(完整版)贝叶斯统计第二版茆诗松汤银才编著

1、第一章先验分布与后验分布1.1 解：令 1 0.1, 2 0.2设A为从产品中随机取出8个,有2个不合格,P(A 1)Cf0.120.96 0.1488P(A 2)C20.220.86 0.2936从而有(i A)P(A i) ( i)P(A 1) ( 1) P(A 2) ( 2)0.4582A)P(A 2) ( 2)P(A 1) ( 1) P(A 2)(2)0.54181.2 解:令 11, 2 1.5设X为一卷磁带上的缺陷数，则P()P(XP(X3) P(X 31) ( 1) P(X2) ( 2)0.0998从而有X 3)X 3)P(X 3 1)(1)-0.24571.3 解:设A为从产品

2、中随机取出P(X 3)P(X 3 2) ( 2) -2 ' ) 0.7543P(X 3)8个，有3个不合格，则P(A)5(1)由题意知()1,0从而有 (A)P(A )()10 P(A ) ( )d5043(1)5,0(2)( A)P(A )()10P(A ) ( )d470403(1)6,01.5解：由已知可得 P(x)1,0.5 x0.51(),102010v 11.6 1m(x) d 0.0111.5 10从而有v P(v )()(x) _v 10,11.511.6m(x)为已知,1.6 证明：设随机变量X : P(),的先验分布为Ga(,),其中x则 P(x ) ,0x!()1

3、e ,0()因此 (x) P(x )? ( )xe1ex 1e(1 )所以 x: Ga(x ,1)1.7 解：(1)由题意可知()1,01因此12x_m(x) 2x?1d2(1 x)x 2因此(x)gq jxm(x) 1 x12x c(2)由题意可知 m(x)°-r?3 2d 6x因此( x) 1 1,011.8 解：设A为100个产品中3个不合格，则P(A ) C300 3(1)97由题意可知()-(202) (1)199,01(200)因此(A) P(A )?()3 (1)97 (1)1994 (1)296由上可知A: Be(5,297)1.9 解：设X为某集团中人的高度，则X:

4、 N( ,52)X: N( ,%)(176.53)2P(x ) .5 e="由题意可知()e、5.08(172.72)2508又由于X是 的充分统计量，从而有因此(v)(|x)P(X )?()(176.53)2( 172.72)2?e5.08(174.64)22 1.26v： N(174.64,1.26)1.10证明：设 ：N(u, 2),其中u,2为已知又由于X是的充分统计量，从而有(|v) ( |x) p(x| )?(又)22 e 25 e 2u)2-225 x u 225 1 2 )因此v 25x u 21x: N(irrT,25 12)又由于2512 25所以的后验标准差一定

5、小于151.11解：设X为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则 X : U (0,)，、1 cP(x ) 一，0 x8时，p(v )8192从而有(v)P(v ) ( )3-vm(X)128 71.12证明：由题意可知p(v ),0 X,i1,2，,n从而有 (|X) ( v)P(v )?因此1.13的后验分布仍是 解：由题意可知Pareto 分布。1451.15解:(1)设的先验分布为Ga(,),其中，为已知由题意可知pd )P(Xi ),Xi0,i从而有X)p(v)?(因此Ga(n所以Ga(,)是参数(3)由题意可知1.16解：设 X : N( 1,nX)i 1的共腕先验分布0.000

6、22 0.00010.000422) N(1,2L)2P(X 1,2)(X)2vP(X1, 2 )n2 2e(X 1)2 i 1由题意可知1N(0,22 ： Ga( ,从而有1,因此(VP(X1, 2)2 (nnn221%xii 1i 11.19证明:的先验分布为X : P(P(xX ex!p(v )P(Xin为i1 e nn为!1从而有/V P(X)?nXii1 e n第二章贝叶斯推断2.1 解:由题意可知1,0设X1,X2,.,Xn是从随机变量X中抽取的随机样本,从而有所以/V P(XnP(Xi i 1)n(1nXi )i1P(X )?n(1n为)i1 ,0nVx : Be(n 1, Xi

7、i 11)(1)由题意可知n=1,x=3x: Be(2,4)? 31E 2-4 3(2) 由题意可知 n 3,x1 3,x2 2,x3 5x : Be(4,11)?44E 4 11 152.2解：设X为银行为顾客服务的时间，则p(x设的先验分布为Ga(,),由题意可知从而有3.8p(v )?0.20.040.2nnxxne i1因此有x: Ga( n, nx) Ga(20.04,76.2)所以有? E( v) 27604 0.26E(1 v、1x)00_ nnxnxnxn 14.0022.3解：设X为磁带的缺陷数，则X : p(3vp(x )xii 13p(xe3xj由题意可知从而有v p(x

8、)?3不i1 c 32e e104e因此v: Ga(11,4)MSE(2) Var( |v),2.4解：设X为n个产品中不合格数，则X : bin(n,)由题意可知4(1)9,01(1)由题意可知X : bin (20,)p(x )3(1)17(因此又(所以v)P(v )?3(1)17? 4(1)97(1)26v: Be(8,27)x)7 6(1)26 26 7(1)25 0? 工MD ”33由题意可知X : bin(20,)且7(1)26P(x )(1)207(1)46(|v) P(v )?7(1)26?(1)20因止匕 v : Be(8,47)所以MDZ ? _8_53, E 552.5

9、解：设X : N( ,22),则 2 22设：N(u,1),则1 ,且 v: N(u1, 12)MSE( E) Var(v) 12n0.12.6解：设X为1000名成年人中投赞成票的人数,则 X : bin(1000,)(1)由题意可知 p(710 )710710 C1000(1)290,0a.b.710p(710 )?710: Be(712,291)710p(710 )?710: Be(714,291)(2)a. E E(710)b.710)(3)由题意可知p(x )a.b.x p(x)? A710(1710(1712712 291714714 291Cw00 x(1x(1x: Be(x 2

10、,1001 x)EA E( x) T003p(x )? Bx(1x: Be(x 4,1001 x)Eb E( x)x 410052x4EA- EB,1003 10052.7解：由题意可知p(x)290)2900.70980.7104)1000 x,0)1000 x1000 x 3)1 c ,0 x711 ,2 290(1)713(1)290x 1(1x 3(1)1000 x)1000 xp(v )1n-,0x ,i1,2,.,n令 1 max 0, x1,x2,., xnm(x)p(v )?1(n ) 1n从而有p(vl)vrm(x)(n)inn 1? E( X) (n n) 1nd1(n1)

11、1n 1E( 2X)2(n )n 11MSE( %)Var(v2 VX) E( X)2.8 解:(1)由题意可知P(x因此nx2所以(2)(nE2(2) 1nv)(n12)(n12-(n1I) 1n 1x2 e1)ex21)x: IGa(口2Var( x) n22 x22E( x) n2(3)由题意可知/V p(x2 n"2nxe 21)enx22x: IGa( 2nx2nxnx21第三章先验分布的确定3.1大学生中戴眼镜的比例是0.73.6 (1)由题意可知P(x )11 x2,10其他因此，该密度既不是位置密度也不是尺度密度。i 122i 11i 1(2)由题意可知P(x )p(

12、x )因此,该密度是尺度密度(3)由题意可知P(x,xxoxoxo因此,xoa 1x a xop(x1xoxxo,xxo该密度是尺度密度3.8解：(1)由题意可知P(x )xex!设X1,X2,.,Xn是来自X的简单随机样本，则nV,，、，xlnp(x )lni 1n 为i1 e n enxji 1nxi lni 1lnnxji 1xi n2l2I()Ex2i2Ex1 n2 xii 1(2)由题意可知p(x ) C；(1)n对上式分别求一阶导、二阶导得nxii 1设X1,X2,.,Xn是来自X的简单随机样本,nV ， 、x ln p(x )i 1nlnCni 1x In(n2x”n(1对上式分

13、别求一阶导、二阶导得n2n n Xl 1 ni 1 i_ xi 2l2I( ) Ex上Ex2n xi 12-(3)由题意可知p(xm(1设X1,X2，Xn是来自X的简单随机样本,nV,，、xlnP(x )i 1nlnCj xi 1nmlnxi ln(1对上式分别求一阶导、二阶导得nmxi12lnm-2nXi 121I()Ex2l2nm-2xii 1nmxi 1nm2(1)(4)由题意可知P(x,x设X1,X2，,Xn是来自X的简单随机样本,则nVxlni 1p(x ) n ln n lnnln xi 1nxii 1对上式分别关于求一阶导、二阶导得-n ln() n n ln xi()i 12l

14、I( ) Ex(5)由题意可知P(x )1 xe , x 01Ex2设XX2，,Xn是来自X的简单随机样本,则nV.xlni 1p(xi ) n ln n lnnlni 1对上式分别关于求一阶导、二阶导得2lI( ) Ex2l ex n22(6)由题意可知P(x ,)x,X 0p(xi ) n ln nlnnln xii 1设Xi,X2，Xn是来自X的简单随机样本,nv.xlni 1对上式分别关于求导得ln Pi xii 12l2l2l2lE(')det I3.9证明：由题意可知ln R Xi2liXik由于各Xi独立，因此有vl(xi, x2,., xk)由上式可得出2l v2xi2

15、li xi2-2l vxi因此有所以det I3.10 解:由题意可知因此有h(x,)p(x所以有m(x)x0.0103.11 解:由题意可知1 , 2,.所以有h(x,进而有,V、 m(x)(0,4.1a1 :大批生产,(1) Q( ,a)(2) min Q(0.01x 0.01二 I20.01e ,e x 0.011x 0.01P(x1,x2,.,xnP(x )1 , 2,.,i)0.010.01x 0.01x 0.01,xn)p(xi i)P(Xi, x2,., xn )1, 2,., n)第四章a2：中批生产,a11003060a2504020i 1,2,360, j20, j 6,j

16、max min Q( i,aj) j 1,2,3 i 1,2,3 j1 e0.01x 0.012,., n d决策者的收益、损失与效用a3 :小批生产a310961:畅销，2: 一般,Je iX!n1ie i11d 2.d3 :滞销max maxj 1,2Q( i,aj) i 1,2,33535.j 130, j 2因此，在悲观准则下，最优行动为 a3100, j 1(3) maxQ( i ,aj)50, j 2i 1,2,310, j 3max maxQ( i,a,) 100 j1,2,3i 1,2,3 j因此，在乐观准则下，最优行动为 a1(4) H(a1) 0.8 100 0.2 ( 6

17、0) 68H(a2) 0.8 50 0.2 ( 20) 36H(a3)0.8 10 0.2 6 9.2因此，在乐观系数为0.8时，最优行动为a14.2 (1) maxQ( i,aj) i 1,2,3因此，在乐观准则下，最优行动为a1(2) min Q( i,aj)i 1,2,317, j 113,j 2max minj 1,2Q( i,aj) i 1,2,317因此，在悲观准则下，最优行动为 a1(3) H(a1) 0.7 35 0.3 17 29.6H (a2) 0.7 30 0.3 13 24.9因此，在乐观系数为0.7时，最优行动为a14.3 解：由题可知Q a11000.6300.3

18、(60)0.163Q a2500.6400.3 (20)0.140Q a3100.690.3 60.19.3因此，在先验期望准则下，最优行动为 a14.4解 ;(1):51025, j24, j23, j22, j 21,j20, j(2) Q( ,a)5a,a5a,aa1a2a3a4a5a625 2423222120 2125 3029282726 225 30 Q35343332 325 3035403938 425 3035404544 525 3035404550 612(3) min Q( i,aj) i 1,2,.,6max min Q( i ,aj) 20 j 1,2,.,6i

19、1,2,.,6因此，在悲观准则下，最优行动为a6(4) H (a1)252525H(a2)302424H (a3)35232312H (a4)40222218H (a5)452124H (a6)502020304.5 解：Lal a2 a301250110 5015 10 520 15 1025 20 15a4 a5 a6345123421233012 450 1510 5 0 6512L a1E L( ,a)5 0.09 10 0.15 15 0.4 20 0.2 25 0.1L a2E L( ,a2)1 0.06 5同理可得L a35.71, L a42.51,L a50.15 10 0.

20、4 15 0.2 20 0.11.71,L a62.1114.459.814.6 解：L4.7 解：Q因此，在该先验分布之下a5为最优行动。a1a2a30302560501015053010218369180a1a2a3150501001100 200200250100034.8 解：(1) W ,a250a, a750500a, a(2) L ,a250 a a4.9解：令1为010%时的状态，2为10%20%时的状态,3 为 20%时的状态,a1为第一种支付办法，a2为第二种支付办法，则al a2100 40 1Q 30 40 250 403因此有Q a1 EQ,a110%0 100Be(

21、2,4)d20%10%30Be(2,4)d120%50Be(2,4)d47.91Q a2EQ,a2°40Be(2,4)d40所以该厂决策者应采取第一种支付办法。4.10解：由题意知L ,a)0,6530,6L ,a230 5 ,60,6,01010.6 110 1因此有 L a E L( ,a1)0d530 d 40106 106 1cc.cL a2E L( ,a2)0 -305 d9在先验期望损失最小的原则下最优行动为a12o4.11 证明：L a E L ,a E a a2 2aE E4.12证明：设m是先验分布的中位数,a是任一不同于m的行动，且a>m,则m a, mL(

22、 ,m) L ,a 2 (m a), m a a m, a其中ma 时，2 (m a) a m因此 L( ,m) L ,am a,ma m,mL m L a E L( ,m) L , amaP mala24.15由题意可知Q 5 10 1(1) Q aiE Q ,ai5Q a2E Q 94.5因此，期望收益决策为aia1 a2(2) U 2 10 1212Ua1EU,a12Ua2EU,a25.5因此，期望效用决策为a2a1 a2(3) U 12 52 11272Ua1EU,a112Ua2EU,a229.5 因此，新期望效用决策仍为a2a1a24.16解：由题意可知Q 399 400 13990

23、2(1) QaEQ,a1399Qa2EQ,a2399.2 因此，按直线效用曲线决策，他应该不参加保险。a1a2(2) U8.26659 8.28427 18.2665902U a1E U ,a18.26659U a2 E U,a28.2677 因此，在该效用曲线下，不应该参加保险。第五章斯决策0.125.1解:由题意可知段X悬三件中的不合格品数，u X : b(3,)优而有p(x ) C；3 x,x0,1,2,3因此有h(x,)P(x )0.12C3x3 x,x 0,1,2,3,00.12m(0)0.120 h(0,)d0.1210 0.120.83所以m(1)m(2)m(3)0.120 h(

24、1,0.120h(2,0.120 h(3,h(0,)m(0)h(1,)m(1)h(2,)m(2)h(3,)m(3)0.12)d)d)d0.1213 0.120.12130 0.12(2)由题意可知0.1524960.0131050.12 13 ,d0 0.12310.0004320.8310.04016 13,00.123 10.120.152496163.93832,00.120.01310513-012 19290 3,00.0004321907.667,00.120.120,1,2,3 ,agx0123i(X)a1a1a1a12( x)a1a1a1a23(x)a1a1a2a14( X)a

25、1a2a1a15(X)a2a1a1a16( x)a1a1a2a27( X)a1a2a2a18(x)a2a2a1a19(x)a2a2a2a210(x)a2a2a2a111(x)a2a2a1a212（X）a2a1a2a213(x)a1a2a2a214(x)a2a2a1a115(x)a2a1a1a216(x)a1a2a1a2W令2.4所以有80,a a1,a2.4 1250 ,a a2,ai77.6 1250 ,0,0因此有(4)L ,a212500,77.6,R a1 0 E |0 L ,a1R a1 1 E 1 L ,a1R a1 2 E 12 L ,a1-4 一 3R a1 3 E L ,a1

26、R a2 0 E 1° L ,a2R a2 1 E 1 L ,a2077.6 12500077.6 12500077.6 12500077.6 125000.12125077.600.12125077.60120.12R cfe 2 E 1 L ,a2125077.6030.12R a2 3 E L ,a21250 77.60(3)的言十算可知彳爰陂最小的决策函数悬31 d 22.72847 0.83 0.122 163.9383 1 d 7.6735291907.667 2 1 d 2.84153319290 3d13d 0.83 0.121.11165715.3215163.93

27、83 12d27.8827221907.667 2 1 d 36.9971319290 3d43.51139125080, WJ 0.06208 0a2, x 0 a1,x 1 a1.x 2 ai,x 35.2 解：(1)令 x d ,cxl(x) ecx封上式於x求一P皆厚得l (x)cecxcx c e0,cJWl (x)因此l(x)l(0)0,cJWl (x)0,cJWl (x)0,cJWl (x)(3)cc()e ccE封上式於求一皆厚、c cec02e1ln E c(4)由题意可知zv p(x因此有vl p(x所以_ 1x,- n优而1 ln Ecp(x-ew：c2ncx e5.3

28、It 明:i22封上式於求一皆醇、二皆厚得c22n2E22VE，L3 匚x P（x a） 1 x P（x a）- E1- E P（x ）2 P（x ）3 2丁 vF V -2E c 2 x 2 E c 2 x 01因此由题意可知因此有所以3 2E c-5.4证明:2Ev- V2E c 2 x 03 2E c-p（x ）p（v）由题意可知2xe 2e 22 x2-1-2 -2P（x ）1"reP（x a）12- e因此 p（x| ） a2 2 a x 210 P（xa）2所以P（x a） P（x ）a2 2 a x 2Le,a Ex in 山P（xla）Exa2 2 a x222a 2

29、 aa222ExP（x a） P（x ）Ex2 2a x a222Ex e22a x a242e-a2dx2e2 a242x2 dx 12 a2e 22 a222 a22e=22 a42(a )2-8-5.5解：由题意可知P(xx2e 2因此1n小 P(xa)所以Le,ap(x a)Ma21P(xa)P(x )x2e2ExIn.2 aeP(x ) p(x a)Ex11na 211ng 2xLH ( ,a)adxP(x1 24 4p(x a)2Exp(x a)P(xx2 1-4 . e2xe 2 dx 1141222115.6解：由题意可知p(x )x 1e x,x 0p(x a) x 1e a

30、x,x 0因此 p(x a) p(x )a xa xaa xx2aa1212Ex1Lh( ,a) 2E2Ex1e x012Ex由题意可知因此5.8 解:因此11p(x a) p(x )1e x°Ga,xxo由题意可知p(x1-2-10e1-r15e100 2e2rxdx1 x.x e dx 1x02 x2002 x2 2252x2009x 40013-9002 一139x 400 900N(,)1313由定理5.5可知B为后验分布的-分位数。5.9解：由题意可知/ v p(x因此有42P212e12121 vMW1 M其中 M A1111V A1UV , AmV a 1(V V)所以

31、?BE V v M5.11解：由题意可知 p(x| ) C： x 1因此p(v ),0由定理5.2x11101)13d-01141E 1工111919 189 1,01Be1所以 匚? Ex x 1B E x n25.13解：由题意可知p(x ) C； x 113 x因此x p(v )x: Be x 1,14 x所以 0: Be 1,14111 14 15(1)由定理5.1可知 2 E 0(2)?B为Be 1,14的中位数(3)由定理5.2可知-0Ex耳5Ix-15-(1)13d14E 14 113 115(1(4)由定理5.5可得?B 为 Be 1,14 的5.14 解:(1)由题意可知L(

32、 ,%)0,01分位数。30.151,0.15L()1,00.150,0.15R a0 xE lx(2)a。xa1 x(3)R a0 xR a1 x5.15解:L(,5.18解:因此L a1L( ,a。)L()14 10.150.1514 1x L( ,a°)E x L( ,a，E lx L(L( ,4)由题意可知(1),a°)13d13d0.102770.89723 20.102770.150.15由题意可知a100100N(U1, 1)1002900W( ,a)L(L(,4),a2)0.102770.897231.7944614 113d其中U1400 9x131 69.238.32100,a1500 ,a0,a215100 1500 ,1500100,0,151515a275150L（同）250.7a2517.5