高三数学第一轮复习《三角函数的图像与性质》讲义

1、学习好资料欢迎下载三角函数 的图象与性质 基础梳理1“五点法 ”描图(1) ysin x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为 3(0,0) 2，1 (，0) 2，1 (2 ，0)(2) ycos x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为 3 (0,1) ， 2，0 ， ( ， 1)， 2，0 ， (2 ， 1)2.三角函数的图象和性质函数性质y sin xycos xy tan x定义域RRx|xk2， k Z图象值域1,11,1R对称性对称轴： _ x k2(kZ)_ _； 对称中心： (k，0)(kZ) 对称轴：x kk(Z ) _； 对称中心：( k2， 0) (kZ)对称中心

2、： _ k2， 0(k Z) _周期22单调性单调 增 区间 2k 2，2k2(kZ)_； 单调减区间 2k2， 2k32 (kZ) 单调增区间 2k ，2k (kZ) ；单调减区间 2k， 2k(kZ)单调增区间 _(k 2， k2)(kZ)_奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数 f(x) ，如果存在一个非零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x T) f(x )，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期，把所有周 期中存在的最小正数，叫做最小正周期( 函数的周期一般指最小正周期 )对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函

3、数整个定义域范围的每一个 x 值都满足 f(x T) f(x)， 其中 T是不为零的常数 .如果只有个别的 x 值满足 f(xT)f(x)，或找到哪怕只有一个 x值不满 足 f(xT)f(x)，都不能说 T是函数 f(x)的周期 .2函数 yAsin(x)和 y Acos(x )的最小正周期为，|y tan(x)的最小正周期为 | .4.求三角函数值域 (最值 )的方法：(1)利用 sin x、cos x 的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是 1,1 ，因此对于 ? x R ，恒有 1sin x1，1cos x1，所以 1 叫做 ysin x，y cos x 的上确界，

4、1 叫做 ysin x， y cos x 的下确界 .(2)形式复杂的函数应化为 y Asin(x ) k 的形式逐步分析 x的范围，根据正弦函数单 调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响 .(3) 换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值 )问题利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：ysin2x 4sin x5，令 tsin x(|t|1)，则 y (t 2)2 11，解法错误 .5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如yAsin(x ) (>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出 x 所在

5、的区间 .应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同 ;利用换元法求复合函数的单调区间 (要注意 x 系数的正负号 ) (1)y sin 2x 4 ； (2) y sin 42x .热身练习 :1函数 ycos x3 ， xR()A 是奇函数B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数D既是奇函数又是偶函数2函数 y tan 4 x 的定义域为 ()A. x xk ， k Z B. x x2k ， k Z44C. x xk 4 ，kZD. x x2k 4 ，kZ3函数 ysin(2x3)的图象的对称轴方程可能是 ( )Dx12AxBxCx6126【解析】令 2x3k2，则 x

6、k212(kZ) 当 k0 时， x12，选 D.4ysin x4 的图象的一个对称中心是 ()A(，0)B. 34，0 C. 32，0D. 2，0解析y sin x的对称中心为 (k，0)(kZ)，令x4kk(Z)，xk4(kZ)，由 k1，3 3x 34得 ysin x4的一个对称中心是 34，0 .答案5下列区间是函数 y 2|cos x|的单调递减区间的是()A.(0 ，3B. 2，0 C. 2，2D. ，26已知函数 f(x)sin(2x)， 则 f(x)的单调递增区间是 ( Ak3，k6(kZ)Ck6，k其中为实数，若 f(x) f(|6)|对任意 xR 恒成立，且 f(2)>

7、; f( ，Bk，k2(kZ)Dk2，k(kZ) 【解析】当 xR 时， f(x)|f(6)|恒成立，f(6)sin(3)±1 5可得 2k 6或 2k 6 ，kZkZ)f(2)sin( ) sin >f( )sin(2 ) sin sin<0 2k 5652由22k2x 622k得 xk6，k 3(kZ)，选 C.x7.函数 f(x) 3cos 24 xR 的最小正周期为 _438.y 23cos x 的最大值为 _5，此时 x 2k， k Z .449函数 y(sinxa)21，当 sinx1时， y取最大值；当 sinx a 时， y取最小值，则实数 1a0.10函

8、数 f(x)sin2x 3sinxcosx在区间 4，2上的最大值是 .解析】f(x)1 cos2x3 3 1 12 2 sin2x 2 sin2x 2cos2x 21sin(2x6)2， 5 3又4x2，32x66.当 2x62即x3时，f(x)取最大值 2.题型一 与三角函数有关的函数定义域问题例 1 求下列函数的定义域：(1) y lgsin(cos x)；(2)y sin xcos x.解 (1) 要使函数有意义，必须使 sin(cos x)>0. 1cos x1， 0<cos x1.利用单位圆中的余弦线 OM，依题意知 0<OM 1， OM 只能在 x 轴的正半轴上

9、， 其定义域为 x| 2k<x< 2k， k Z.22(2)要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象 .在同一坐标系中画出 0,2 上y sin x 和 ycos x的图象，如图所示 5 在0,2 内，满足 sin xcos x的 x为4， 4 ，再结合正弦、余弦函数的周期是2，5 所以定义域为 x|42kx 4 2k， kZlg(2sin x 1) tan x 1 变式训练 1 (1) 求函数 ycos(x )28的定义域；解 (1) 要使函数有意义，则2sin x 1>01 sin x>2，tan x 10tan x 1，xcos 28 0xk.2

10、8 2图如图 利用单位圆得： 5 2k <x<2k ，66 函数的定义域为 x|2k2<x<2k 34 ， k Z.3 k 2<x k 4 ，3 x2k k Z .4(2) 求函数 ylog 1 x2tan x 的定义域 .要使函数有意义12log2x0，x>0，则tan x 0，xk 2，kZ利用数轴可得图 0<x4，k x<k2 k Z .图函数的定义域是 x|0<x<2或 x 4.题型二 、三角函数的五点法作图及图象变换例 2 已知函数 f(x) 4cosxsin(x6) 1.(1) 用五点法作出 f(x)在一个周期内的简图；(

11、2) 该函数图象可由 ysinx(xR)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？【解析】 (1)y f(x)4cosxsin(x6)14cosx( 23sinx 12cosx) 1 3sin2x2cos2x 1 3sin2xcos2x2sin(2x6)2x60232225811x1212121212y02020函数 yf(x)在12，1112 上的图象如图所示【点评】 “五点法作图 ”应抓住四条： 化为 yAsin(x)(A>0，>0)或 y Acos(x )(A> 0， > 0)的形式；2求出周期 T ；求出振幅 A；列出一个周期内的五个特殊点当画出某指定区间 上的图

12、象时，应列出该区间的特殊点题型三三角函数图象与解析式的相互转化例 3 函数 f(x) Asin( x )(x R ， A>0，>0,0<<2)的部分图象如图所示(1)求 f(x) 的解析式；(2)设 g(x) f(x12)2，求函数 g(x) 在x6，3上的最大值，并确定此时 x 的值【解析】 （1）由图可知 A 2， T4 3，则 24×332. 又 f（6）2sin32×（6） 2sin（4）0 sin（4）0 0<<2， 4<4<440，即 4 f（x）2sin（23x4）（2）由 （1）可得 f（x12） 2sin32

13、（x12）42sin（23x8） 1 cos 3x 2 4 g（x） f（x12）2 4×222cos（3x4） 5 x6，343x454，当 3x4，即 x4时， g(x)max 4.点评】 根据 yAsin(x )K 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即K 的确定：根据图象的最高点和最低点，即的确定：结合图象，先求出周期，然后由A最高点最低点2K最高点最低点2T 2( >0)来确定 ；的确定：由函数 y Asin（x ） K 最开始与 x轴的交点 （最靠近原点 ）的横坐标为 （即令 x 0 ， x ） 确定 .例 4 若

14、方程 3sinx cosx a 在0,2 上有两个不同的实数根 x1，x2，求 a 的取值范围，并 求此时 x1 x2的值【解析】 3sinxcosx2sin（x 6），x0,2 作出 y 2sin（x6）在 0,2 内的图象如图由图象可知，当 1<a<2或2<a<1 时，直线 ya 与 y 2sin（ x6）有两个交点，故 a 的取值范围为 a（ 2,1）（1,2）当 1<a<2时， x1 x2 .x1 x2 .6 6 3 当2<a<1 时， x1 x2 3，x1x2 .6 6 3 【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的

15、解决，因此我们 必须准确把握三角函数 “形 ”的特征28例 4 已知函数 f（x）Asin（x），xR（其中 A>0，>0，0<<2）的图象与 x 轴的交点2 中，相邻两个交点之间的距离为 2，且图象上一个最低点为 M（23， 2）（1）求 f（x） 的解析式；（2）将函数 f（x） 的图象向右平移 12个单位后， 再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的 纵坐标不变，得到 y g（x）的图象，求函数 yg（ x）的解析式，并求满足 g（x） 2且 x0， 实数 x 的取值范围【解析】 （1）由函数图象的最低点为 M（23， 2），得 A2，12，的由 x 轴上相邻两个交

16、点间的距离为 2，得 2T 2，即 T ，22 2 2.又点 M（ ， 2）在图象上，得 2sin（2 ×） 2，334即 sin（ 3 ） 1，4 11 故 32k2，k Z，2k 6 ， 又 （0，2）， 6.综上可得 f（x）2sin（2x6）（2）将 f（x） 2sin（2x6）的图象向右平移 12个单位，得到 f1（x）2sin2（x12）6，即 f1（x）2sin2x 的图象，1然后将 f1（x） 2sin2x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的2，纵坐标不变，得到 g（x）2sin(2 2·x)，即 g(x) 2sin4x.0xg x 2sin4x 20x0x0

17、x则 3 即 k k 3 .2k 44x2k 4 kZ2 16x2 16 kZ 3 9 11 故16x16或16x16.题型四、三角函数的奇偶性与周期性及应用例 1 已知函数 f (x) sin( x)，其中 >0， |< 2.3 (1) 若 cos4cos sin 4sin0，求 的值；(2) 在 (1)的条件下，若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数 f(x)的解析式；并求最小正实数 m，使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数 3 【解析】 (1)由 cos4cossin 4 sin0 得 cos(4) 0. |<2，

18、4.T 2 (2)由已知得 23，T 3 ，3f(x)sin(3x4) 设函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)， 则 g(x) sin3(xm)4sin(3x3m4)g(x)是偶函数当且仅当 3m4 k2(kZ)即 mk3 12(k Z) 最小正实数 m 12.题型五 三角函数的单调性与周期性例 2 写出下列函数的单调区间及周期：(1) ysin 2x3 ；(2)y|tan x|.解 (1)y sin 2x 3 ，它的增区间是 ysin 2x3 的减区间，它的减区间是 y sin 2x 3 的增区间 . 5 由 2k22x32k 2，kZ，得 k 12x k12，

19、kZ.由 2k22x32k 32，k Z，得 k152xk1112，kZ.5 故所给函数的减区间为 k12，k 12 ，k Z；增区间为 k 12， k 12 ，kZ.最小正周期 T 2 .(2) 观察图象可知， y|tan x|的增区间是 k，k2 ，kZ，减区间是可以通过解不等式的方法去解答>0)的函数的单调区间，列不等式的原则是：把 “x(>0)”视为一个 “整体 ”； A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与 ysin x(xR)，ycos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相同 (反)(2)对于 y Atan(x ) (A、为常数)，其周期 T|，单调区间利

20、用 x k 2，k2，解出 x 的取值范围，即为其单调区间(3) 求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定变式训练 2 (1)求函数 ysin 3 4x cos34x的周期、单调区间及最大、最小值；6(2)已知函数 f(x)4cos xsin x6 1.求 f(x)的最小正周期；求 f(x)在区间6，4上的最大值和最小值 .解: ysin 34x cos 4x63cos4x21sin 4x23 cos4x 1sin 4x22sin 4x 3cos4x 2sin(4 x3)(1)周期为 T=22k 4x22k32,k Z函数的递增区间为 5 k， 24 2 ， 24k

21、2 (k Z)；2k 4x23 32 2k ,kZ 函数的递减区间为k，7k24 2，24 2 (kZ)ymax 2； ymin 2(2) f(x) 4cos xsin x 6311 4cos x( sin x cosx) 1222 3sin xcosx 2cos2 x 13sin2x cos2x 2sin(2 x )6， ,2x6 4 62 6 , k ， kZ， k ，kZ， 263 最大值为 2；最小值为 1 题型 六、三角函数的对称性与单调性及应用ur r ur r例 2 已知向量 m( 3sin2 x 1， cosx)， n (1,2cosx)，设函数 f(x) m n，xR. (1

22、)求函数 f(x)图象的对称轴方程； (2) 求函数 f(x)的单调递增区间【解析】 (1) f(x) m ·n 3sin2x12cos2x 3sin2 xcos2x 2sin(2 x 6) 对称轴方程为： 2x k ，即 xk (kZ)6 2 2 6 (2)由 2 2k2x 62 2k得 3 kxk6 f( x)的单调递增区间为 k 3， k 6( k Z )【点评】 对于 f(x) Asin( x )(A>0， >0)： 若求 y f(x)的对称轴，只需令 x k 2(k Z)，求出 x；若求 yf(x)的对称中心的横坐标，只零令xkk(Z)，求出 x； 若求 yf(

23、x)的单调增区间，只需令 2k 2x 2k2，求出 x；3 若求 yf(x)的单调减区间，只需令 2k2x 2k 2 ，求出 x.题型七 三角函数的对称性与奇偶性例 3 (1)已知 f(x) sin x 3cos x(xR)，函数 yf(x) |2的图象关于直线 x0 对称， 则 的值为 .4(2)如果函数 y 3cos(2x )的图象关于点 3 ，0 中心对称，那么 |的最小值为 ( )A.6B.4C.3D.2(1)6f (x)2sin (x3)，yf(x)2sin(x 33) 图象关于 x 0 对称，即 f(x )为偶函数 32k，kZ， 即 k 6，k Z，所以当 k0 时， 6.(2)

24、A3cos(2 43) 3cos( 232) 3cos( 23) 0,3 3 3取 k 0，得 |的最小值为 6.故选探究提高 若 f(x)Asin(x)为偶函数，则当 x0 时， f(x)取得最大或最小值 若 f(x)Asin(x)为奇函数，则当 x0 时， f(x) 0.如果求 f(x)的对称轴，只需令 x2k k(Z)，求 x. 如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk k( Z )即可 .5变式训练 3 (1)已知函数 f( x) sinx acos x 的图象的一条对称轴是 x 3 ，则函数 g(x)asin3xcos x 的最大值是 ( )A.22323B.2334D.263

25、由题意得 f(0) f ( 103 ) ，a 23 a2. 3xcos x23 3sin ( x g(x )max 2 3.3.(2)若函数 f(x) asin x bcos x (0<<5，ab0的) 图象的一条对称轴方程是 x 4，函数 fx() 的图象的一个对称中心是，0 ，则 f(x)的最小正周期是 .8(1)B (2) 由题设，有 f (4) ± a2b2，即 22(ab)± a2b2，由此得到 ab.又f (8) 0，所以 a(cos 8 sin 8 )0，从而 tan 1， k ，kZ，即 8k2，k Z，而 0<<5，所以 2，8 8

26、 4于是 f (x) a(sin 2xcos 2x) 2asin (2 x 4)故 f(x) 的最小正周期是 .题型八 三角函数的值域与最值的求法及应用例 3(1)求函数 y2sinxcos x的值域；1 sinx(2)求函数 y sinxcosx sinxcosx 的最值；1 cos2x x x(3) 若函数 f(x)asin2·cos(2)的最大值为 2，试确定常数 a 的值4sin( x)22sin x(1 sin x)【解析】(1) y=1 sin x2 1 2 12sinx(1sinx) 2sinx2sin2x 2(sinx2)22.1sinx0，1<sinx1.4&

27、lt;y2.2故函数 y2sinxcos x1的值域为 （4， 21 sinx2t21（2）令 t sinx cosx，则 sinxcosx 2 ，且 |t| 2. 11y2（t21）t2（t1）21，1 当 t 1 时， y min 1；当 t 2时， ymax 22.2cos2xx x 1 a（3）f（x） 4cosx asin2cos22cosx2sinx1 a21 4 4sin（x ）， （其中 tan a）由已知得a422，解得 a± 15.【点评】 求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法(1)yasinxbcosx 型，可引用辅角化为 y a2b2sin(x)

28、(其中 tan ab) (2)yasin2xbsinxcosxccos2x 型，可通过降次整理化为 yAsin2xBcos2xC.(3) y asin2xbcosx c 型，可换元转化为二次函数(4) sinxcosx 与 sinx±cosx 同时存在型，可换元转化asinx bacosx b(5) y(或 y)型，可用分离常数法或由 |sinx|1(或 |cosx|1)来解决，也可csinx dccosx d化为真分式去求解asinxb(6) y型，可用斜率公式来解决ccosxd例 4已知函数 f(x)sin2xacos2x(aR，a为常数 )，且 4是函数 y f(x)的一个零点

29、 (1)求 a 的值，并求函数 f(x) 的最小正周期；(2)当 x0，2时，求函数 f(x)的最大值和最小值及相应的 x 的值【解析】 (1)由 4是 y f(x)的零点得 f(4) sin2acos240，求解 a 2，则 f(x)sin2x2cos2xsin2x cos2x 1 2sin(2 x 4) 1， 故 f(x)的最小正周期为 T22 . 3 2 (2)由 x0，2得2x44，4，则 2 sin(2x4)1， 因此 2 2sin(2x4)1 21，故当 x0 时， f(x)取最小值 2， 当 x 38时， f(x)取最大值 21.a R，f（x）cosx（asinxcosx）co

30、s2（2 x）满足 f（ 3）f（0），求函数 f（x）在 4，1214上的最大值和最小值【解析】 f(x)asinxcosxcos2x sin2x a2sin2x cos2x 由 f(3) f(0)得 23·a221 1，解得 a2 3.f(x) 3sin2x cos2x 2sin(2x 6)当 x 4， 3时， 2x 6 3， 2，f(x)为增函数当 x3，1214时， 2x6 2， 34，f(x)为减函数 11 11 f(x)在4，1214上的最大值为 f(3)2 又f(4) 3， f(1214) 2)11 11 f(x)在4，1214上的最小值为 题型九 分类讨论及方程思想在

31、三角函数中的应用 例题：已知函数 f (x) 2asin 2x6 2ab的定义域为 0，2，函数的最大值为 1，最 小值为 5，(1)求 a和 b的值.(2)若 a>0，设 g(x)f x2 且 lg g(x)>0，求 g( x)的单调区间点评 求出 2x6的范围，求出 sin(2x6)的值域 .系数 a 的正、负影响着 f(x)的值，因而 要分 a>0， a<0 两类讨论 .根据 a>0 或 a<0 求 f(x)的最值，列方程组求解 解 (1) x 0，2，2x6 6，76.sin 2x6 21，1 ，2 6 6 6 6 2 2asin 2x6 2a，a

32、f(x) b,3ab，又 5f(x) ，1 b 5,3a b 1，因此 a2， b 5.(2)由(1)得 a2，b5，f(x) 4sin 2x6 1，7 g(x)f x 4sin 2x 1 4sin 2x 1，266又由 lg g(x)>0得g(x)>1，4sin 2x61>1， sin 2x>1， 2k< 2x<2k5，kZ，6 2 6 6 6其中当 2k<2x2k，kZ 时， g(x)单调递增，即 k<xk，kZ，6 6 2 6 g(x)的单调增区间为 k，k6，k Z.又当 2k<2x<2k5，kZ 时， g(x)单调递减，即

33、k<x<k，kZ.2 6 6 6 3三角函数的图象与性质练习一一、选择题 1对于函数 f(x) 2sinxcosx，下列选项正确的是 ( ) A f(x)在 (4，2)上是递增的 B f(x)的图象关于原点对称 C f(x)的最小正周期为 2D f(x)的最大值为 2 【解析】 f(x) sin2x f(x)在(4，2)上是递减的， A 错； f(x)的最小正周期为 ，C 错； f(x)的最大值为 1， D 错；选 B.2若 、(2，2)，那么 “< ”是“ tan< tan”的( ) A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【解析】 、 (

34、2， 2)， tanx 在此区间上单调递增当 <时， tan<tan；当 tan < tan 时， < .故选 C. 3已知函数 f(x) sin(x )(>0，|<2)的最小正周期为 ，将该函数的图象向左平移 6个单位 后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f(x)的图象 ( )A关于点 (12， 0)对称 B关于直线 x 152对称 C关于点 (512， 0)对称 D关于直线 x12对称 【解析】 由已知得 2，则 f(x) sin(2x ) 设平移后的函数为 g(x)，则 g( x) sin(2x 3 )(|<2)且为奇函数 3，f(x)sin(2

35、x3) 图象关于直线 x152对称，选 B.4已知 f(x)sinx，xR，g(x)的图象与 f(x)的图象关于点 (4，0)对称，则在区间 0,2 上满足 f(x) g(x) 的 x 的取值范围是 ( ) 33 7 3 3 3 A4，4B4，4C2， 2D4，2【解析】 设 (x， y)为 g(x)的图象上任意一点，则其关于点 (4，0)对称的点为 (2 x， y)， 由题意知该点必在 f(x)的图象上 y sin(2 x)，即 g(x) sin(2 x) cosx，由已知得 sin x cosx? sinx cosx 2sin(x4)0 又 x0,2 34x74.5已知函数 f(x)3si

36、n(x)，g(x)3cos(x)，若对任意 xR，都有 f(3 x) f(3x)，则 g(3).【解析】 由 f(3 x) f(3 x) ，知 yf(x)关于直线 x 3对称， sin( ·3 ) ±1. g(3)3cos(·3 )3 1sin2 ·3 0.x 6设函数 f(x)2sin( 2 5)，若对任意 xR，都有 f(x1) f(x) f(x2)恒成立，则 |x2x1|的最小值为【解析】 由“f(x1)f(x)f(x2)恒成立 ”，可得 f(x1) 、f(x2)分别是 f(x)的最小值、最大值 2 |x2x1|的最小值为函数 f(x)的半周期，又

37、 T 4.|x2x1|min2.2 7已知函数 f(x) sinx cosx， fx()是 f(x)的导函数(1)求 fx()及函数 y fx()的最小正周期；(2)当 x 0，2时，求函数 F(x)f(x)fx()f2(x)的值域 【解析】 (1)fx() cosx sinx 2sin(x4) y f x() 的最小正周期为 T 2.22(2)F (x) cos2x sin2x12sinxcosx 2sin(2 x 4) 5 2x0，2，2x44， 4sin(2x4) 2 ，1， 函数 F(x)的值域为 0,1 28设函数 f (x) 2cosx(sin x cosx) 1，将函数 f(x)

38、的图象向左平移 个单位，得到函数 yg(x) 的图象(1)求函数 f(x) 的最小正周期；(2)若 0< <2，且 g(x)是偶函数，求 的值解析】 (1) f( x) 2sinxcosx 2cos2x1 sin2x cos2x 2sin(2x4)， f(x)的最小正周期 T 22 2sin(2x24)，(2)g(x)f(x) 2sin2( x )4g(x)是偶函数，则 g(0) ± 2 2sin(2 4)， k 24k2，kZ. 2 8(kZ)， 0<<2，三角函数的图象与性质练习二1. 函数 f(x) sin 2x 3 图象的对称轴方程可以为( )35A.

39、x 12 B.x3C.x6D.x12 k 解析 令 2x3k2(kZ)，得 x 212(kZ)，令 k0 得该函数的一条对称轴为 x12.本题也可用代入验证法来解 答案 D2. y sin x 4 的图象的一个对称中心是 ( )33 A.( ， 0)B. 4 ，0 C. 2，0D. 2，03. 函数 y 3cos(x )2 的图象关于直线 x 4对称，则 的可能取值是 ( )3 3 A. 4B. 4 C.4D.2二、填空题4. 函数 y lg(sin x) cos x12的定义域为 (2k ,2k(kZ).5. 已知函数 f(x)3sin( x 6)( >0)和 g(x)2cos(2x)

40、1 的图象的对称轴完全相同 .若 x0， 3，则 f(x)的取值范围是 ， 3 .224函数 f(x)2sin x(> 0)在 0， 4 上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么 等于 解析 因为 f(x) 2sin x(>0)在 0，4 上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以 2sin4 3，且 0<4<2，因此 34.答案 436. 关于函数 f(x) 4sin 2x3 (x R )，有下列命题： 由 f(x1)f(x2)0 可得 x1x2 必是 的整数倍； yf(x)的表达式可改写为 y4cos 2x6 ； yf(x)的图象关于点 6，0 对称； yf(

41、x)的图象关于直线 x 6对称 .其中正确命题的序号是 . 解析 函数 f(x) 4sin 2x 3 的最小正周期 T，由相邻两个零点的横坐标间的距T离是 2T2知错利用诱导公式得 f(x) 4cos 2 2x 3 4cos 62x 4cos 2x6 ，知正确由于曲线 f(x)与 x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x 6代入得 f(x)4sin 2× 6 3 4sin 0 0，因此点 6， 0 是 f(x)图象的一个对称中心，故命题正确曲线 f(x)的对称轴必经 过图象的最高点或最低点，且与 y 轴平行，而 x 6时 y 0，点 6，0 不是最高点也不是最低点，故直线 x 6不是图

42、象的对称轴，因此命题不正确答案 三、解答题7. 设函数 f(x)sin(2x ) ( <<0) ， y f(x)图象的一条对称轴是直线 x8.(1)求 ；(2)求函数 y f(x)的单调增区间 .解 (1) 343(2)由(1)得： f(x) sin 2x 4 ，3 令 22k2x 4 22k， k Z，5 可解得 8kx 8 k， kZ ，因此 y f(x)的单调增区间为5 8k， 8 k，kZ. 8. (1)求函数 y 2sin 2x3 (6<x<6)的值域； (2)求函数 y 2cos垂线，垂足为 P1，直线 PP1与函数 ysin x的图象交于点 P2，则线段

43、P1P2 的长为x 5sin x4 的值域 . 2解 (1) <x< ， 0<2x < ，0<sin 2x 1，663 33 y2sin 2x3 的值域为 (0,2.(2)y 2cos5. 函数 f(x)2sin x(>0)在 0，4上单调递增， 且在这个区间上的最大值是 3，那么 43x 5sin x42(1sin2x)5sin x4 2sin2x5sin x2 2 sin x45 289.当 sin x1时，ymax1，当 sin x 1时， ymin 9， y2cos2x5sin x4 的值域为 9,1.三角函数的图象与性质练习三、选择题1.定义在 R

44、 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数， 若 f(x)的最小正周期是 ，且当 x 0，2 时，f(x)sin x，则 f 53 的值为 ( )1A.2B.21 C. 23D. 232.已知函数f(x) 2sin x(>0)在区间3， 4上的最小值是 2，则 的最小值等于()23A.3B.2C.2D.353.函数 f(x) cos 2x sin 2 x()A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D. 有最大值又有最小值的偶函数二、填空题4.设定义在区间 (0， 2)上的函数y 6cos x的图象与 y 5tan x 的图象交于点 P，过点P作 x轴的解析 因为 f(

45、x)2sin x(> 0)在 0，4 上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以 2sin4 4 4 3，且 0< 4< 2，因此 3.答案 36. 给出下列命题：2 3函数 ycos 3x 2是奇函数；存在实数 ，使得 sin cos 23；若 、是第一象限角且 <，则 tan <tan ；x 8是函数 y sin 2x 54的一条对称轴； 函数 y sin 2x 的图象关于点 ，0 成中心对称图形 .3 12其中正确的序号为 .三、解答题7. 若函数 f(x)sin 1 2 sin 2ax 4 2.yf(x)的图象与 ym 相切，m 为 f(x)的最大值或最小值，axsin ax·cos ax (a>0)的图象与直线 y m相切，并且切点的横坐标依次成公 差为2的等差数列 . (1)求 m的值；(2)若点 A(x0，y0)是 yf(x)图象的对称中心，且 x0 0，2 ，求点 A的坐标 .117.解 (1)f(x)2(1cos 2ax) 2sin 2ax111 2 即 m 2 或m1 2(2) 切点的横坐标依次成公差为 2的等差数列， f(x)的最小正周期为 2.T|2a|2，a>0，a2， 2(sin 2axcos