理论力学平面汇交力系

1、12研究内容：力系的简化和平衡条件研究内容：力系的简化和平衡条件引引 言言 平面汇交力系平面汇交力系 平面力系平面力系 平面力偶系平面力偶系 平面平行力系平面平行力系 平面一般力系平面一般力系(平面任意力系平面任意力系)研究方法：几何法，解析法。研究方法：几何法，解析法。例：起重机的挂钩。力系分类：平面力系、空间力系力系分类：平面力系、空间力系平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平 行力系。行力系。3 21 平面汇交力系合成和平衡的几何法平面汇交力系合成和平衡的几何法 22 平面汇交力系合成和平衡的解析法平面汇交力系合成和平衡的

2、解析法 23 力矩力矩 、力偶的概念及其性质、力偶的概念及其性质 24 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡 25 平面平行力系的合成与平衡平面平行力系的合成与平衡第二章第二章 平面特殊力系平面特殊力系4 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法一、合成的几何法一、合成的几何法cos2212221FFFFR)180sin(sin1RF2. 平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成力多边形法则1.1.理论依据理论依据平行四边形法则平行四边形法则合力方向由正弦定理：由余弦定理：cos)180cos(推广为力的三角形法则。5 结论：结论：即： 即：平面汇交力系

3、的合力等于各分力的矢量和，合力的作用即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。线通过各力的汇交点。二、平面汇交力系平衡的几何条件二、平面汇交力系平衡的几何条件FR4321FFFFR在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：0FR力多边形自行封闭力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零力系中各力的矢量和等于零6例例 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。577. 0)(tg22hrhr

4、r又由几何关系：选碾子为研究对象取分离体画受力图解：解： 当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时 拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故tgPFcosPNB7由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于碾子对障碍物的压力等于23.1kN。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。F=11.5kN , NB=23.1kN所以所以几何法解题步骤：几何法解题步骤：选研究对象；选研究对象；作出受力图；作出受力图； 作力多边形，选择适当的比例尺；作力多边形，选择适当的比例尺； 求出未知数求出未知数几何法解题不足：几何法解题不足：

5、 精度不够，误差大精度不够，误差大 作图要求精度高；作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法解析法。 8FFFXxcosFFFYycos22YXF2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影一、力在坐标轴上的投影 X=Fx=Fcos Y=Fy=Fsin=F cos1、定义：、定义： 从力的起点和终点分别向坐标轴引垂线，垂足从力的起点和终点分别向坐标轴引垂线，垂足之间的距离再加上适当的正负号，称之。之间的距离再加上适当的正负号，称之。2、计算：、计

6、算：（与坐标轴正向相同为正，相反为负）（与坐标轴正向相同为正，相反为负）9二、合力投影定理二、合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为： XXXXRx421YYYYYRy4321YRyXRx合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。即：10合力的大小：合力的大小： 方向：方向： 作用点：作用点：2222YXRRRyxxyRRtgXYRRxy11tgtg为该力系的汇交点为该力系的汇交点三、平面汇交力系合成与平衡的解析法三、平面汇交力系合成与平衡的解析法 从前述可知：平面汇交力系平

7、衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。 即：0022yxRRR00YRXRyx为平衡的充要条件，也叫平衡方程为平衡的充要条件，也叫平衡方程11解解：研究AB杆 画出受力图0X0Y045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP例例 已知 P=2kN 求SCD , RA由EB=BC=0.4m，312.14.0tgABEB解得：kN 24. 4tg45cos45sin00PSCDkN 16. 3cos45cos0CDASR；列平衡方程解平衡方程12例例 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？解解：1、取球研究，受力如图PP-TND3Q60sin2Qsin-Q02由得06

8、0212cos21PPTT由得0X0Y0cos12TT0Qsin2DNT2、列平衡方程13又：cosFN)2(1)(cos22hRhRRhRR)2(hRhRFN例例 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h解解：1、研究块,受力如图解力三角形：142、再研究球，受力如图作力三角形解力三角形：sin NP,sinRhR 又NN RhRhRhRFNP)2(sin)2()(hRhhRFPhRhRhPF)2(时球方能离开地面当hRhRhPF)2(NB=0时为球离开地面15 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用特殊时用 几几 何法（解力三

9、角形）比较简便。何法（解力三角形）比较简便。 解题技巧及说明：解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。只有一个未知数。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。特殊，都用解析法。165、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压

10、力。力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。、对力的方向判定不准的，一般用解析法。17 是代数量。)(FMO当F=0或d=0时， =0。)(FMO 是影响转动的独立因素。)(FMO =2AOB=Fd ,2倍形面积。)(FMO力的运动效应包括 移动效应移动效应转动效应转动效应2-3 2-3 力矩、力偶的概念及其性质力矩、力偶的概念及其性质-+dFFMO)(一、力对点的矩一、力对点的矩说明：说明： F,d转动效应明显。单位Nm.-取决于力矩的大小、方向-取决于力的大小、方向18 定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和.（可推广到平面一般力系）二、合力

11、矩定理二、合力矩定理由合力投影定理有：证毕现)()()(21FmFmRmooo证证niiOOFmRm1)()(od=ob+ocoboAoABFMo2)(1ocoAoACFMo2)(2odoAoADRMo2)(又即：19例例 已知：如图 F、Q、l、 求： 和 解解：用力对点的矩法用力对点的矩法)(FmO)(Qmo sin)(lFdFFmOlQQmo)(ctg)( lFlFFmyxOlQQmo)(应用合力矩定理应用合力矩定理 20三、平面力偶及其性质三、平面力偶及其性质1、力偶的概念、力偶的概念：由两个大小相等，作用线不重合的反向平行力构成的力系叫力偶。FF例如例如（a）方向盘受力；）方向盘受力

12、；（b）电机转子受力）电机转子受力平面力偶只有大小、转向两个要素，故用代数量表示。平面力偶只有大小、转向两个要素，故用代数量表示。21性质性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。性质性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。3、力偶的性质：、力偶的性质：2、力偶矩：、力偶矩：力偶的大小用力偶矩表示力偶的大小用力偶矩表示:Fdm d 称为力偶臂.22xFdxFFmFmOO)()

13、 ()(mdF说明：说明： m是代数量，有是代数量，有+、-； F、 d 都不独立，只有力偶矩都不独立，只有力偶矩 是独立是独立量；量； m的值的值m=2ABC ； 单位：单位：N mdFm由于O点是任取的dFm+d证证:23性质性质3：平面力偶等效定理：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。转向相同，则该两个力偶彼此等效。证证 设物体的某一平面上作用一力偶(F,F)现沿力偶臂AB方向加一对平衡力(Q,Q),Q,F合成R，再将Q,F合成R，得到新力偶(R,R),将R,R移到A

14、,B点，则(R,R)，取 代了原力偶(F，F )并与原力偶等效。24只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。 力偶可改装力偶可改装由上述证明可得下列两个推论两个推论：比较(F,F)和(R,R)可得m(F,F)=2ABD=m(R,R) =2 ABC即ABD= ABC，且它们转向相同。力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。力偶可移转力偶可移转25;111dFm 222dFmdPm11dPm2221PPRA21PPRB212121)( mmdPdPdPPdRMA 合力偶2-42-4 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的

15、合成与平衡平面力偶系平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶构成的力系。设有两个力偶dd;111dFm 222dFm改装改装合成合成1、平面力偶系的合成：、平面力偶系的合成：26 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是: :所有各力偶矩的代数和所有各力偶矩的代数和等于零。等于零。 niinmmmmM121即01niim结论结论: : 平面力偶系合成结果是一个力偶平面力偶系合成结果是一个力偶, ,其力偶矩为各力偶矩的其力偶矩为各力偶矩的代数和代数和。2、平面力偶系的平衡：、平面力偶系的平衡：27 例例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的

16、总切削力偶矩和A 、B端水平反力? mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02 . 04321mmmmNBN3002 . 060BNN 300BANN解解: 各力偶的合力偶距为根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。282-52-5 平面平行力系的合成和平衡平面平行力系的合成和平衡平面平行力系平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫一、平面平行力系的合成一、平面平行力系的合成 设在刚体上作用一平面平行力系 ，现求其合成结果。 321FFF、29)(Rmo)()()()()(43251FmFmFmFmFmooooo)

17、(ioFm根据合力矩定理：iFFFFFFR 43251合力：合成合成合力矩：合力矩：30. 当当R0 时，原力系的合成结果是一个合力时，原力系的合成结果是一个合力iFRiiYFR合力作用线的位置合力作用线的位置： 由)()(iooFmRmiiRxFxFxFxFxR552211 : 即iiiiiRFxFRxFx 当当 R=0R=0 时时( (即即 时时) )，原力系合成结果是一，原力系合成结果是一 合力偶合力偶 0iFiiioxFFmm)(当力系平行于当力系平行于y轴时：轴时：讨论：讨论：（就是平面力偶系）（就是平面力偶系）31 平面平行力系平衡的充要条件为：平面平行力系平衡的充要条件为： 力系

18、中各力的代数和等于零，同时，各力对平面内任一点力系中各力的代数和等于零，同时，各力对平面内任一点的矩的代数和也等于零的矩的代数和也等于零。即：二、平面平行力系的平衡条件二、平面平行力系的平衡条件 0)(0ioiiFmYF平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程也可用两矩式表示，即0)(iAFm0)(iBFm其中：其中：A、B两点的连线必须不与两点的连线必须不与 各力线平行各力线平行32例例 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ 当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？330)(FmB0) 22() 212(2) 26(ANWPQ0ANkN 75Q限制条件限制条件：解解： 首先考虑满载