第二章正弦交流电路

1、随时间按正弦规律变化的电压、随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦电压和正弦电流。电流称为正弦电压和正弦电流。表达式为：表达式为：)sin(umtUu)sin(imtIi概念概念以正弦电流为例以正弦电流为例)sin(0tIim振幅振幅 角频率角频率振幅振幅Im、角频率、角频率和初相和初相0称为正弦量的的称为正弦量的的三要素。三要素。相位相位初相角初相角: 简称简称初相初相波形波形瞬时值：正弦量单位时间内变化的弧度数正弦量单位时间内变化的弧度数角频率与周期及频率的关系：角频率与周期及频率的关系：fT22：正弦量完整变化一周所需要的时间正弦量完整变化一周所需要的时间：正弦量在单位时间内变化的周数

2、正弦量在单位时间内变化的周数周期与频率的关系：周期与频率的关系：Tf1幅值：幅值：瞬时值中的最大值，又称最大值或峰值瞬时值中的最大值，又称最大值或峰值，：正弦量单位时间内变化的弧度数正弦量单位时间内变化的弧度数角频率与周期及频率的关系：角频率与周期及频率的关系：fT22：正弦量完整变化一周所需要的时间：正弦量完整变化一周所需要的时间：正弦量在单位时间内变化的周数正弦量在单位时间内变化的周数我国电能规定我国电能规定：频率频率f50Hz周期与频率的关系：周期与频率的关系：Tf10，u 与与 i 同同相相。 0，u 超超前前 i，或或 i 滞滞后后 u。 ，u 与与 i 反反相相。 2，u 与与 i

3、 正正交交。 ：正弦量的最大值：正弦量的最大值：让周期电流让周期电流i和直流电流和直流电流I分别通分别通过两个阻值相等的电阻过两个阻值相等的电阻R，如果在相同的时间，如果在相同的时间T内，内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电流两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电流I的值为的值为周期电流周期电流i的有效值的有效值。根据有效值的定义有根据有效值的定义有： 周期电流的周期电流的有效值为有效值为：mm02I707.02I1TdtTIiTRdtiRTI022)sin()(imtIti对于正弦电流对于正弦电流:IIdttIImmTimT707.02)(sin0221所以所以为：为：同理同理：mmUUU

4、707. 02所有交流用电设备铭牌上标注的所有交流用电设备铭牌上标注的额定电压额定电压、额额定电流定电流都是都是有效值有效值、交流电表交流电表和和电压表电压表的刻度的刻度也是也是有效值有效值第二节、正弦交流电的相量表示方法第二节、正弦交流电的相量表示方法 1、波形图、波形图 2、瞬时表达式、瞬时表达式 i=Imsin(t+) 3、旋转矢量法、旋转矢量法 4、相量表示法、相量表示法：用复数表示正弦交流电的用复数表示正弦交流电的方法。如：方法。如：I = I30i相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。复数及其运算复数及其运算 复数复数A可用复平面上可用复平面上的有

5、向线段来表示。该有的有向线段来表示。该有向线段的长度向线段的长度a称为复数称为复数A的的，模总是取正值。该，模总是取正值。该有向线段与实轴正方向的有向线段与实轴正方向的夹角夹角称为复数称为复数A的的。O a1 +1a2 A+ja注根据以上关系式及欧拉公式根据以上关系式及欧拉公式复数复数A的实部的实部a1及虚部及虚部a2与与模模a及辐角及辐角的关系为：的关系为：sinra cosrb 22barabarctg O a +1 b A +j r rrejrrjbaAjsincos代数型代数型三角函数型三角函数型指数型指数型极坐标型极坐标型可将复数可将复数A表示成代数型、三角函数型、指表示成代数型、三

6、角函数型、指数型和极坐标型数型和极坐标型4种形式。种形式。sincosjej1111rjbaA2222rjbaB复数的四则运算：复数的四则运算：设两复数为：设两复数为：(1)相等。若相等。若a1=a2，b1=b2，则，则A=B。(2)加减运算：加减运算：)()(2121bbjaaBA(3)乘除运算：乘除运算：)(2121)(21212121rrerrererBAjjj)(2121)(21212121rrerrererBAjjj 将复数将复数Imi乘上因子乘上因子1t，其模不变，其模不变，辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速度度逆时针旋转，其在虚轴上的投影

7、等于逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于Imsin(t + i )，正好是用正弦函数表示的正，正好是用正弦函数表示的正弦电流弦电流i。可见复数。可见复数Imi与正弦电流与正弦电流i=Imsin(t + i )是相互对应的关系，可用复数是相互对应的关系，可用复数Imi来表示正弦电流来表示正弦电流i，记为：，记为：imjmmIeIIi并称其为相量。并称其为相量。ImO +1+ji i O tiIm(a) 以角速度旋转的复数 (b) 旋转复数在虚轴上的投影正弦量正弦量相量相量)sin(imtIiimmII)sin(umtUuummUU)sin(2itIiII)sin(2utUuUU222111 sin2

8、 sin2tUutUu1U12U22U 落后于落后于1U1U2U领先领先 落后落后？例例1：将：将 u1、u2 用相量表示用相量表示 相位：相位：幅度：幅度：相量大小相量大小12UU 12设：设：21UUUU222111 sin2 sin2tUutUu同频率正弦波的同频率正弦波的相量画在一起，相量画在一起，构成相量图。构成相量图。例例2：同频率同频率正弦波相加正弦波相加 -平行四边形法则平行四边形法则22U1U11. 只有正弦量只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。才能用相量表示，非正弦量不可以。2. 只有只有同频率同频率的正弦量才能画在一张相量图上，的正弦量才能画在一张相量图上， 不同频

9、率的正弦量不能画在一张相量图上。不同频率的正弦量不能画在一张相量图上。注意注意IIm2UUm23.有效值相量和振幅相量的关系。有效值相量和振幅相量的关系。4.一般可任选一个相量作为参考相量，通常画一般可任选一个相量作为参考相量，通常画在横轴位置上，其余相量则以与参考相量之间在横轴位置上，其余相量则以与参考相量之间的相位差角确定。的相位差角确定。解解：A 506 .86301003024 .141jIV5 .190110602206021 .311jU已知瞬时值，求相量。已知瞬时值，求相量。已知已知 V3314sin1.311A6314sin4.141tuti求：求： i 、u 的相量的相量 2

10、2060UI10030瞬时值瞬时值 - 小写小写u、i有效值有效值 - 大写大写U、I复数、相量复数、相量 - 大写大写 + “.”U最大值最大值 - 大写大写+ +下标下标mU符号说明符号说明正误判断正误判断Utu sin100？瞬时值瞬时值复数复数)15sin(2505015teUj？瞬时值瞬时值复数复数45210I)45sin(10ti4510 eIm有效值有效值j45判断正误判断正误 则：则：)50(sin100ti已知：已知：50100I最大值最大值21002 IIm判断正误判断正误伏伏 - 安安 特性特性iuconstiuRRiuuiconstiuR线性电阻线性电阻非线性电阻非线性

11、电阻1 1. . 电阻电阻 R（常用单位：（常用单位： 、k 、M ）2 2. .电感电感 L L：ui（单位：（单位：H, mH, H）单位电流产生的磁链单位电流产生的磁链iNL磁磁通通线圈线圈匝数匝数电感中电流、电压的关系电感中电流、电压的关系dtdiLdtdNeue eidtdiLeu当当 Ii(直流直流) 时时,0dtdi0u所以所以,在直流电路中在直流电路中电感相当于短路电感相当于短路.lSNL2电感和结构参数的关系电感和结构参数的关系线性电感线性电感:L=Const (如如:空心电感空心电感 不变不变)非线性电感非线性电感 : L = Const (如如:铁心电感铁心电感 不为常数

12、不为常数)ue ei导磁导磁率率线圈线圈面积面积线圈线圈长度长度电感是一种储能元件电感是一种储能元件, , 储存的磁场能量为：储存的磁场能量为：电感的储能电感的储能20021iLLidiuidtWitL1.当电感元件中的电流增大时，磁场能量增大；当电感元件中的电流增大时，磁场能量增大；此过程中电能转换为磁能，即电感元件从电源此过程中电能转换为磁能，即电感元件从电源取得能量。式中的取得能量。式中的221iL 就是磁场能量。就是磁场能量。2.当电流减小时，磁能转换成电能，即电当电流减小时，磁能转换成电能，即电感元件向电源放还能量感元件向电源放还能量3.3.电容电容 CuqC 单位电压下存储的电荷单

13、位电压下存储的电荷（单位：（单位：F, F, pF）+ +- - - -+q-qui电容符号电容符号有极性有极性无极性无极性+_dtduCdtdqi电容上电流、电压的关系电容上电流、电压的关系uqC 当当 Uu (直流直流) 时时,0dtdu0i所以所以,在直流电路中电容相当于断路在直流电路中电容相当于断路.uiCdsC极板极板面积面积板间板间距离距离介电介电常数常数电容和结构参数的关系电容和结构参数的关系线性电容线性电容:C=Const ( 不变不变)非线性电容非线性电容:C = Const ( 不为常数不为常数)uiC20021uccuduuidtWcut电容的储能电容的储能电容是一种储能

14、元件电容是一种储能元件, , 储存的电场能量为储存的电场能量为：1.当电容元件中的电压增大时，电场能量增大；当电容元件中的电压增大时，电场能量增大；此过程中从电源中取能量，即电容处于充电状此过程中从电源中取能量，即电容处于充电状态。式中的态。式中的221uc 就是电场能量。就是电场能量。2.当电压减小时，电容处于放电状态，即电当电压减小时，电容处于放电状态，即电容元件向电源放还能量。容元件向电源放还能量。一一. . 电阻电路电阻电路 uiR根据根据 欧姆定律欧姆定律 iRu tItRURuitUusin2sin2sin2 设设则则1. 频率相同频率相同2. 相位相同相位相同3. 有效值关系有效

15、值关系：IRU 4. 相量关系相量关系：设设0UUUI 0RUI 则则 RIU或或1. （耗能元件）（耗能元件）0p结论结论：2. 随时间变化随时间变化p22iu 、3. 与与 成比例成比例ptuiptTTdtiuTdtpTP0011tUutIisin2sin22. 平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）P P：一个周期内的平均值一个周期内的平均值 UIdttUITdttUITTT002)2cos1 (1sin21大写大写IUP uiR二二. .电感电路电感电路dtdiLu 基本基本关系式关系式：iuLtIisin2设设)90sin(2)90sin(2cos2tUtLItLIdtdiLu则则

16、-+e电感电路中电流、电压的关系电感电路中电流、电压的关系 1. 频率相同频率相同 2. 相位相差相位相差 90 （u 领先领先 i 90 ）iut90UILII)90sin(2)90sin(2tUtLIutIisin2设：设：3. 有效值有效值LIU 感抗感抗（）LXL定义：定义：LXIU 则：则：感抗感抗XL与电感与电感L、频率、频率f 成正比。电感线圈对高频电流成正比。电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，但对直流可视作短路，即的阻碍作用很大，但对直流可视作短路，即XL0注注iuXLUI4. 相量关系相量关系)90sin(2tUutIisin20 II设：设：9090LIUU)(909090

17、LjjXIeLIULIUIU则：则：电感电路中的功率电感电路中的功率)90sin(2sin2tUutIitUIttUIuip2sincossin21. 瞬时功率瞬时功率 p ：iuL-+e储存储存能量能量P 0P 0tuit 2. 平均功率平均功率 P （有功功率）（有功功率）0)2(sin1100dttIUTdtpTPTT结论：结论：纯电感不消耗能量纯电感不消耗能量，只和电源进行能量，只和电源进行能量 交换（能量的吞吐）。交换（能量的吞吐）。tUIuip2sin3. 3. 无功功率无功功率 QLLXUXIIUQ22Q 的单位：乏、千乏的单位：乏、千乏 (var(var、kvar) kvar)

18、 Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用 以衡量电感电路中能量交换的规模。以衡量电感电路中能量交换的规模。tUIuip2sin基本关系式基本关系式:dtduCi 设设：tUusin2三三. .电容电路电容电路uiC)90sin(2cos2tCUtUCdtduCi则：则： 1. 频率相同频率相同2. 相位相差相位相差 90 （u 落后落后 i 90 ）电容电路中电流、电压的关系电容电路中电流、电压的关系iut90ICUUU)90sin(2tCUitUusin23. 有效值有效值或或CUI ICU1 容抗容抗（）CXC1定义：定义：CXIU 则：则：容

19、抗容抗XC与电容与电容C、频率、频率f成反比。电容越大，在同样电压下，成反比。电容越大，在同样电压下，电容器所容纳的电荷就越大，因而电流越大；当频率越高时，电容器所容纳的电荷就越大，因而电流越大；当频率越高时，电容的充放电速度越快，在同样电压下单位时间内电荷的移电容的充放电速度越快，在同样电压下单位时间内电荷的移动量就越多，电流越大。动量就越多，电流越大。电容对高频电流所呈现的容抗很小，对直流容抗电容对高频电流所呈现的容抗很小，对直流容抗XC0电容视作开路称：电容视作开路称：“隔直通交隔直通交” 4. 相量关系相量关系设设：0UU9090CUIIIU)90sin(2tCUitUusin2901

20、CIU则：则：CXI jCIU901I超超前前电容电路中的功率电容电路中的功率ui)90sin(2sin2tUutIitIUuip2sin1. 瞬时功率瞬时功率 p充电充电p放电放电放电放电P 0储存储存能量能量uiuiuiuiiutTTtIUTdtPTP0002sin11 2. 平均功率平均功率 PtIUuip2sin瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）3. 无功功率无功功率 Q（电容性无功取负值）（电容性无功取负值）UIQtUIp2sin1. 单一参数电路中的基本关系单一参数电路中的基本关系电路参数电路参数LjjXLdtdiLu 基本关系基本关系复阻抗复阻抗LU

21、ICjjXC1复阻抗复阻抗电路参数电路参数dtduCi 基本关系基本关系CUI电路参数电路参数R基本关系基本关系iRu 复阻抗复阻抗RUI小小 结结 在正弦交流电路中，若正弦量用相量在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示，表示，电路参数用复数阻抗（电路参数用复数阻抗（ ) ) 表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。法都能用。 IU、CLjXCjXLRR、 2. 2. 单一参数电路中复数形式的欧姆定律单一参数电路中复数形式的欧姆定律 电阻电路电阻电路RIU)(LXjIU电感电路电感电路)(CXjIU电容电路电容电路复数形式的欧姆定律

22、复数形式的欧姆定律* 电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、克氏电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、克氏 定律。定律。dtdiLiRuuuLR3.3.简单正弦交流电路的关系简单正弦交流电路的关系( (以以R-LR-L电路为例）电路为例）uLiuRuRL* 电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、克氏电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、克氏 定律定律UILURU) LLRLLRjXRIUUUjXIURIU（、RLIURULU单一参数正弦交流电路的分析计算小结单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路电路参数参数电路图电路图（正方向）（正方向）复数复数阻抗阻抗电压、电流关系电压、电流关系瞬时值瞬时值有效

23、值有效值相量图相量图相量式相量式功率功率有功功率有功功率 无功功率无功功率RiuiRuR设设则则tUusin2tIisin2IRU RIUUIu、 i 同相同相UI0LiudtdiLu CiudtduCi LjjXLcjCjjXC11设设则则tIisin2)90sin( 2tLIu设设则则tUusin2)90sin( 12tCUiLXIXULLCXIXUCC1UIu领先领先 i 90UIu落后落后i 90LjXIUCjXIU00LXIUI2CXIUI2基本基本关系关系CjXC的阻抗的阻抗LXLj的阻抗的阻抗R R的阻抗的阻抗u，i ， 相量相量UI 将所有元件以相量形式表示：将所有元件以相量形

24、式表示：第五节、电阻、电感、与电容元件的串联第五节、电阻、电感、与电容元件的串联+u+uL+ uR uC +RLCi(a) RLC 串联电路 (b) 相量模型+U+LU+ RU CU +R jXLjXCIjXRXXjRZZZZ)(CLCLRIjXUIjXUIRUCCLLRIZIXXjRUUUU)(CLCLR+ RU +U+LU CU +R jXLjXCI2CL22CL2R)()(XXRIUUUU由欧姆定律由欧姆定律：由由KVL：RXXRXiiziuCLarctgarctgLUCURUUICULUCUURUILULUCURUUICU (a) X 0 (b) X 0，0z，电路呈感性。（2）当CL

25、1时，X R，故，故UL=UCUR=U，即电感和，即电感和电容上的电压远远高于电路的端电压。电容上的电压远远高于电路的端电压。2. 2. 并联谐振并联谐振LjRZ1，LjZC1CjLjRCjLjRZZZZZ11)(C1C1RL ，)1(11LCjLRCCjLjRCLZRLi+uC i1iC 谐振时，阻抗的虚部为零，故有：0100LC 谐振角频率为：LC10 谐振频率为：LCf210 在RL 的情况下，并联谐振电路与串联谐振电路的谐振频率相同。并联谐振时，0，电压与电流同相，阻抗为RCLZ ，阻抗的模最大，在外加电压一定时，电路的总电流最小。第七节、功率因数的提高第七节、功率因数的提高问题的提出

26、问题的提出：日常生活中很多负载为感性的，日常生活中很多负载为感性的， 其等效电路及相量关系如下图其等效电路及相量关系如下图。 uiRLRuLuCOS I当当U、P 一定时，一定时，希望将希望将 COS 提高提高UIRULUP = PR = UICOS 其中消耗的有功功率为：其中消耗的有功功率为：1.发电设备的容量不能充分利用发电设备的容量不能充分利用：cosNNIUP 功率因数过低，发电机输出的有功功率就越小，则发电功率因数过低，发电机输出的有功功率就越小，则发电机输出功率的能力没有被充分利用其中部分能量（无功机输出功率的能力没有被充分利用其中部分能量（无功功率）在发电机与负载之间互换功率）在

27、发电机与负载之间互换2.增加线路呵发电绕组的功率损耗：增加线路呵发电绕组的功率损耗：电压电压U呵输出功率呵输出功率P一定，电流一定，电流I与功率因数成反比与功率因数成反比cosUPI 提高功率因数的原则提高功率因数的原则： 必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。载上的电压和负载的有功功率不变。提高功率因数的措施提高功率因数的措施:uiRLRuLu并电容并电容CRLICIIL并联电容值的计算并联电容值的计算uiRLRuLuC 设原电路的功率因数为设原电路的功率因数为 cos L，要求补偿到，要求补偿到cos 须并联多大电容

28、？（设须并联多大电容？（设 U、P 为已知）为已知）U分析依据：补偿前后分析依据：补偿前后 P、U 不变。不变。由相量图可知：由相量图可知：sinsinIIILRLCLRLUIPcoscosUIP CUXUICCsincossincosUPUPCULLRLICIILU)(2tgtgUPCLsincossincosUPUPCULLiuRLRuLuC第八节、三相交流电源第八节、三相交流电源由由3个个、的正弦的正弦电压源所构成的电源称为电压源所构成的电源称为。由三相电源供由三相电源供电的电路称为电的电路称为。三相电源由三相交流发电三相电源由三相交流发电机产生的。在三相交流发机产生的。在三相交流发电机

29、中有电机中有3个相同的绕组。个相同的绕组。3个绕阻的首端分别用个绕阻的首端分别用A、B、C表示，末端分别用表示，末端分别用X、Y、Z表示。这表示。这3个绕组分个绕组分别称为别称为A相、相、B相、相、C相，相，三相电压分别为三相电压分别为 定义：定义：1.端线端线 2.中性线中性线 3.星形联接星形联接三相四线制：由三根端线和一根中性线组成的供电方式。三相四线制：由三根端线和一根中性线组成的供电方式。三相三线制：只用三根端线制组成的供电方式三相三线制：只用三根端线制组成的供电方式)120sin(2)120sin(2sin2VtUutUutUupWppU1201200WVUpppUUUUUU t

30、u uU uV uW O 120 120 120 UU WU VU (a) 波形图 (b) 相量图 三个电压三个电压 同幅值同幅值 同频率同频率相位互差相位互差120 三个电压达最大值的先后次序叫三个电压达最大值的先后次序叫，图示相序图示相序为为UVW三相电源的星形连接三相电源的星形连接：3个末端连接在一起个末端连接在一起引出中线，由引出中线，由3个首端引出个首端引出3条条火线。火线。 WU 30 30 30 UU VU UVU WUU VWU VU UU WU WU VU + UU + + U N V W 每个每个电源电源的电压称为的电压称为火线间电压称为火线间电压称为。UWWUWVVWVU

31、UVUUUUUUUUU1503303903303303303WWUVVWUUVpppUUUUUUUUU由相量图可得：由相量图可得：可见，三个线电压幅值相可见，三个线电压幅值相同，频率同，频率 相同，相位相相同，相位相120 plUU3 WU 30 30 30 UU VU UVU WUU VWU VU UU WU 三相电源的三角形连接三相电源的三角形连接 WU UU + VU + + U V W 此种接法如一相接反，此种接法如一相接反，将造成严重后果。将造成严重后果。plUU ：将三相：将三相绕组的首、末端依次绕组的首、末端依次相连，从相连，从3个点引出个点引出3条火线条火线。VWUWUUUVU第九节、三相负载的连接第九节、三相负载的连接 如果三相负载的阻抗相等，则称为如果三相负载的阻抗相等，则