周期性系统误差。故可判定测量列内含有周期性系统误差。这一结果在例这一结果在例6 6中未曾得到。中未曾得到。 这说明，在判定一个测量列中是否会有变这说明，在判定一个测量列中是否会有变值系统误差时，联合运用上述判定变值系统误值系统误差时，联合运用上述判定变值系统误差存在与否的准则和判

48、据是有益的。差存在与否的准则和判据是有益的。0091. 09,055. 00194. 0)(2111niiivvC0091. 090194. 02C第五节第五节 间接测量误差分析与处理间接测量误差分析与处理u在间接测量中，测量误差是各个测量值在间接测量中，测量误差是各个测量值误差的函数。因此，研究间接测量的误误差的函数。因此，研究间接测量的误差也就是研究函数误差。差也就是研究函数误差。 u研究函数误差有下列三个基本内容：研究函数误差有下列三个基本内容：u已知函数关系和各个测量值的误差，求函数已知函数关系和各个测量值的误差，求函数即间接测量值的误差。即间接测量值的误差。u已知函数关系和规定的函数

49、总误差，要求分已知函数关系和规定的函数总误差，要求分配各个测量值的误差。配各个测量值的误差。u确定最佳的测量条件，即使函数误差达到最确定最佳的测量条件，即使函数误差达到最小值时的测量条件。小值时的测量条件。 一、误差传布原理一、误差传布原理u设间接测量值设间接测量值y是直接测量值是直接测量值x1，x2，xm的函数，其函数关系的一般形式可表的函数，其函数关系的一般形式可表示为示为y = f（x1，x2，xm）u假定对假定对x1，x2，xm各进行了各进行了n次测量，次测量，那么每个那么每个xi都有自己的一列测定值都有自己的一列测定值xi1，xi 2，xi n，其相 应 的 随 机 误 差，其相 应

50、 的 随 机 误 差为为 ， ， ， 。1 i2iinu若将测量若将测量x1，x2，xm时所获得的第一个测定时所获得的第一个测定值代入函数关系式，可求得间接测量值的第一个值代入函数关系式，可求得间接测量值的第一个测定值测定值y1，即，即y1 = f（x11，x21，xm1）u由于测定值由于测定值x11，x21，xm1与真值之间存在随与真值之间存在随机误差，所以机误差，所以y1与真值之间也必定有误差，记为与真值之间也必定有误差，记为y1。由误差的定义，上式可写为。由误差的定义，上式可写为 Y+y1=f（X1+11 , X2 +21 , Xm+m1 ） 若若 较小，且诸较小，且诸X Xi i是彼此

51、独立的量，是彼此独立的量，将上式按泰勒公式展开，并取其误差的将上式按泰勒公式展开，并取其误差的一阶项作为一次近似，略去一切高阶误一阶项作为一次近似，略去一切高阶误差项，那么上式可近似写成差项，那么上式可近似写成1 iy112m1121m112mfffYf X ,X ,Xxxx 同样地，将测量同样地，将测量x x1 1，x x2 2，x xn n时所获得的第时所获得的第二、第三，直至第二、第三，直至第n n个测定值分别代入函数关系个测定值分别代入函数关系式，可得式，可得 y212m1222m212mfffYf X ,X ,Xxxxyn12m1n2nmn12mfffYf X ,X ,Xxxx 将上

52、述各式相加并除以将上述各式相加并除以n n，可求得间接测量值，可求得间接测量值的算术平均值的算术平均值 ，也就是，也就是Y Y的最优概值的最优概值 ynyjj 112mnnn1j2jmjj 1j 1j 112m1yYnf XXXf1f1f1xnxnxn 式中，式中， 正好是测量正好是测量x xm m时所得一列测定时所得一列测定值的算术平均值值的算术平均值 的随机误差，记为的随机误差，记为 ，所以所以 nmjj 11nmx12mx1x2xm12mfffyf XXXxxxmx 另一方面，将直接测量另一方面，将直接测量x x1 1，x x2 2，x xm m所获所获得的测定值的算术平均值得的测定值的

53、算术平均值 ， , , 代入函数代入函数关系式，并将其在关系式，并将其在x x1 1，x x2 2，x xm m的邻域内用泰的邻域内用泰勒公式展开，可有勒公式展开，可有 1x1x2xmx12m12mx1x2xm12mx1x2xm12mf x ,x ,xf X,X,Xffff XXXxxx 将上两式进行比较，可得将上两式进行比较，可得 由此可得出由此可得出结论结论：间接测量值的最佳估计值可：间接测量值的最佳估计值可以由与其有关的各直接测量值的算术平均值代入以由与其有关的各直接测量值的算术平均值代入函数关系式求得。函数关系式求得。 12myf x ,x ,x 并且可以知道，直接测量值并且可以知道，

54、直接测量值x x1 1，x x2 2，x xm m第第j j次测量获得的测定值的误差次测量获得的测定值的误差 ， ， 与其相应的间接测量值与其相应的间接测量值Y Y的误差的误差 之间关系应之间关系应为为 j1j2mjyj1j2jmj12mfffxxx yj 假定假定 的分布服从正态分布（只有当的分布服从正态分布（只有当y y与与x x1 1，x x2 2，x xn n之间存在线性关系时，这种假设才之间存在线性关系时，这种假设才成立，否则只是近似成立），那么可求得成立，否则只是近似成立），那么可求得y y的的标准误差标准误差 yjn2yyjj 11n 其中其中2nn2yj1j2jmjj 1j 1

55、12m222nnn2221j2jmjj 1j 1j 112mnnn1j2j1j 3jmjm 1 jj 1j 1j 11213mm 1fffxxxfffxxxffffff2xxxxxx 根据随机误差的性质，若直接测量值根据随机误差的性质，若直接测量值xi彼彼此独立，则当测量次数无限增加时，必有此独立，则当测量次数无限增加时，必有 （ik） 所以所以nijkjj 10 222nnnn2222yj1j2 jmjj 1j 1j 1j 112mfffxxx 则则 而而 正好是第正好是第i i个直接测量值个直接测量值x xi i的标准误差的标准误差的平方的平方 ，因此可得出间接测量值的标准误差，因此可得出间接测量值的标准误差 与诸直接测量值的标准误差之间如下的关系：与诸直接测量值的标准误差之间如下的关系： 222nnn222y1j2jmjj 1j 1j 112m1f1f1fnxnxnx n2ijj 11n2i 式中，式中， 称为误差传递系数，称为误差传递系数， 称为自变称为自变量量x xi i的部分误差，记为的部分误差，记为D Di i。 由此可得出由此可得出结论结论：间接