（课标通用）2018年高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布大题冲关 理

1、第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布高考中概率与统计问题的热点题型1概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力2概率问题的核心是概率计算其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年新课标全国卷突出回归分析的考查3离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透，背境新颖，充分体现了概率与统计的工具性

2、和交汇性热点一统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择题或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查典题1一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：学生A1A2A3A4A5数学成绩x(分)8991939597物理成绩y(分)8789899293(1)要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；(2)根据上表数据，用变量y与x的相关系数和散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程(系数精确到0.

3、01)；如果不具有线性相关关系，请说明理由参考公式：相关系数r；回归直线的方程是x，其中，；参考数据：93，90，(xi)240，(yi)224，(xi)(yi)30，6.32，4.90.解(1)从5名学生中任取2名学生的所有情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共10种情况其中至少有一人的物理成绩高于90分的情况有(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共7种情况，故选中的学生中至少有一人的物理

4、成绩高于90分的概率为.(2)变量y与x的相关系数是r0.97.可以看出，物理成绩与数学成绩高度正相关散点图如图所示：从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩正相关设y与x的线性回归方程是x，根据所给的数据，可以计算出0.75，900.75×9320.25，所以y与x的线性回归方程是0.75x20.25.1求解线性回归方程时，要熟悉公式中每个量的实际含义，要有很强的计算能力，运算时要细心，一个数据错误，将会导致整个求解的错误2对于非线性回归方程，可利用换元的方式化为线性回归方程来求解，然后再写成非线性回归方程的形式2017·河北石

5、家庄模拟4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相

6、互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X)附：K2，nabcd.P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解：(1)2×2列联表如下：非读书迷读书迷总计男401555女202545总计6040100K28.2496.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关(2)将频率视为概率，则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P.由题意可知，XB，P(Xi)Ci3i(i0,1,2,3)X的分布列为X0123P均值E(X)np3×，方差D(X)np(1p)3××.热点

7、二常见概率模型的概率计算几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点几何概型主要以客观题形式考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式典题2现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去

8、参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量的分布列解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4)则P(Ai)Ci4i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)C22.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4，且A3与A4互斥，P(B)P(A3A4)P(A3)P(A4)C3×C4.(3)依题设，的所有可能取值为0,2,4，则P(0)P(A2)，P(2)P(A1A3)P(A1)P

9、(A3)C13C3×，P(4)P(A0A4)P(A0)P(A4)C4C4.所以的分布列为024P1本题4个人中参加甲游戏的人数服从二项分布，由独立重复试验，4人中恰有i人参加甲游戏的概率PCi4i，这是本题求解的关键2解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把0,2,4的事件转化为相应的互斥事件的概率和A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10,11,12,13,14,15,16；B组：12,13,15,16,17,14，a.假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，

10、B组选出的人记为乙(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i1,2，7.由题意可知，P(Ai)P(Bi)，i1,2，7.(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，记为事件A，且AA5A6A7.由互斥事件的概率公式，则P(A)P(A5)P(A6)P(A7).(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”由题意知，CA4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6.因此P(C)P(

11、A4B1)P(A5B1)P(A6B1)P(A7B1)P(A5B2)P(A6B2)P(A7B2)P(A7B3)P(A6B6)P(A7B6)10P(A4B1)10P(A4)P(B1).热点三离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练典题3甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多

12、者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)，P(Bk)，k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)2×2××2.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B

13、2)P(A1)P(A2)P(B1)·P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列为X2345PE(X)2×3×4×5×.1求离散型随机变量的均值和方差的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值第二步：求每一个可能值所对应的概率第三步：列出离散型随机变量的分布列第四步：求均值和方差第

14、五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范2求解离散型随机变量的分布列与期望，关键要过好“三关”：一是“判断关”，即依题意判断随机变量的所有可能的取值；二是“求概率关”，即利用两个计数原理、排列与组合内容，以及古典概型的概率公式求随机变量取各个值时的概率；三是“应用定义关”，即列出随机变量的分布列，并利用随机变量的数学期望的定义进行计算，若能判定随机变量X服从二项分布，可利用E(X)np，D(X)np(1p)避免繁杂运算，提高解题的准确性为备战2020年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3,9.0,7.9,7.

15、8,9.4,8.9,8.4,8.3；乙：9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5.(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度分析，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为X，求X的分布列及均值E(X)、方差D(X)解：(1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图所示(2)8.5，又s0.27，s0.405，得s<s，选派甲合适(3)依题意得，乙不低于8.5分的频率为，X的可能取值为0,1,2,3，则XB，P(Xk)Ck3kC3，

16、k0,1,2,3.X的分布列为X0123PE(X)np3×，D(X)np(1p)3××.热点四概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算典题4第一届全国青年运动会某服务部需从大学生中招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组75,80)，第2组80,85)，第3组85,90)，第4组90,95)，第5组95,100，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3,4,5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6人进行面试已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望解(1)由频率分布直方图知，第3组的人数为5×0.06×4012，第4组的人数为5×0.04×408，第5组的人数为5×0.02×