(完整word版)现代控制理论习题解答(第二章)

1、3-2-1第二章状态空间表达式的解试求下列矩阵A对应的状态转移矩阵( t ) 。01011) A( 2)A02403)A 011( 4)210A001545)A0001 ( 6)：1)1(t) L 1(sIA)111 L 1L10.50.5(s(s 2)12)1s(s 2)1(s 2)0.50.5e2t2t2)(t)1L 1(sIA) 11ss2 4412 ss2scos 2t 0.5 sin 2t2sin 2t cos 2t3)s24)特征值为：(t)1L 1(sIA)1L 1(s 1)21(s 1)21(s 1)2s(s 1)2(t) te2 1, 3 2 。3-1-7(3) 得将 A阵化

2、成约当标准型的变换阵tete ette tP为线性变换后的系统矩阵为：1 APAtet 0 0tetet0002t eAt At(t) eAtPeAt P2t e000t e00 tet t e5)为结构四重根的约旦标准型。6)虽然特征值相同，但对应着两个约当块。(t) 2e4e2t e2t2tet2t2te2te2e4e2e2t4e2t8e2t3te3te3te2e5e8ee 2e 4e2t2t2ttetetete2e3eAt(t) e1tt 2!t 3!1t01t1t2 2!01001t000001001234tte101t221t61t2t1(t) eAte A1t0eA2tA1A1t

3、e110A20100A2t e2t t 12t ete t e20e t te t00 et(t)Atet 000t t 12t0 e te t e200 e t te t000 et1s 0001110s10或 (t) L 1( sI A) 1 L 10 0s 100 0sL1( s )213(s )1( s )21et 000t t 12t0 e te t e200 e t te t000 et3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件1001x 0 1 0 x,x（0）001211）用 laplace法求状态转移矩阵；2）用化标准型法求状态转移矩阵； 3）用化有限项法求状态转移矩阵；4）求

4、齐次状态方程的解。：1(t) L 1 (sI A)1s1 001L 1 0s 1001 s2100(s 1)L1010(s 1)1110(s 1) (s 2) (s 2)et000et0t 2t 2t ee e2)特征方程为：IA100101020(1)2(2) 02特征值为：121, 32。000rank ( 1 I A) rank 0 00n110110002n21rank ( 1 I A) rank 0 0 0011由于 n2n1 1，所以1对应的广义特征向量的阶数为1。求满足 ( 1IA)P1 0的解P1 ，得：0 00 P1110 00 P210 ，P10011 P310再根据 (

5、2I A)P2 0，且保证P1、P2线性无关，解得：P20 11 T对于当3 2的特征向量，由( 3I A)P3 0容易求得：P30 0 1 T所以变换阵为：线性变换后的系统矩阵为：3)特征值为：PP1At(t) eP3t e00At e0t e01 APet 0 0002t e0t e0002t et e000t ete2t e002t e1,2。1ta0a1a2te 1t a1 2a 2 13t2a0a1 3a2 3211ta0111e0223 a10 1 2 1 te 1a2133e3t1111et012tett etet2t e124e2t2tet2ett e3tettet2t e2e

6、2t2te(4)3-2-3试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵11)(t)00At ea0Ia1 A2 a2Ax(t) (t)x(0)t e000t et e0t et e2t e002t e2t e02t e02t e002t1 0.5(1 e 2t)sin t cost ( 2)(t)2t0 e 2tcost sin tt 2tt3)(t) 2et e2t 2et 2ee e e 2e2t2t0.5e t 0.5e3t0.25e t 0.25e3t4)(t) et e3t 0.5e t 0.5e3t：1)(0)00sin tcostcostsint1I0不满足

7、状态转移矩阵的条件。2)(0)0.5(1e2t e2t(t) A (t)，得 (0) A(0)A。3)4)3-2-4(t)002t e2e 2t(0)A (0)(0)2t e2e2t01022e t et2e t et(0)0.5e tteA (0)0.5et teA(t1)2t1112t1(t,t0)tA( )d e t0(t,t0)3-2-5求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。【解】：1(t02t2)2t e2t e2e tet2e2e2t2t2e2e2t2t2e tet4e4e2t2t3t 0.5e3te1.5e3t3e3t0.25e t0.5e t0.25e3t0.5e3t0.25

8、e t0.5e t0.75e1.5e3t3t11412t1x 2t 1 x ，试求系统的状态转移矩阵。12tA(t2)2t2111, 得： A(t1)* A(t2 )2t2A(t2)* A(t1)t012!t023(t3t03)12(tt0)t0t02t2t0t2(t02t2)23(t331t03)2 (tt0)x 01 x 0 u ，初始条件为x(0)1 试23113-2-61(t) L 1( sIA)1s3t L 1 (s 1)(s 2)()2(s 1)(s 2)1(s 1)(s 2)s(s 1)(s 2)x(t) (t)x(0) A 1I (t) B2e2e0.5状态的初始条件为x(0)

9、0 ，输入量为u(t) e t (t 0) ，试求系统的输出响应。1(t)1L 1(sIA)5 e145e41 e45 e45t5ty(t)(t)x(0)(t5e45 e4(t(t5t2te2t2e0.5e 2t2t e1 e41 e4)Bu()d2te2t2e2u, y 1 2 x，已知 01 e45 e45t5t5 e45 e41 e45 e45t1 e45 e45(t )5(t5t5t1 e41 e41e45 e45t5t1 e41 e4(t(t1e45 e45(t5(t5t2ed 05 e25e2(t(t1 e255(t5(t4 )d5 te29 5te 5t (t 0)813-2-7

10、 线性定常系统的齐次方程为x Ax(t) ，已知当x(0)1 时，状态方程的解为e 2t1e tx(t) 2e 2t ；而当 x(0)1 时，状态方程的解为x(t) e t ，试求：(1) 系统的状态转移矩阵(t)；(2) 系统的系数矩阵A。【解】：x(t) (t)x(0)x1 (t)1112x1(0)x2 (t)2122 x2(0)2t2e2t1112121222t et e1112121221112 12 e ，212 222e2tt1112 e ，2122(t)111221222e t e 2t2e t 2e 2tt et e2t2e2tA (t) t 001230113-2-8 已知线

11、性时变系统为x 0 1 x, x(0)1 ，试求系统状态方程的解。0t1【解】：对任意时间t 1 和 t 2有A(t1 )010 t1A(t2)010 t2得： A(t1)* A(t2) A(t2)*A(t1) 所以有t100t(t,0) I A( )d0A( 1 ) A( 2)d 2d 11t21 t6100 t20 10 0.5t 23-2-9x1(kx2(ky(kT)10x(t) (t,0)x(0) (0 11 x(t)012t t222130.5t t6t2 0.5t21)T1)T11(1x1(kT)x2(kT)0 u1 (kT)1 u2(kT)x1(kT)x2(kT)x1(0)x2(

12、0)1t21 t61 tt20.5t 216t31218若 u1(kT)与u2(kT) 为同步采样时，且 u1(kT)是来自斜坡函数t的采样，即 u1(t) t， u2(kT)是来自指数函数u2(t) e t 的采样。试求系统的输出响应y( KT) 。【解】：方法一：利用 Z变换的方法求解： 1C1181,Zu1(t)Z(t)Tz(z 1)2, Zu2(t)Z(e t)(zze T)U (z)Tz(z 1)zX (z)(zeT)1(zI G) 1zx(0)(zI1G) 1HU (z)zX(z)0.50.12510.125zz 0.50.50.1250.125 z 0.51HU (z)32(2z

13、 1)832(2z 1)8X(z)64z264z1564z2 64z15 z 164z264z1564z2 64z1510832(2z 1)3832(2z 1)0164z264z1564z2 64z1564z264z1564z2 64z15U (z)32z(2z 1)8z32(2z 1)8Tz64z2 64z 158z2164z2 64z 15132z(2z 1)364z2 64z 15864z2 64z 1532(2z 1)(z 1)2 z264z2 64z 15264z2 64z 15264z2 64z 15264z2 64z 15(z eT)2z z35 zz882z z35 zz88(

14、z 0.5) Tz8z(z 3)(z 5) (z 1) (z 3)(z 5) (z e )888818 Tz (z 0.5) z35 (z 1)235 (z e T)(z )(z)(z )(z)8888=第一部分+第二部分第二部分为：32 Tz 32 Tz25395zz880.5z32 Tz 1088 Tz15 (z 1)2225 z 10.5z(z 3)(3 e T) (z 5)(5 e T) 8(z e T )(3 8888832 Tz32 Tz8 Tz512 Tz25 z 39 z 5 15 (z 1)2 225 z 1880.5z(zeT)0.5z(0.555 tt 3(z )( e

15、) (z e )(888e T )(5 e T) 8eT)zeT)(85 eT)x(kT) ZX(z)所以第一部分的Z 反变换为：x1(kT)(5)k 2(3)k88(5)k 2(3)k88所以第二部分的Z 反变换为：x2(kT)32T 0.5(3)k32T253 t 89e81088Te kT2258(3 eT)(5 eT)880.5(85)k32 kT15320.53 k 32T() T253 T 89e8512T (0.5 e T)e kT225(3 eT)(5 eT)880.55t(58)k8 kT15x(kT) x1(kT) x2(kT)y(kT) Cx(kT) 1 1 x(kT)y

16、(kT)k6415 kT()95 T8e840 kT151600 T225T kT(0.625 e )et5 te )( e )8方法二：利用递推算法求解差分方程组：k0x1Tx2T1128x1(0)10u1(0)11x2(0)01u2(0)82112811100011819P10.5 0.50.50.5(k)kP 0.375k00.6205kP1(k)0.50.375k0.50.625k0.50.375k0.50.625 k0.50.375k0.50.625k0.50.375 k0.50.625kk-1利用 x(k) (k)x(0) (k -j-1)Hu(j)j0得：x(T)- 0.1250

17、2.375015/64 + Tx(2T)75/64 + e-T-T135/512 +5/2* T +1/8* e-Tx(3T)-T -2T315/512 +1/8* T +1/2 *e-T + e-2T-T-2Tx(4T)855/4096 + 273/64 * T +1/8* e-T + 1/8* e-2T1395/4096 + 3/8*T + 17/64* e-T +1/2 * e-2T + e-3Tx(5T)y(kT)x1(kT)x2 (kT )y(T) 2.25-Ty(2T) 90/64 + T +e-TT 2T y(3T) 450/512 + 2.625T + 0.625e-T +e-

18、2T-T-2T-3Ty(4T) 2250/4096 + 4.6406T + 0.3906e -T + 0.625e-2T e-3Ty(5T)3-2-10 已知连续系统的状态方程为：x1(k1)T100 x1 (kT)1x2(k1)T022 x2 (kT)0 u(kT)x3( k1)T110 x3 (kT)1x1 (0)1x2(0)0x3 (0)2试求当控制序列为u(kT) 2kT (T 1秒 )时离散系统的状态x(kT)。： 利用递推算法求解差分方程组：100(k) Gk 0221101(1) G11002022 ，(2) G21101002241221003(3) G36 04 ，12410

19、04(4) G 410405041x(1)(1)x(0)(0)Hu(0)41x(2)(2)x(0)(1)Hu(0)(0)Hu(1)677x(3)(3)x(0)(2)Hu(0)(1)Hu(1)(0)Hu (2)21313x(4)(4)x(0)(3)Hu(0)(2)Hu(1)(1)Hu (2)(0)Hu (3)3011x(5)3-2-11 已知离散系统的结构图如题3-2-11 图所示，题 3-2-11 图（1）求系统离散化的状态空间表达式；（2）当采样周期T 0.1 秒时，输入为单位阶跃函数，且初始条件为零时离散系统的输出y(kT)。： 方法一： 依据方框图求闭环脉冲传递函数：G开 (z) ( 1

20、z 1) Zs（ s 1）（s 2）G开 (z) ( 1z 1) Z0.51s10.5s2G开 (z)1z1)(0z.5z1zT ze0.5z2T ) zeG开 (z)z 1) ( 0.5z11T ze0.52T) zeC（ z）R（ z）G开 (z)G开 (z)0.5(1T2e )zTT20.5e (1 e )0.5(14e2Te )z 0.5e(1T2e 3e2Tx1(k 1)Tx2(k 1)T依据闭环脉冲传递函数写出状态空间表达式：0.5e T(12eT3e2T)10.5(1 4e T2Tx1 (kT) x2(kT)01 r(kT)y(kT) 0.5eT(1 eT)20.5(1 eT)2

21、x1(kT)x2(kT)0.1 秒时C（ z）R（ z）G开 (z)0.0046z0.00411 G开 (z)z2 1.7190z 0.7448又因为输入为单位阶跃函数，且初始条件为零，所以x1(k 1)Tx2(k 1)T01x1 (kT )00.7448 1.7190 x2 (kT )1x1(kT)y(kT )0.0041 0.0046x2(kT)求零初始条件下单位阶跃输入的输出y(kT)。(k) Gk(1)G1010.74481.719020.74481.7190(2)G21.28032.210231.28032.2102(3)G31.64612.519041.64612.5190(4)G

22、41.87612.6840k1x(k)(k)x(0)(kj 1)Hu(j)j00.7448 1.7190r(kT)k1x(k) (k j 1)Hj000x(1)(0) 11x(2)(1)H(0)H12.7190x(3)(2)H(1)H(0)H2.71904.92924.9292x(4)(3)H(2)H(1)H(0)H7.4482x(5)y(k) Cx(k) Du(k)y(k) Cx(k) 0.0041 0.0046x(k)y(1)Cx(1)0.00410.0046 x(1)0.0046y(2)Cx(2)0.00410.0046 x(2)0.0166y(3)Cx(3)0.00410.0046x(

23、3)0.0388y(4)Cx(4)0.00410.0046x(4)0.0545方法二：系统中连续时间被控对象的传递函数为：11)1s 2)G(s)( s 1)(s 2) ( s系统中连续时间被控对象的状态空间表达式为：10状态转移矩阵为：11(t) L 1(sI A) 1L11(s 1)s21(s 2)02t(对角标准型也可直接写G(T)AT e02TH(T)At e Bdt002t edt0.50.5e2TG(T)x(kT)H (T)u(kT)故被控对象的离散化状态方程为：x(k 1)Tx1(k 1)Tx2(k 1)T0e0x1 (kT)1 e T2T x2(kT)0.5 0.5e 2Tu(kT)根 据 系 统 结 构 图 ， 系 统 输 入 量 为 r(t) ， 输 出 为 y(t) ， 而 被 控 对 象 的 输 入u(t) r(t) y(t) r(t)x1 (t)x2(t)，所以系统的离散化方程为：系统