2020年福建省漳州市高考文科数学模拟试卷(5月)含答案解析

1、2020 年福建省漳州市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1已知集合 P= 2， 3，4， 5， 6 ，Q= 3， 5，7 ，若 M=P Q，则 M 的子集个数为（）A 5B 4C 3D 22已知复数（ 1+i） z=3+i，其中 i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在（）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3设命题 p：函数 f（ x） =ex 在 R 上为增函数；命题q：函数 f （ x） =cos2x 为奇函数，则下列命题中真命题是（）A pq B （

2、p） qC（ p）（ q） Dp（ q）4两向量，则在方向上的投影为（）A （1， 15） B（20， 36）CD5已知函数 f（ x）=2sinxcosx 2sin2x，x R，则函数 f（ x）的单调递增区间是（）A k， k+ ， k Z B k， k+ ， kZC 2k2k，kZD 2k2k ，kZ ，+，+6已知函数 f（ x）满足 f（ 2x） =x ，则 f （ 3） =（）A log 23 B log32 C ln2D ln37执行如图的程序框图，若输入n=4 ，则输出的结果是（）第 1页（共 23页）A30B 62C 126D 2548定长为6 的线段 MN 的两端点在抛物线

3、y2=4x 上移动，设点 P 为线段 MN 的中点，则 P到 y 轴距离的最小值为（）A 6B 5C 3D 29三棱锥 S ABC 中， SB平面 ABC ，SB=， ABC 是边长为的正三角形，则该三棱锥 SABC 的外接球的表面积为（）A 3 B 5C 9 D 1210若实数x， y 满足，则 x2+y2 的最小值为（）ABCD511一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）第 2页（共 23页）A+B+C+ D2+312已知函数 f （ x）=x2 x| x a| 3a， a 3若函数 f （ x）恰有两个不同的零点x ，1x

4、2，则 | 的取值范围是（）A1）BC1D（，（ ，+（ ，+）（ ，二、填空题：本大题共4 小题。每小题 5分 .13已知等比数列a0aa6=12，则 a4= an 中， n ， 2=3，14已知双曲线y2=1 （ m 0）的离心率为，则 m 的值为15为推广漳州 “三宝 ”，某商场推出 “砸金蛋 ”促销活动， 单笔购满50元可以玩一次 “砸金蛋 ”游戏，每次游戏可以砸两个金蛋，每砸一个金蛋可以等可能地得到“水仙花卡片 ”，“片仔癀” “”卡片 和 八宝印泥卡片中的一张，如果一次游戏中可以得到相同的卡片，那么该商场赠送一份奖品，则玩一次该游戏可以获赠一份奖品的概率是a，且a=2an N*），

5、现给出下列4个结论：16已知数列 an 中， 1= 1n（ an+1 n） n+1（ 数列n 是递增数列； a数列 an 是递减数列； 存在 n N* ，使得（ 2 a1）+（ 2 a2）+（ 2an） 2020 ； 存在 n N* ，使得（ 2 a1）2+（ 2 a2）2+（ 2an） 2 2020；其中正确的结论的序号是（请写出所有正确结论的序号）三、解答题 :解答写出文字说明、证明或验算步骤17已知 ABC 的三个内角为A ，B ，C，向量=（ cosA ， sinB），=（ cosB， sinA ），满足 ? =cosC（1）求证： ABC 是直角三角形；（2）若 AC=， BC=6

6、， P 是 ABC 内的一点，且 APC= BPC=120 °，设 PAC=，求tan第 3页（共 23页）18某高校进行自主招生测试，报考学生有500 人，其中男生 300 人，女生200 人，为了研究学生的成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法， 从中抽取了100 名学生， 先统计了他们测试的分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成4组： 7090， ），90，110110，130）， 130，150 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图）， （ ）根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为103.5，请你估计男生测试成绩的平均值，由此推断男、女生测试

7、成绩的平均水平的高低；（ ）若规定分数不小于110分的学生为 “优秀生 ”，请你根据已知条件完成2× 2 列联表，并判断是否有90% 的把握认为 “优秀生与性别有关 ”？优秀生非优秀生合计男生女生合计参考公式： K 2=参考数据：P（K20.1000.0500.0100.001k0）k02.7063.8416.63510.82819四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD ， BCD 的边长为的等边三角形， AD=2 ，AB=1 ，点 F 在线段 AP 上（ ）求证： CD 平面 PAD ；第 4页（共 23页）（ ）若 BF 平面 PCD ， PCD 是等边三角形，求点F

8、 到平面 PCD 的距离20A（10），动点P在圆Bx 1）2+y2=16上，线段PA的中垂线为直线l，已知定点，：（ +直线 l 交直线 PB 于点 Q，动点 Q 的轨迹为曲线E（ ）求曲线 E 的方程；（ ）若点 P 在第二象限，且相应的直线l 与曲线 E 和抛物线 C： y= x2 都相切，求点P 的坐标21已知函数 f（ x）=，函数 f（x）的图象在点（ 2，f（ 2）处的切线与直线 y=x+e 垂直，其中实数a 是常数， e 是自然对数的底数（ ）求实数 a 的值；（ ）若关于 x 的不等式 f （ ex+1） t 有解，求实数 t 的取值范围请考生在 22、23、24 三题中任选

9、一题作答，如果多做， 则按所做的第一题计分 选修 4-1：几何证明选讲 22如图， AB 是 O 的一条切线， 切点为 B ，ADE ，CFD 和 CGE 都是 O 的割线， AC=AB（ 1）证明： AC 2=AD ?AE ；（ 2）证明： FG AC 选修 4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程为（其中 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 =和 =（ 0 ）与圆C 分别异于极点O 的 A ，B 两点（ 1）求圆 C 的极坐标方程；（ 2）求 | OA |+| OB | 的最大值 选修 4-5：不等式选讲第 5页（共 2

10、3页）24已知函数f （ x） =| 2x+a| | 2x 3| ， aR（ 1）若 a=2，求不等式 f （ x） 3 的解集；（ 2）若存在实数 x 使得 f（ x） 2a 成立，求实数 a 的取值范围第 6页（共 23页）2020 年福建省漳州市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1已知集合 P= 2， 3，4， 5， 6 ，Q= 3， 5，7 ，若 M=P Q，则 M 的子集个数为（）A5B4C3D 2【考点】 交集及其运算【分析】 求出 P 与 Q 的交

11、集确定出M ，即可求出 M 子集的个数【解答】 解：P= 234 5，6 ，Q=3 57， ， ， ，M=P Q= 3， 5 ，则 M 的子集个数为 22=4故选： B21 i）z=3i，其中i为虚数单位，则复数z所对应的点在（）已知复数（+A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【考点】 复数代数形式的乘除运算【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得答案【解答】 解：由（ 1+i） z=3+i ，得，复数 z 所对应的点的坐标为（2， 1），在第四象限故选： D3设命题 p：函数 f（ x） =ex 在 R 上为增函数；命题q：函数 f （ x） =cos2x

12、 为奇函数，则下列命题中真命题是（）A pq B （ p） qC（ p）（ q）Dp（ q）【考点】 复合命题的真假【分析】 先判定命题p， q 的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出x命题 q：函数 f （ x） =cos2x 为偶函数，因此是假命题， q 是真命题则下列命题中真命题是p q故选： D4两向量，则在方向上的投影为（）A （ 1， 15） B（ 20， 36）CD【考点】 平面向量数量积的运算【分析】 利用平面向量的数量积、向量的投影定义即可得出【解答】 解：，第 7页（共 23页）=4×（ 5） +（ 3）×（ 12） =16，=13 ，在方向上的投

13、影为=，故选： C5已知函数f（ x）=2sinxcosx 2sin2x，x R，则函数 f（ x）的单调递增区间是（）A k， k+ ， k Z B k， k+ ， kZC 2k， 2k+ ， k ZD 2k， 2k+ ， kZ【考点】 正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用【分析】 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论【解答】 解：函数f （x） =2sinxcosx 2sin2x=sin2x 2?=2sin （ 2x） 1， x R，令2k2x2k+，求得kx k+，可得函数f x）的单调递增 （区间为 k，kkZ，+ ，故选： B6已知函数 f（ x）

14、满足 f（ 2x） =x ，则 f （ 3） =（）A log 23 B log32 C ln2D ln3【考点】 函数的值【分析】 用换元法，设2x=t，则 x=log 2 t，求出解析式f （t），计算 f （ 3）的值即可x x=log 2t， f （t）=log 2t，即 f （x） =log 2x； f （3） =log 23故选： A7执行如图的程序框图，若输入n=4 ，则输出的结果是（）第 8页（共 23页）A ， B， F 三点共线时取等号判断出A30 B62 C126D 254【考点】 程序框图【分析】 由程序框图知：算法的功能是求S=2+22+23+2i 的值，根据条件确定

15、跳出循环的i值，从而计算输出的S 值【解答】 解：由程序框图知：算法的功能是求S=2 2223 2i的值，+ + +当输入 n=4 时，跳出循环的i 值为 5，输出 S=2+22+23+24+25=62 故选： B8定长为6 的线段 MN 的两端点在抛物线y2=4x 上移动，设点P 为线段 MN 的中点，则 P到 y 轴距离的最小值为（）A 6B 5C 3D 2【考点】 抛物线的简单性质【分析】 先设出 M ， N 的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M 到 y轴距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且的最小值即可【解答】 解：设 M （ x1， y1）， N（ x2，

16、y2），抛物线的y2=4x 准线 x= 1，P 到 y 轴距离 S= 1 1=3 1=2，当且仅当M ，N 过 F 点时取等号，故选： D第 9页（共 23页）9三棱锥 S ABC 中， SB平面 ABC ，SB=， ABC 是边长为的正三角形，则该三棱锥 SABC 的外接球的表面积为（）A 3 B 5 C 9 D 12【考点】 球内接多面体；球的体积和表面积【分析】 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以ABC为底面以 SB 为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r ，和球心距 d，得球的半径 R，然后求解表面积【解答】 解：根据已知中SB平面 ABC ，SB

17、=， ABC 是边长为的正三角形，可得此三棱锥外接球，即为以ABC 为底面以 SB 为高的正三棱柱的外接球， ABC 是边长为的正三角形， ABC 的外接圆半径r=1，球心到 ABC 的外接圆圆心的距离 d=，故球的半径 R=三棱锥 SABC 外接球的表面积为：4×=9故选： C10若实数x， y 满足，则 x2+y2 的最小值为（）ABCD5【考点】 简单线性规划【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的距离公式进行求解即可【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域，x2+y2 的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知 O 到直线 x+y3=0 的距离最小，此时 d

18、=，则x2y2的最小（2=，+）故选： B第10页（共 23页）11一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A+B+C+ D2+3【考点】 由三视图求面积、体积【分析】 由三视图求出圆锥的高和底面半径，再求出截去的底面弧的圆心角，由扇形面积公式求出底面剩余部分的面积，代入锥体体积公式计算可得答案【解答】 解：由三视图得，圆锥底面半径为r=，圆锥的高 h=，由俯视图和侧视图可得：截去的底面弧的圆心角=2×=，底面剩余部分的面积S=1+，所以几何体的体积为：V= Sh=×（ 1+）×=，故选： A第11页

19、（共 23页）12已知函数f （ x） =x2 x| x a| 3a， a 3若函数 f （ x）恰有两个不同的零点x1 ，x2，则 | 的取值范围是（）A （ 1， +）B（ ， +）C（ ， 1D（，【考点】 函数的零点与方程根的关系【分析】 当 a 3 的取值范围结合函数 f （ x）有两个零点，利用韦达定理写出 x1+x2， x1?x2 的表达式，结合一元二次函数的性质进行求解即可【解答】 解：fx）=x2xxa3a=a 3（ | | ， ，当 x a 3，令 f （ x） =0， ax 3a=0， x=3，不满足，x a 时，函数 f （ x）恰有两个不同的零点x1， x2，令 f

20、（x） =0，则可得x1，x2 是方程 2x2 ax3a=0 的两个根，则： x1+x2=， x1?x2=，|=（ ，1 ，故答案选： C二、填空题：本大题共4 小题。每小题 5分 .a 0 aa6=12，则 a4= 613已知等比数列 an 中， n ， 2=3，【考点】 等比数列的性质【分析】 直接利用等比数列的性质求解即可【解答】 解：等比数列 an 中， an 0， a2=3， a6=12 ，可得 a4=6故答案为： 614已知双曲线y2=1 （ m 0）的离心率为，则 m 的值为3【考点】 双曲线的简单性质【分析】 求出双曲线的几何量，通过离心率求解即可【解答】 解：双曲线 y2 =

21、1（m 0）的离心率为，可得：=，解得 m=3故答案为： 315为推广漳州 “三宝 ”，某商场推出 “砸金蛋 ”促销活动， 单笔购满50 元可以玩一次 “砸金蛋 ”游戏，每次游戏可以砸两个金蛋，每砸一个金蛋可以等可能地得到“水仙花卡片 ”，“片仔癀第12页（共 23页）卡片 ”和 “八宝印泥卡片”中的一张，如果一次游戏中可以得到相同的卡片，那么该商场赠送一份奖品，则玩一次该游戏可以获赠一份奖品的概率是【考点】 古典概型及其概率计算公式【分析】 “水仙花卡片 ”，“片仔癀卡片 ”和 “八宝印泥卡片 ”分别用 a， b，c 表示，列举出所有的基本事件，再根据概率公式计算即可【解答】 解： “水仙花

22、卡片 ”， “片仔癀卡片 ”和 “八宝印泥卡片”分别用 a，b， c 表示，一次游戏中，得到的卡片的基本事件有aa， ab， ba，ac，ca， bc， cb， bb， cc 共 9 种，其中以得到相同的卡片有aa， bb， cc，共 3 种，故玩一次该游戏可以获赠一份奖品的概率是=，故答案为：16已知数列 an 中， a a ） =2 a（n N* ），现给出下列4 个结论：1= 1，且 n（ an+1nn+1 数列 an 是递增数列； 数列 an 是递减数列； 存在 n N*，使得（2a2 a 2a2020； 1）+（ 2）+（ n） 存在 n N* ，使得（2 a1）2+（ 2 a2）2

23、+（ 2an） 2 2020；其中正确的结论的序号是（请写出所有正确结论的序号）【考点】 数列递推式【分析】 对于 ：由 n（ a a ）=2 a （n N* ），变形为（ n+1）a na，利n+1nn+1n+1n=2用等差数列的通项公式可得：an=2 ，即可判断出正误对于2 a2 a 2a =3，由于n 1+：（ 1）+（ 2）+（ n）+时，+ +，即可判断出正误；对于 ：（ 2 a ）2=9，（ n 2）时，利用 “裂项求和 ”即可判n=断出正误【解答】 解：对于 ： n（ an+1 an） =2 an+1（ nN * ），（ n+1） an+1 nan=2，数列 nan 是等差数列，

24、首项为1，公差为2 nan= 1+2（ n 1）=2n 3，解得 an=2 ，数列 an 是单调递增数列，因此 不正确， 正确对于 ：（ 2 a1） +（ 2a2） +（ 2 an） =2n =3，第13页（共 23页）由于 n+时， 1+，因此存在 n N*，使得（ 2 a ） +（2 a ） +（2 a ）12n2020 ，正确对于 ：（ 2 a ）2=9，（ n 2）时，n=222+n 2 时，（2 a1） +（ 2a2） +（2 an） 9+9=9+9 18，因此不存在n N* ，使得（ 2 a1） 2+（2 a2） 2+（ 2 an） 2 2020综上可得：只有正确故答案为： 三、解

25、答题 :解答写出文字说明、证明或验算步骤17已知 ABC 的三个内角为A ，B ，C，向量=（ cosA ， sinB），=（ cosB， sinA ），满足 ? =cosC（ 1）求证： ABC 是直角三角形；（ 2）若 AC= ， BC=6 ， P 是 ABC 内的一点，且 APC= BPC=120 °，设 PAC=，求tan【考点】 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【分析】（ 1）根据=cosC 得 A ，B，C 之间的关系，使用两角和的余弦公式即可得出cosC=0；（2）用 表示出 PBC，分别在 APC 和 BPC 中使用正弦定理得出 PC，即可列出关于 的方

26、程，得出 tan【解答】 解：（ 1）=cosC，即 cosAcosB sinAsinB=cos （ A +B ）= cosC=cosC， cosC=0 ， 0 C ， C= ABC 是直角三角形（ 2） APC= BPC=120°， PCA=60 ° ， BCP=90 ° PCA=30 °+， PBC=60 ° PCB=30 ° 第14页（共 23页）在 PAC 中，由正弦定理得，即， PC=2sin在 BPC 中，由正弦定理得，即， PC=4sin（ 30° ）sin =2sin（ 30° ） =cos 3si

27、n， 4sin= cos， tan=18某高校进行自主招生测试，报考学生有500 人，其中男生 300 人，女生200 人，为了研究学生的成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法， 从中抽取了100 名学生， 先统计了他们测试的分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成4组： 7090， ）， 90， 110）， 110，130）， 130， 150 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（ ）根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为103.5，请你估计男生测试成绩的平均值，由此推断男、女生测试成绩的平均水平的高低；（ ）若规定分数不小于110 分的学生为 “优秀生 ”

28、，请你根据已知条件完成2× 2 列联表，并判断是否有90% 的把握认为 “优秀生与性别有关”？优秀生非优秀生合计男生女生合计参考公式： K 2=参考数据：P（K20.1000.0500.0100.001k0）k02.7063.8416.63510.828【考点】 独立性检验第15页（共 23页）【分析】（ ）利用同一组数据用该区间中点值作代表，计算男生的成绩平均数，即可得出结论；（ ）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到结论【解答】 解：（ ）由频率分布直方图可以估计男生测试的成绩的平均值为=80 ×0.015× 20+1

29、00×0.0225×20+120×0.01× 20+140× 0.025× 20=100 分，因为 103.5 100，所以由此可以判断，女生测试成绩的平均水平略高于男生（ ）由频数分布表可知：在抽取的100 学生中，男生有100×=60（人），测试成绩优秀的男生有60×（ 0.0100+0.0025）× 20=15 人，女生有100=40（人），测试成绩优秀的女生有40×（0.01625+0.0025020=15人，×）×据此可得 2× 2列联表如下：优秀生非优秀

30、生合计男生154560女生152540合计3070100可得 k2= 1.79因为 1.792.706，所以没有90%的把握认为 “数学成绩与性别有关 ”19四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD ， BCD 的边长为的等边三角形， AD=2 ，AB=1 ，点 F 在线段 AP 上（ ）求证： CD 平面 PAD ；（ ）若 BF 平面 PCD ， PCD 是等边三角形，求点F 到平面 PCD 的距离【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】（ ）根据面面垂直的性质定理证明平面PAD平面 ABCD 即可证明 CD 平面PAD ；（ ）根据点到平面的距离的定义作出

31、点F 到平面的距离，结合三角形的边角关系进行求解即可【解答】 解：（ ） AB=1 ， AD=2 ， BD=，cos ADB=，第16页（共 23页）则 ADB=30 °， BCD 是等边三角形，BDC=60 °， ADC= ADB + BDC=90 °，即 CD AD ，平面 PAD平面 ABCD ，平面 PAD平面 ABCD=AD ， CD? 平面 ABCD ，CD 平面 PAD ；（ ） 在平面 ABCD 内过 B 作 BG CD ，交 AD 于 G， BG?平面 PCD，CD ? 平面 PCD ，则 BG平面 PCD，由（ 1）得 CD AD ， BG A

32、D ，连接 GF， BF 平面 PCD，BF， BG ? 平面 FBG， BF BG=B ，平面 FBG平面 PCD，平面 PAD 分别交平面 FBG， PCD 于 FG， PD， FG PD，则直角三角形BGD 中， BD=， BDG=30 °，DG=BDcos30 °=，=，在平面 PAD 内过 F 作 FHPD 于 H，CD 平面 PAD ，面 FHC ? 面 PAD ，CDFH，PD ，CD ? 平面 PCD ， PDCD=D ， FH 平面 PCD 于 H，则 FH 是点 F 到平面 PCD 的距离过A作AMPD于M， PAD 是边长为 2 的等边三角形，AM=，

33、FHAM ，=，FH=AM=，即点 F 到平面 PCD 的距离是第17页（共 23页）20A10），动点P在圆Bx 1）2+y2=16上，线段PA的中垂线为直线l，已知定点（，：（ +直线 l 交直线 PB 于点 Q，动点 Q 的轨迹为曲线E（ ）求曲线 E 的方程；（ ）若点 P 在第二象限，且相应的直线l 与曲线 E 和抛物线 C： y= x2 都相切，求点P 的坐标【考点】 抛物线的简单性质；直线与圆相交的性质【分析】（ ）利用垂直平分线的性质可得| QA | =| QP| ，由 | QB |+| QP| =4，可得| QB|+| QA | =4，利用椭圆的定义可得点Q 的轨迹是一个椭圆；l：y=kx m0A与P关于直线l对称，（ ）设+代入椭圆、 抛物线的方程， 利用判别式等于，即可求点 P 的坐标【解答】 解：（ ）由条件知： | QA | =| QP| ， | QB |+| QP| =4， | QB |+| QA | =4， | AB|=24，所以点 Q 的轨迹是以B， A 为焦点的椭圆， 2a=4， 2c=2， b2=3，曲线 E 的方程是=1；（）由题意，设l：y=kx m，代入=1得