g第7章 交流电

1、第七章第七章 交流电交流电7.67.6 RLCRLC串联电路的谐振条件与特征串联电路的谐振条件与特征7.17.1 交流电的概述交流电的概述7.27.2 交流电路中的元件交流电路中的元件7.37.3 元件的串联和并联元件的串联和并联7.47.4 交流电路的复数解法交流电路的复数解法7.57.5 交流电的功率交流电的功率 交流电：交流电：电压、电流随时间做周期性变化。电压、电流随时间做周期性变化。 交流电的形式：交流电的形式：简谐交流电、方波、锯齿波、简谐交流电、方波、锯齿波、尖脉冲波、调频波、调幅波等等。尖脉冲波、调频波、调幅波等等。电压、电流随时间按正（或余）弦规律变化电压、电流随时间按正（或

2、余）弦规律变化的称为的称为简谐交流电。简谐交流电。傅立叶变换中指出傅立叶变换中指出各种形式的交流电均可由各种形式的交流电均可由多个简谐交流电叠加多个简谐交流电叠加而成。而成。交变电动势、交变电压、交变电流表达式分交变电动势、交变电压、交变电流表达式分别为：别为：0uuU cos( t) 0iiI cos( t) 以余弦规律为例以余弦规律为例0eecos( t) 以交变电流为例以交变电流为例0iiI cos( t) 振幅振幅角频率角频率振幅、角频率和初相称为简谐量的的三要素。振幅、角频率和初相称为简谐量的的三要素。相位相位初相角初相角: 简称简称初相初相波形波形：简谐量的最大值，也叫峰值。：简谐

3、量的最大值，也叫峰值。：让交变电流：让交变电流i i和直流电流和直流电流I I分别分别通过两个阻值相等的电阻通过两个阻值相等的电阻R R，如果在相同的时间如果在相同的时间T T内，内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电流两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电流I I的值为的值为交变电流交变电流i i的有效值。的有效值。根据有效值的定义有：根据有效值的定义有： 则交变电流的有效值为：则交变电流的有效值为：TdtiTI021TRdtiRTI022(t)0iiI cos(t) 对于简谐交变电流，因为对于简谐交变电流，因为所以所以为：为：同理，同理，分别为：分别为：00UU0.707U2TidttIT

4、I0220)(cos100707.02II00707.02：简谐量简谐量 2时间内变化的周数。时间内变化的周数。角频率与周期及频率的关系：角频率与周期及频率的关系：fT22：简谐量完整变化一周所需要的时间。：简谐量完整变化一周所需要的时间。：简谐量在单位时间内变化的周数。简谐量在单位时间内变化的周数。周期与频率的关系：周期与频率的关系：Tf1：简谐量表达式中的角度。：简谐量表达式中的角度。：t=0时的相位。时的相位。：两个同频率简谐量的相位之差，其值等：两个同频率简谐量的相位之差，其值等于它们的初相之差。于它们的初相之差。0uuUcos(t) 0iiI cos(t) iuiutt)()(相位差

5、为：相位差为：如如一、直流电路和交流电路的比较一、直流电路和交流电路的比较二、交流电路中理想元件的电压和电流关系二、交流电路中理想元件的电压和电流关系一、直流电路和交流电路的比较一、直流电路和交流电路的比较1、元件、元件2、电流与电压的关系、电流与电压的关系直流：直流：R交流：交流：R、C、L直流：直流：U=IR交流：交流：00UUZII（1）峰值（有效值）的关系）峰值（有效值）的关系（2）位相差）位相差iu电阻元件的伏安关系：电阻元件的伏安关系：u=iR0iu0R0UZRI R i + u (a) 电阻元件 二、交流电路中理想元件的电压和电流关系二、交流电路中理想元件的电压和电流关系设：设：

6、0iI cost 00uiRI R costU cost u=i (b) 矢量图 I U (a) 电容元件 i C + u 电容元件伏安关系：电容元件伏安关系：dtduCdtdqi u I U i (b) 矢量图 0uU cost 设：设：00iC(Usint)UC cos(t)2 0I cos(t)2 0C0U1ZIC 2iu电感元件的伏安关系：电感元件的伏安关系：dtdiLuL i L (a) 电感元件 + u i I U u （b） 矢量图 设：设：0iI cost 00uL( Isint)IL cos(t)2 0Ucos(t)2 0L0UZLI 2iu小结小结1.交流电路中元件的性质用

7、阻抗交流电路中元件的性质用阻抗Z和相位差和相位差两个参两个参量来标志。量来标志。交流电路元件的比较交流电路元件的比较元件种类元件种类电阻电阻R R电容电容C C电感电感L L00UUZIIiufLLZL2220fCCZC211RZR2.2.在交流电路中在交流电路中 ，电压、电流的峰值或有效值之间，电压、电流的峰值或有效值之间的关系仍与直流电路中的欧姆定律相似。但由于位的关系仍与直流电路中的欧姆定律相似。但由于位相差，则它们的瞬时值之间一般不满足欧姆定律。相差，则它们的瞬时值之间一般不满足欧姆定律。3.3.交流电路中各元件的阻抗的频率特性：交流电路中各元件的阻抗的频率特性： 电容有隔直流、通交流

8、、高频短路的作用；电容有隔直流、通交流、高频短路的作用； 电感具有通低频、阻高频的作用。电感具有通低频、阻高频的作用。4.4.交流电路中的实际元件严格说来都不是单纯的理交流电路中的实际元件严格说来都不是单纯的理想元件想元件 ，必定具有电阻、电容、电感几方面的综，必定具有电阻、电容、电感几方面的综合特性，即实际元件是几个单一理想元件的组合。合特性，即实际元件是几个单一理想元件的组合。一简谐量的矢量图解法一简谐量的矢量图解法二串联与并联元件的矢量图解法二串联与并联元件的矢量图解法 CLRiiiiCLRIIIICLRUUUUCLRZZZZCLRuuuuCLRUUUUCLRIIIICLRZZZZ111

9、1 矢量图解法矢量图解法和和复数解法复数解法是解决简谐交流电路中是解决简谐交流电路中的峰值和有效值叠加问题的两种简单方法。的峰值和有效值叠加问题的两种简单方法。一简谐量的矢量图解法一简谐量的矢量图解法 A O x 1.旋转矢量旋转矢量)cos()(tAat2.两个同频简谐量的叠加两个同频简谐量的叠加)cos(22)(2tAat)cos(11)( 1tAat)cos()(2)( 1)(tAaaattt)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA 120 165 75 1A 2A 3A 例如：例如：超前于超前于1A2A120或或落后于落后于2A1A1

10、20超前于超前于2A3A75或或落后于落后于3A2A75超前于超前于3A1A165或或落后于落后于1A3A165超前于超前于1A3A195或或落后于落后于3A1A195二串联与并联元件的矢量图解法二串联与并联元件的矢量图解法 + u + uL + uR uC + R L C i (a) RLC 串联电路 2CL2R)(UUUURCLRZZiu1arctgarctgCL LU CU RU U I CU （b）RLC 串联的矢量图 2CL2)(ZZRI2CL2)(ZZRIUZ22)1(CLR LU CU RU U I CU LU CU U RU I LU LU CU RU U I CU (1) 0

11、 (2) 0 (3) = 0 讨论：讨论：RCLRZZiu1arctgarctgCL + u R i (a) RLC 并联电路 L C iR iL iC CI LI RI I U LI （b）RLC 并联的矢量图 2LC2R)(IIII22)11()1(LCZZRU22)11()1(1LCZZRIUZ22)1()1(1LCR)1(arctg111arctgLCLCRRZZiu CI LI RI I U LI CI LI I RI U CI CI LI RI I U LI (1) 0 (3) = 0 讨论：讨论：)1(arctg111arctgLCLCRRZZiu思考题：自行解决。思考题：自行解

12、决。A类类B类类例：在下图所示的电路中，当例：在下图所示的电路中，当R1和和R2改变时，改变时，两分支中的电流之间的位相差是否会变化呢？两分支中的电流之间的位相差是否会变化呢？i1支路：支路：i2支路：支路：解：解：02111arctgCR两分支中的电流之间的位相差两分支中的电流之间的位相差:1211arctgCR一复数及其运算一复数及其运算四四. . 复数形式的基尔霍夫定律（略）复数形式的基尔霍夫定律（略）二简谐量的复数表示法二简谐量的复数表示法三三. . 交流电路的复阻抗交流电路的复阻抗一复数及其运算一复数及其运算 复数复数A可用复平面上的有向可用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长线

13、段来表示。该有向线段的长度度a称为复数称为复数A的的，模总是取，模总是取正值。该有向线段与实轴正方正值。该有向线段与实轴正方向的夹角向的夹角称为复数称为复数A的的。 O a1 +1 a2 A +j a 复数解法是解决简谐交流电路中的峰值和有效复数解法是解决简谐交流电路中的峰值和有效值叠加问题的另一种简单方法。值叠加问题的另一种简单方法。根据以上关系式及欧拉公式：根据以上关系式及欧拉公式：复数复数A的实部的实部a1及虚部及虚部a2与模与模a及辐角及辐角的关系为：的关系为：cos1aa sin2aa 2221aaa12arctgaaO a1 +1a2 A+jaaaejaajaaAjsincos21

14、代数型代数型三角函数型三角函数型指数型指数型极坐标型极坐标型可将复数可将复数A表示成代数型、三角函数型、指数型和表示成代数型、三角函数型、指数型和极坐标型极坐标型4种形式。种形式。sincosjej复数的四则运算：复数的四则运算：设两复数为：设两复数为：(1)相等：相等：若a1=b1，a2=b2，则A=B。(2)加减运算：加减运算：)()(2211bajbaBA(3)乘除运算：乘除运算：)(2121jjjebabeaeBA)(2121jjjabebeaeBA21jaaA1jae21jbbB2jbe二简谐量的复数表示法二简谐量的复数表示法ij(t)00II e 并将其称为复电流。并将其称为复电流

15、。 将复数将复数 乘上因子乘上因子 ，其模不变，辐角其模不变，辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速度随时间均匀增加。即在复平面上以角速度 逆时针逆时针旋转，其在实轴上的投影等于旋转，其在实轴上的投影等于 ，正好是正好是用余弦函数表示的交变电流用余弦函数表示的交变电流i。可见复数。可见复数 与交变电流与交变电流 是相互对应的关系，可是相互对应的关系，可用复数用复数 来表示交变电流来表示交变电流i，记为：记为：ij0I e tjeij(t)0I e ij(t)0I e )cos(0itI)cos(0itIi i I0 O +1 +j i O t i I0 (a) 以角速度旋转的复数 (b) 旋转

16、复数在实轴上的投影 简谐量简谐量复简谐量复简谐量0iiI cos(t) )cos(2itI0uuU cos(t) )cos(2utUij(t)00II e )(itjIeIuj(t)00UU e )(utjUeU复简谐量的峰值和有效值的关系：复简谐量的峰值和有效值的关系：0I2 I0U2Uii1i23196. 56)6(1jeItj)30cos(261ti)60cos(282ti求: i=i1+i2？解：解：928. 648)3(2jeItjA10928.3296.9)928.64()3196.5()1 .23(21tjejjjIIIA)1 .23cos(210ti矢量图：矢量图： 30 23

17、.1 60 1I 2I I U A)1 .23cos(210ti1i62 cos(t30 )A 2i82 cos(t60 )A 三三. . 交流电路的复阻抗交流电路的复阻抗 ZZ + U 无 源 二 端 网 络 + U I I ( a ) 无 源 二 端 网 络 ( b ) 等 效 电 路 00UZIIUZ或或 无源二端网络端口的无源二端网络端口的复电压和复电流的比值复电压和复电流的比值称称为该无源二端网络的为该无源二端网络的复阻抗复阻抗，并用符号，并用符号 表示，即：表示，即：Zuij(t)j00j(t)00UU eZZeII e CjCjeCZLjLeZRZjj111)2(C2LR ZR

18、I + U I jZL + U I -jZC + U uij(t)j00j(t)00UU eZZeII e jxrZ电阻电阻电抗电抗22|xrZZrxarctgcos| Zr sin| Zx jjtjtjZeeIUIeUeIUZiuiu)()()(00UU| Z |ZIIiu000 1z I + U (a) 两个阻抗串联 + 1U + 2U 2z 12UZZZI121I11ZUZZUZZZU2111UZZZU2122IZZZI2121IZZZI2112 1I 2I I + U 2z (b) 两个阻抗并联 1z 1212IIIUUU1212IIIUUU + u + uL + uR uC + R

19、L C i (a) RLC 串联电路 (b) 相量模型 + U + LU + RU CU + R jZL jZC I IjZUIjZUIRUCCLLR由欧姆定律：由欧姆定律：RLCLCUZZZZRj(ZZ )I2222LC1ZR(ZZ )R(L)C 所所以以：RCLRZZiu1arctgarctgCLRLCRLCUUUUIZIZIZLCRj(ZZ )IRLCI(ZZZ )IZ LU CU RU U I CU LU CU U RU I LU LU CU RU U I CU (1) 0 (2) 0 (3) = 0 讨论：讨论：RCLRZZiu1arctgarctgCL + u R i (a) RL

20、C 并联电路 (b) 相量模型 + U I L C iR iL iC R jZL jZC RI LI CI RUIRLLjZUICjZUICRLCLC111IIIIUj()RZZ的规律U若已知若已知，便可求出各个电流。，便可求出各个电流。例：例：RLC串联电路。已知串联电路。已知R=5k，L=6mH，C=0.001F，u=5 cos106t V。(1)求电流求电流i和各元件上的电压，画出矢量图；和各元件上的电压，画出矢量图；(2)当角频率变为当角频率变为2105rad/s时，电路的性质有无改时，电路的性质有无改变。变。2解：解：(1)61061036LLZk110001.0101166CCZk

21、4CL2555)(jejZZjRZk04电路呈感性6j10 t0U52eV66j10 tj(10 t)040j4U52eI1emAZ52e 666666j(10 t)j(10 t)44R00j(10 t)j(10 t)44L0L03j(10 t)j(10 t)44C0C0URI5 1e5eVUjZ Ij6 1e6eVUjZ Ij1 1e1eV V10cos256tu 由由，得复电压得复电压(用峰值表示用峰值表示)为：为：故各元件上的复电压（峰值）分别为：故各元件上的复电压（峰值）分别为： 45 LU U RU I CU 所以电路中的电流和各元件上的电压的瞬时值所以电路中的电流和各元件上的电压的

22、瞬时值分别为：分别为：矢量图为：矢量图为：k12.108 . 85)10001. 01021106102(5)()58 . 8(6535arctgjCLejjZZjRZ(2)当角频率变为当角频率变为2105rad/s时，电路复阻抗为：时，电路复阻抗为：058 . 8arctg电路呈电路呈容性容性例：例：RLC并联电路中。已知并联电路中。已知R=5，L=5H，C=0.4F，电压有效值电压有效值U=10V，=106rad/s，求总电流求总电流i，并说明电路的性质。并说明电路的性质。5.2104.0101166CCZ51051066LLZ解：解：V10610tjtjeUeU设设A2510661010

23、RtjtjeeRUIA2510)210(210LL66tjjtjeeejZUI则则A45.210)210()2(10CC66tjjtjeeejZUICLRIIIIA)4510cos(4)4510cos(22266tti电路呈容性。电路呈容性。A2222422)4j(106tejjj045450iu四四. . 复数形式的基尔霍夫定律复数形式的基尔霍夫定律00)()(ttui00ZIUIi c+q -qi Ri LR 1IR 2IUU2I1I21II 2 例：求下图电路中的输入电压例：求下图电路中的输入电压 和输出电压和输出电压 的大小之比以及位相差。的大小之比以及位相差。)(tu)(tu解：解：

24、回路回路1回路回路20)1)()1()1)(212211CjIICjRIUCjIIRI)1(2CjIU联立三式求解即可。联立三式求解即可。一、二端网络的功率一、二端网络的功率二、功率因数的提高二、功率因数的提高三、电抗元件的品质因数三、电抗元件的品质因数)2cos(costUIcos)2cos(cos1100UIdttUITpdtTPTT-+Nui设设iu)cos(2cos2tUutIi，则则tItUuipcos2)cos(2一、二端网络的功率一、二端网络的功率cosUIP cos称功率因数。 可见电阻总是消耗能量的，而电感和电容是可见电阻总是消耗能量的，而电感和电容是不消耗能量的，其平均功率都为不消耗能量的，其平均功率都为0。平均功率就。平均功率就是反映电路实际消耗的功率。无源二端网络各是反映电路实际消耗的功率。无源二端网络各电阻所消耗的平均功率之和，就是该电路所消电阻所消耗的平均功率之和，就是该电路所消耗的耗的平均功率平均功率 ，即为有功功率，即为有功功率 。P有PsinUIP无表示二端网络与外电路进行能量交换的幅度。表示二端网络与外电路进行能量交换的幅度。单位为乏（单位为乏（Var）UIS