第五章 大数定律和中心极限定理(修)

1、第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 5.1 伯努利大数定律伯努利大数定律有有则则对对率率在在每每次次试试验验中中出出现现的的概概为为事事件件出出现现的的次次数数重重伯伯努努利利试试验验中中事事件件为为设设贝贝努努利利大大数数定定律律定定理理，A，pAnSn0)( 1 . 1 . 5 . 0|lim pnSPnn都都有有对对若若为为一一随随机机变变量量为为一一随随机机变变量量序序列列设设定定义义，X，Xn01 . 1 . 5 1|lim XXPnn0|lim XXPnn或或.XXX，XPnn简简记记为为依依概概率率收收敛敛于于则则称称有有则则对对，且且如如果果对对一一切切

2、正正整整数数为为一一随随机机变变量量序序列列设设马马尔尔科科夫夫大大数数定定律律定定理理，XDnXDn，Xniinniin00)(1lim)()( 1 . 2 . 5*121 0|11|lim11 niiniinEXnXnP有有则则对对使使得得即即存存在在常常数数且且方方差差有有界界变变量量序序列列为为两两两两不不相相关关的的随随机机设设切切比比雪雪夫夫大大数数定定律律推推论论，nCDXC，Xnn0, 2, 1,)( 1 . 2 . 5* 0|11|lim11 niiniinEXnXnP马尔科夫大数定律马尔科夫大数定律2 . 5有有则则对对存存在在若若量量序序列列为为独独立立同同分分布布的的随

3、随机机变变设设辛辛钦钦大大数数定定律律定定理理，EX，Xn0)( 2 . 2 . 5*1 0|1|lim1 niinXnP5.3 中心极限定理中心极限定理有有则则对对任任意意给给定定的的实实数数设设中中心心极极限限定定理理定定理理b，apnBSLaplaceMoivreDen,),().( 1 . 3 . 5 有有充分大时充分大时当当，n abtnndtebpnpnpSaP2221)1(lim).1()1(pnpnpapnpnpbbSaPn ?%9 .99.16 . 0200不不足足而而影影响响生生产产供供电电的的把把握握保保证证工工厂厂不不会会因因才才能能以以少少提提供供多多少少度度电电问问

4、供供电电部部门门至至电电力力工工作作时时各各需需每每台台车车床床的的开开工工率率为为互互独独立立的的各各台台车车床床工工作作与与否否是是相相台台车车床床某某工工厂厂有有例例，kw，?,%80;%.8,12000,880位位阅阅览览室室还还需需增增加加多多少少座座座座位位阅阅览览室室自自习习的的学学生生都都有有的的概概率率保保证证晚晚上上去去若若要要以以概概率率览览室室晚晚上上座座位位不不够够用用的的求求阅阅为为到到阅阅览览室室去去自自习习的的概概率率已已知知每每天天晚晚上上每每个个学学生生生生名名学学该该校校共共有有个个座座位位有有某某高高校校图图书书馆馆阅阅览览室室共共例例有有则则对对一一切

5、切实实数数变变量量序序列列为为一一独独立立同同分分布布的的随随机机设设限限定定理理或或独独立立同同分分布布的的中中心心极极定定理理x，DXEX，XLevyLindebergeiin)0(,)( 3 . 3 . 5*2 xtniinnnndtexnnXPxYP21221limlim nnbnnXnnaPbXaPii)()( nnannb有有充充分分大大时时当当，n.20.)5 . 0, 5 . 0()(1200,千米的概率千米的概率值不超过值不超过绝对绝对试求总距离测量误差的试求总距离测量误差的上的均匀分布上的均匀分布且均服从且均服从相互独立相互独立千米千米单位单位设每段测量误差设每段测量误差段

6、进行测量段进行测量成成将其分将其分限于测量工具限于测量工具两地之间的距离两地之间的距离某人要测量某人要测量例例 ，：，BA.977. 05550.超超载载的的概概率率大大于于才才能能保保证证不不装装多多少少箱箱试试说说明明每每辆辆车车最最多多可可以以的的汽汽车车承承运运吨吨若若用用最最大大载载重重量量为为千千克克标标准准差差为为千千克克每每箱箱平平均均重重假假设设每每箱箱重重量量是是随随机机的的箱箱包包装装一一生生产产线线生生产产的的产产品品成成例例，。，的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量练习练习),(. 1:YX 其他其他00, 0)(21),()(yxeyxyxpyx?)1(是是否否相相互互独独立立和和问问YX.)2(的密度函数的密度函数求求YXZ 的密度函数为的密度函数为设设),(. 3YX 其他其他01012),(2xyyyxp).,(,YXCovEXYEYEX求求的密度函数分别为的密度函数分别为设随机变量设随机变量YX,. 2,0002)(2 xxexpxX.0004)(4 yyeypxY.,)2();32(),()1(2EXY，YXYXEYXE求求相互独立相互独立又设又设求求 0002)1()(. 1:xxexxpxX答案答案