2020年河北省唐山市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

1、2020 年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共 12 小题，每小题5分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1数 z 满足（ 1+z）（1+2i） =i ，则复平面内表示复数z 的点位于（）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2已知 a，b 为实数，则 “a3b3”是 “2a 2b”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件 D 既不充分又不必要条件3已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（

2、）A0.6B 0.7C 0.8 D 0.94执行如图的程序框图，若输入M 的值为 1，则输出的 S=（）A 6B 12 C 14 D 205在 ?ABCD 中， AB=2AD=4 ， BAD=60 °， E 为 BC 的中点，则?=（）A 6B 12C 6D 122+=1（ 0 m 1）的两焦点分别为 F ， F ，若在椭圆C 上存在点 P 使得6设椭圆 C： y12PF1 PF2，则 m 的取值范围是（）A ， 1）B（0， C，1） D（0， 7函数 f（ x）=cos（ x+） +2sinsin（ x+）的最大值是（）A 1B sinC 2sinD8曲线 y= 和 x2+y2=

3、2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积是（）A B CD 9 5 名大学生为唐山世界园艺博览会的3 个场馆提供翻译服务，每个场馆分配一名或两名大学生，则不同的分配方法有（）第 1页（共 22页）A90 种B180 种C 270 种D 360 种10在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PA=AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后， 剩余部分的三视图如图， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A BCD11fx）=x在 01m，在（12已知函数（， ）上的最大值为， 上的最小值为nmn=（），则+A 2B 1 C1D 212在等边 ABC 中， M 为 A

4、BC 内一动点， BMC=120 °，则的最小值是（）A 1BCD二、填空题： （本题共4 小题，每题5 分，共 20 分）13设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线方程为y= ±x，则离心率e 为14x，y满足，则z=3x+4y的最大值是若实数15已知 AB 是球 O 的直径， C，D为球面上两动点， AB CD ，若四面体 ABCD 体积的最大值为 9，则球 O 的表面积为3ax24x 80恒成立，则a的取值范围是16x1，+）时，不等式x+ 当 三、简答题：本大题共70 分。（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)n 的前 n 项和为 Sn， a1n2 n n2 n+

5、1，数列 bn 满足 b1，17已知数列 a=2，2S=（ n+1） aa=1bnbn+1=（I ）求数列 an 的通项公式；（ ）是否存在正实数，便得 bn 为等比数列？并说明理由18二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（ 0 x10）与销售价格 y（单位：万元 /辆）进行整理，得到如表的对应数据：使用年数246810第 2页（共 22页）售价16139.574.5（ ）试求 y 关于 x 的回归直线方程； （参考公式：=，=）（ ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x 2 1.75x+17.2 万元，根据（ ）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型

6、号汽车所获得的利润z 最大？19如图，直角三角形ABC 中， BAC=60 °，点 F 在斜边 AB 上，且 AB=4AF D ，E 是平面 ABC 同一侧的两点， AD 平面 ABC ， BE 平面 ABC ，AD=3 ， AC=BE=4 （ ）求证：平面 CDF 平面 CEF；（ ）点 M 在线段 BC 上，异面直线CF 与 EM 所成角的余弦值为，求 CM 的长20已知点F 为抛物线C： x2=4y 的焦点， A ， B， D 为抛物线C 上三点，且点A 在第一象限，直线 AB 经过点 F， BD 与抛物线 C 在在点 A 处的切线平行，点M为BD 的中点（ ）求证： AM 与

7、 y 轴平行；（ ）求 ABD 面积 S 的最小值21已知函数 f （ x） =xlnx +a，直线 y=x 与曲线 y=f （ x）相切（ ）求 a 的值；（）证明：xex1fx）2 fx0（+（） 请考生在222324三题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分 选修4-1：、 、几何证明选讲 22如图，四边形ABCD 内接于圆 O，AC 与 BD 相交于点 F， AE 与圆 O 相切于点 A ，与CD 的延长线相交于点E， ADE= BDC （ ）证明： A 、E、 D、 F 四点共圆；（ ）证明： AB EF 选修 4-4：坐标系与参数方程第 3页（共 22页）23在直角坐标

8、系xOy 中，曲线 C1：（ 为参数， 0 ），曲线 C2 与曲线 C1 关于原点对称， 以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3 的极坐标方程=2 0O的直线l分别与曲线C1，C2，C3 相交于点AB C为 （ ），过极点， ， （ ）求曲线 C1 的极坐标方程；（ ）求 | AC | ?| BC| 的取值范围 选修 4-5：不等式选讲 24fx=x 1|+mx1已知函数（） |+| |（ ）当 m=2 时，求不等式f（ x）4 的解集；（ ）若 m 0， f（ x） 2m，求 m 的最小值第 4页（共 22页）2020 年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试

9、题解析一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1数 z 满足（ 1+z）（1+2i） =i ，则复平面内表示复数z 的点位于（）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【考点】 复数代数形式的乘除运算【分析】 由（ 1+z）（ 1+2i） =i ，得到，再利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复平面内表示复数z 的点的坐标，则答案可求【解答】 解：由（1 z12i）=i，+）（ +得=，则复平面内表示复数z 的点的坐标为： （，），位于第二象限故选： B2已知 a，b 为实数，则 “a3b3”是 “2a 2

10、b”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件 D 既不充分又不必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】 利用函数 y=x 3， y=2 x 在 R 上单调递增即可得出【解答】 解：由于函数y=x 3， y=2x 在 R 上单调递增，a3b3” ab “2a2b”? ?“a3 b3”是 “2a2b”的充要条件故选： C3已知甲在上班途中要经过两个路口， 在第一个路口遇到红灯的概率为 0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为 0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A 0.6B 0.7C 0.8D 0.9【考点】 条件概率与独立事件【分析

11、】 由题意可知P（ A） =0.5， P（ AB ） =0.4，利用条件概率公式可求得P（ B 丨 A ）的值【解答】 解：设第一个路口遇到红灯概率为A ，第二个路口遇到红灯的事件为B，则 P（ A） =0.5 ，P（ AB ）=0.4，则 P（ B 丨 A）=0.8，故答案选： C4执行如图的程序框图，若输入M 的值为 1，则输出的S=（）第 5页（共 22页）A6B12C14D20【考点】 程序框图【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的M ， S， k 的值，当k=4 时不满足条件 k 3，退出循环，输出S 的值为 12【解答】 解：模拟执行程序，可得M=1 ， S=1，k=1

12、满足条件k 3， M=3 ，S=4， k=2满足条件k 3， M=2 ，S=6， k=3满足条件k 3， M=6 ，S=12， k=4不满足条件k 3，退出循环，输出S 的值为 12故选： B5在 ?ABCD 中， AB=2AD=4 ， BAD=60 °， E 为 BC 的中点，则?=（）A6B12C 6D 12【考点】 平面向量数量积的运算【分析】 建立平面直角坐标系，代入各点坐标计算【解答】 解以 AB 所在直线为x 轴，以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 A （0，0），B（ 4，0）， C（5，）， D（ 1，）E（，）=（，）， =（ 3， ）=12，故选： D6设椭

13、圆 C： y2+=1（ 0 m1）的两焦点分别为F1， F2，若在椭圆C 上存在点 P 使得PF1 PF2，则 m 的取值范围是（）A 1B 0，C1 D0， ）（ ，）（， 【考点】 椭圆的简单性质第 6页（共 22页）【分析】 求得椭圆的a， b， c，在椭圆C 上存在点P 使得 PF1PF2，等价为以F1F2 为直径的圆与椭圆有交点，即有c b，解不等式即可得到所求范围【解答】 解：椭圆 C： y2+=1（ 0 m1）的 a=1，b=m， c=，在椭圆 C 上存在点 P 使得 PF1 PF2，等价为以 F1F2 为直径的圆与椭圆有交点，即有 c b，即 m，即为 2m2 1，解得 0 m

14、故选： B7fx）=cosx+2sinsin x+）的最大值是（）函数（） +（A 1B sinC 2sinD【考点】 三角函数的最值【分析】 由三角函数公式整体可得f（ x） =cosx，可得函数的最大值为1【解答】 解：由三角函数公式可得f（ x） =cos（ x+）+2sinsin（ x+）=cos （ x+） + 2sinsin（ x+）=cosx+）cossinx+）sin2sinsinx+）（ （+（=cosx+）cossinx+）sin（+（=cos （ x+） =cosx，函数的最大值为1故选： A8曲线 y=和 x2+y2=2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积是（）A B C

15、D 【考点】 定积分在求面积中的应用【分析】 首先求出曲线的交点，S 阴影=S扇形S 三角形OBA+S 曲多边形OBA，分别求出其面积，0AC问题得以解决【解答】 解：曲线 y=和 x2+y2=2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部所示由，解得 x=1 ，y=1 ，即 A （ 1， 1）， B（ 1， 0），因为 S 曲多边形 OBA=dx=|=，第 7页（共 22页）S 三角形 OBA=×1×1=，S 扇形 0AC=× 2=，S 阴影 =S 扇形 0AC S 三角形 OBA+S 曲多边形 OBA =+=+，故选： C9 5 名大学生为唐山世界园艺博览会的

16、3 个场馆提供翻译服务，每个场馆分配一名或两名大学生，则不同的分配方法有（）A90 种B180 种C270 种D 360 种【考点】 计数原理的应用【分析】 根据每个场馆分配一名或两名大学生，则 5 人将被分成 3 组，人数为 1，2，2，先将 5 人分成 3 组，然后按顺序分配【解答】 解：由题意知将5 人将被分成3 组，人数为1，2， 2，则有=15 种，然后将分好的 3 组按一定的顺序，分到三个场馆，有A 33=6 种方法，所以不同的分配方案有种15×6=90 ，故选： A10在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PA=AB ，该四棱锥被

17、一平面截去一部分后， 剩余部分的三视图如图， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）第 8页（共 22页）ABCD【考点】 由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图， 得出该几何体是过 BD 且平行于 PA 的平面截四棱锥 P ABCD 所得的几何体；画出图形结合图形求出截取部分的体积与剩余部分的体积之比是多少即可【解答】 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是过BD 且平行于 PA的平面截四棱锥 PABCD 所得的几何体；设 AB=1 ，则截取的部分为三棱锥E BCD ，它的体积为V 三棱锥 E BCD=× × 1×1×=，剩余部分的体积为V剩

18、余部分=VP ABCDV 三棱锥E BCD= ×1= ；四棱锥 2× 1所以截取部分的体积与剩余部分的体积比为：=1：3故选： B11fx）=x在 01m，在（12已知函数（， ）上的最大值为， 上的最小值为n，则 m+n=（）A 2 B 1 C1D 2【考点】 函数的最值及其几何意义fx =1+sinxx 0 1g x =【分析】 通过变形可知 （ ） + ，进而可知当， ）时，函数 （ ）+sinx 满足 g（ 2 x）=g（ x），由此可知在区间 0，1）（ 1，2 上，函数 f（ x）关于点（1， 1）中心对称，利用对称性即得结论【解答】 解：fx）=x=1+sin

19、x，（+第 9页（共 22页）记 g（ x）=+sinx，则当 x 0， 1）时，g 2x）=sin2 x）=sin x（+（ ，即在区间 0112fx）关于点（1 1，） （， 上，函数（， ）中心对称， m+n=2 ，故选： D12在等边 ABC 中， M 为 ABC 内一动点， BMC=120 °，则的最小值是（）A1BCD【考点】 正弦定理【分析】如图所示，不妨设等边ABC 的边长为2，M 为 ABC 内一动点， BMC=120 °点M 在弦 BC 所对的弓形上， BQC=120 °由图可知：当点M 取与 y 轴的交点时，MBC=30 °，可得：

20、 Q， A， C（ 1， 0）， M （x， y）设参数方程为：，=t，化为：sin（ +） = 1，解出即可得出【解答】 解：如图所示，不妨设等边 ABC 的边长为2，M 为 ABC 内一动点，BMC=120 °，点 M 在弦 BC 所对的弓形上， BQC=120 °由图可知：当点M 取与 y 轴的交点时，MBC=30 °，可得： Q，A， C（ 1， 0）， M （ x， y）点 M 所在圆的方程为：=设参数方程为：，=t，第10页（共 22页）化为：sin =1，（ + ）解得 t，故选： C二、填空题： （本题共4 小题，每题5 分，共 20 分）13设双

21、曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线方程为y= ±x，则离心率e 为【考点】 双曲线的简单性质【分析】 由题意，设双曲线的方程为=1，从而得到=，从而求离心率【解答】 解：由题意，设双曲线的方程为=1，则两条渐近线方程为y= ±x，则 = ，则 e=故答案为：14若实数x， y 满足，则 z=3x +4y 的最大值是14【考点】 简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标， 结合函数的图象求出z 的最大值即可第11页（共 22页）【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得 A （2， 2），由 z=3x +4y 得： y= x+，结合图象得直线过A

22、 （ 2，2）时， z 最大，z 的最大值是14，故答案为： 1415已知 AB 是球 O 的直径， C，D 为球面上两动点，AB CD ，若四面体 ABCD 体积的最大值为9，则球 O 的表面积为36 【考点】 球的体积和表面积【分析】 由题意， ABC 为等腰直角三角形，高为球O 的半径时，四面体 ABCD 的体积最大，利用四面体ABCD 体积的最大值为9，求出 R，即可求出球O 的表面积【解答】 解：由题意， ABC 为等腰直角三角形，高为球O 的半径时，四面体 ABCD 的体积最大，最大值为=9， R=3，球 O 的表面积为 4R2=36 故答案为： 363ax24x 80恒成立，则a

23、的取值范围是（ ，16x 1，+）时，不等式x+当2 【考点】 函数恒成立问题【分析】 分类讨论，当 x 1，0）（0，+）时，化简不等式为a=x+ ，再令 f （x） =x + ，求导确定函数的单调性，从而求函数的最值，从而解恒成立问题【解答】 解：当 x=0 时，不等式 x3 ax2 4x+8 0 成立，当 x 1， 0） （ 0， +）时，第12页（共 22页）3ax24x8 0可化为a=x +，x+ 令 f （x） =x +，则 f （ x） =1+=，故 x 1， 0）时， f （ x） 0， x（ 0， 2）时， f（x） 0；x（ 2， +）时， f （ x） 0；故 f （x）

24、在 1， 0）上是增函数，在（ 0，2）上是减函数，在 2， +）上是增函数，而 f （ 1） =1+4+8=11， f（ 2）=2 2+2=2，故 a 2；故答案为：（ ， 2 三、简答题：本大题共70 分。（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17an 的前 n 项和为 Sn， a1=2，2Sn=n 12an n2an+1，数列 bn 满足 b1=1，已知数列 （ + ）bnbn+1=（I ）求数列 an 的通项公式；（ ）是否存在正实数，便得 bn 为等比数列？并说明理由【考点】 等比数列的通项公式；数列递推式【分析】（ ）根据递推公式，得到2an=an+1+an 1，继而得到数列

25、an 为等差数列，求出公差 d，即可求出数列 an 的通项公式，（ ）根据递推公式， 得到 bn+2=4b n，求出 b2，b3，若 bn 为等比数列， 则满足（b2）2=b3?b1，继而求出正实数 【解答】 解：（ ）由 2Sn=（ n+1） 2an n2an+1，得到 2Sn1=n2an 1（ n 1） 2an， 2an=（ n+1） 2an n2an+1n2an 1+（ n1） 2an， 2an=an+1+an 1，数列 an 为等差数列， 2S1=（ 1+1） 2a1 a2， 4=8 a2，a2=4 ，d=a2 a1=42=2 ， an=2 +2（ n 1） =2n ，（ ） bn ，

26、bn bn+1=?41=1，b2b1=4 ，b2=4 ，bb=4n+1，n+1 n+2 ?=4，第13页（共 22页） bn+2=4b n， b3=4b 1=4，若 bn 为等比数列，则（ b2） 2=b3 ?b1，216=4× 1，=18二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（ 0 x10）与销售价格 y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：使用年数246810售价16139.574.5（ ）试求 y 关于 x 的回归直线方程； （参考公式：=，=）（ ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x 2 1.75x+17.2万元，根据（ ）中所求的回归方

27、程，预测 x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？【考点】 线性回归方程【分析】（ ）由表中数据计算、，求出、 ，即可写出回归直线方程；（ ）写出利润函数 z=y w，利用二次函数的图象与性质求出x=3 时 z 取得最大值【解答】 解：（ ）由表中数据得，=×（ 2+4+6+8+10） =6，= ×（ 16+13+9.5+7+4.5） =10 ，由最小二乘法求得= 1.45，=10 （1.45）× 6=18.7，所以y关于x的回归直线方程为y=1.45x18.7；+（ ）根据题意，利润函数为21.75x+17.2 =0.05x2 0.3x+1.5

28、，z=yw=（1.45x 18.7）（0.05x）+所以，当 x=3 时，二次函数z 取得最大值；即预测 x=3 时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大19如图，直角三角形ABC 中， BAC=60 °，点 F 在斜边 AB 上，且 AB=4AF D ，E 是平面 ABC 同一侧的两点， AD 平面 ABC ， BE 平面 ABC ，AD=3 ， AC=BE=4 （ ）求证：平面 CDF 平面 CEF；第14页（共 22页）（ ）点 M 在线段 BC 上，异面直线CF 与 EM 所成角的余弦值为，求 CM 的长【考点】 异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（ ）

29、由余弦定理得CF=2且 CF AB ，AD CF ，从而 CF平面 DABE ， DFE为二面角 D CF E 的平面角推导出DFE=90 °，由此能证明平面CDF平面 CEF（ ）以 C 为坐标原点， CA 为 x 轴， CB 为 y 轴，建立空间直角坐标系C xyz，利用向量法能求出a 的值【解答】 证明：（ ）直角三角形ABC 中， BAC=60 °，AC=4 ，AB=8 ， AF=AB=2 ，由余弦定理得CF=2且 CF AB AD 平面 ABC ，CF ? 平面 ABC ， AD CF，又 AD AB=A ， CF平面 DABE ， CF DF， CF EF DF

30、E 为二面角 D CF E 的平面角又 AF=2 ， AD=3 ， BE=4 ， BF=6 ，故 Rt ADF Rt BFE ADF= BFE ， AFD + BFE= AFD + ADF=90 °， DFE=90 °， D CF E 为直二面角平面 CDF平面 CEF 解：（ ）以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz ，则 C（ 0，0， 0），B （ 0，4，0）， E（ 0， 4， 4），F（ 3， 0）， M（ 0， a， 0），（ 0 a4） =（3， ， 0）， =（ 0，a 4 ， 4），异面直线CF 与 EM 所成角的余弦值为，| cos

31、?，| =，解得 a=，故 CM= 第15页（共 22页）20已知点 F 为抛物线 C： x2=4y 的焦点， A ， B， D 为抛物线 C 上三点，且点 A 在第一象限，直线 AB 经过点 F， BD 与抛物线 C 在在点 A 处的切线平行，点 M 为 BD 的中点（ ）求证： AM 与 y 轴平行；（ ）求 ABD 面积 S 的最小值【考点】 抛物线的简单性质【分析】（ I ）设出 A ，B，D 三点坐标，根据kBD =y |列方程根据根与系数的关系求出 M 的横坐标即可；（ II ）求出直线 BD 的方程， 求出 AM 和 B 到直线 AM 的距离， 则 S ABD =2SABM ，求

32、出 S 关于 xA 的函数，利用基本不等式求出函数的最小值【解答】 证明：（ ）设 A（ x0，）， B （ x1，）， D（ x2，）（ x00）由 x2=4y 得 y=， y= ， kBD = ，又 kBD =，=， =x0，即 xM=x 0AM 与 y 轴平行解：（ ） F（ 0， 1），第16页（共 22页）kAF=， kBF=A ， B， F 三点共线， kAF=k BF，=，整理得（ x0x1+4）（x0 x1） =0， x0 x1 0， x0x1= 4，即 x1=直线 BD 的方程为y=（ x x1） +，yM =（ x0 x1）+=+2=+2由（ ）得 S=2SABM=|2|

33、× |x1x0|ABD+ =|+2| ×| x0+ | = （ x0+） 3 16，当且仅当x0=即 x0=2 时等号成立，S 的最小值为1621已知函数f （ x） =xlnx +a，直线 y=x 与曲线 y=f （ x）相切（ ）求 a 的值；（ ）证明： xex1 f （ x） 2+ f （ x） 0第17页（共 22页）【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（ ）设切点为（m， n），求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，可得 m=1，进而得到切点，可得a=1；x1fx2fx=xex 1xlnx1xlnx 1=1 xex 1xlnx12（）由xe）

34、（） +）（+（+（ +） + ，gx=1xex1xlnx120令 （）（+）（ ）+ ，求出导数，求得单调区间、极小值且为最小值，即可得证【解答】 解：（ ）设切点为（ m， n），f （ x） =xlnx +a 的导数为 f （x） =lnx +1，可得切线的斜率为1 lnm，+由切线的方程y=x ，可得 1+lnm=1 ，即 m=1，切点为（ 1， 1），可得 a=1；（ ）证明： xex1 f （ x） 2+ f （ x） =xex 1（ xlnx 1） +xlnx +1 =（1+xex1）（ xlnx 1） +2，令 g（ x）=（ 1+xex1）（ xlnx 1） +2，g（ x）=（ 1+x）ex1（ xlnx 1）+（ 1+xex 1）（1+lnx ）当 x=1 时， g（x） =2?（ 1） +2?1=0，当 x 1 时，（ 1+x） ex12， xlnx 1 1，（1+x） ex 1（ xlnx 1） 2，（1+xex 1）（ 1+lnx ） 2?1=2，则 g（ x） 0， g（ x）递增；当 0 x 1 时，（ 1+x） ex1（ xlnx 1） 2，（1+xex 1）（ 1+lnx ） 2，则 g（ x） 0， g（ x）递减即有 g（ x）在 x=1 处取得极小值，且为最小值0则有 xex 1 f（ x）