第三节-幂级数

1、第三节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 幂级数 第十二章 一、一、 函数项级数的概念函数项级数的概念设121( )( )( )( )nnnuxu xuxux为定义在区间 I 上的函数项级数函数项级数 .为定义在区间 I 上的函数, 称( ) (1 , 2 ,)nuxn 若用( )nSx1( )( )nnkkSxux表示函数项级数前 n 项的和, 即( ).nSx称为该级数的部分和序列对0,xI若常数项级数敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ;若常数项级数01()nnux收敛,发散 ,所有0 x称为其

2、收收 0 x称为其发散点发散点, 发散点的全体称为其发散域发散域 .01()nnux( ) ,S x为级数的和函数和函数 , 并写成1( )( )nnS xux令余项则在收敛域上有lim( )( ) ,nnSxS xlim( )0nnr x在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它焦点焦点1.1.函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题, ,实质上是实质上是数项级数的收敛问题数项级数的收敛问题. .注意：注意：1( )?的收敛集nnux ( )( )( )nnr xS xSx例如例如, 等比级数它的收敛域是( 1 , 1 ) ,(, 11 ，).201nnnxxxx 01.

3、1nnxx它的发散域是又如又如, 级数20(0 ) ,nnnxxxnlim( ),nnux 级数发散 ;所以级数的收敛域仅为1.x ( 1 , 1 ),x 当时有和函数 1,x当时收敛01,x当时P268,利用教材第二段的注记可见 由比值审敛法知解：解： 由达朗贝尔判别法：由达朗贝尔判别法：原级数绝对收敛，所以收敛原级数绝对收敛，所以收敛; ;例例. .1( 1)1().1nnnnx 求求的的收收敛敛域域1( )( )nnuxux 11 1nnx1()1nx 1(1)1,1x 当当11,x02,xx 即即或或时时原级数发散原级数发散. .1(2)1,1x 当当11,x20,x即即时时(3)|1

4、| 1,x当当02,xx 或或0,x 当当时时1( 1)nnn 级级数数收收敛敛；2,x 当当时时11nn 级级数数发发散散；(, 2)0,). 故故级级数数的的收收敛敛域域为为焦点焦点2.2.1( ), ( )( )?nnnuxS xux 连连续续是是否否连连续续可可导导可可导导？可可积积可可积积？焦点焦点3.3. 12( )lim( )lim( )( )( )nnnnS xSxu xuxux ( ):nSx转转化化为为函函数数列列的的三三个个等等价价问问题题( ), ( )lim( )?nnnSxS xSx 连连续续是是否否连连续续可可导导可可导导？可可积积可可积积？二、幂级数及其收敛性二

5、、幂级数及其收敛性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列), 1 , 0(nan下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 幂级数1,110 xxxnn为幂级数的系数系数 .即是此种情形.的情形, 即nnxxa)(0称 收敛 发散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式证证: 设00nnnxa, 0lim0nnnxa收

6、敛, 则必有),2, 1(0nMxann于是存在常数 M 0, 使Ox发 散发 散收 敛阿贝尔 当 时, 0 xx 00nnxxM收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛 .也收敛,反之, 若当0 xx 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.假设有一点1x01xx0 x满足不等式0 xx 所以若当0 xx 满足且使级数收敛 ,面的证明可知, 级数在点故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切则由前也应收敛, 与所设矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0证毕幂级数在 (, +) 收敛 .由Abel 定理可以看出, 0nnna x中心的区间. 的收敛

7、域是以原点为特别,R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;规定收敛半径为0.R = + 时,(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为收敛半径收敛半径 ， (R , R ) 称为收敛区间收敛区间.Ox发 散发 散收 敛收敛 发散推论推论0supnnnRx|a x假设的收敛点 ，0()nnna xR, R则在()()., RR, 上收敛，在上发散xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理2. （ Cauchy-Hadamard ） 的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R证证:1) 若 0,则根据比值审敛法可知:当,1x原级数收敛;当,1x原级数发散.

8、x即1x时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 +时,即时,则 1x0nnna x若2) 若, 0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数发.0R对任意 x 原级数因此散 ,因此 0nnnxa的收敛半径为说明说明: :据此定理1limnnnaRa因此级数的收敛半径.1R1,nnna x此外 根据根值审敛法 可知的收敛半径也为1.limsupnnnRa对端点 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x = 1, ,1) 1(11nnn收敛; 级数为,11nn发散 .

9、 . 1, 1(故收敛域为例例1 1.求幂级数 limn 级数为交错级数例例2. 求下列幂级数的收敛域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收敛域为. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在 x = 0 处收敛 .规定: 0 ! = 1! ) 1(1n例例3.的收敛域 .2204 (1)nnnxn求幂级数（缺项）（缺项）1lim nnnaaR不能使用不能使用解法解法1 1：1limsup |nnnRa解法解法2 2：, )0(2 yyx知知令令 02,)1(4nn

10、nny原级数原级数 , 4)1(4)2(4lim221 nnRnnny.22时，所给级数收敛时，所给级数收敛因此当因此当 x故故收敛区间收敛区间（-2,2-2,2）. .0,)1(411222 nnnana.42时级数收敛时级数收敛即当即当 x解法解法3 3：直接使用比值判别法直接使用比值判别法22 +221122( )4 (1)limlim( )4(2)4nnnnnnnnxuxxnuxnx 由由于于时收敛；时收敛；时，时，当当2 42 xx时发散；时发散；时时当当2 ,42 xx，所以所以2 R故故收敛区间收敛区间为（为（-2,2-2,2）. .)1(44,202收敛收敛时时而当而当 nnn

11、nx故故收敛域收敛域为为-2,2.-2,2.例例4.12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域.解解: 令 ,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当 t = 2 时, 级数为,11nn此级数发散;当 t = 2 时, 级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x三、幂级数的运算三、幂级数的运算定理定理3. 设幂级数nnnxa0nnnxb0及的收敛半径分别为,21RR令nnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(

12、0nnnnxbaRx 0,()nnnc xCauchy乘积Rx 则有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上结论可用部分和的极限证明 .1.1.运算性质运算性质-(-(代数性质代数性质) )说明说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设 nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它们的收敛半径均为,R但是nnnxa0nxxx21其收敛半径只是 .1R1x1nnnxb0 x11定理定理4 若幂级数nnnxa0的收敛半径,0R)(xS数(证明见第六节)nnnxaxS0)(,11n

13、nnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: 2.2.分析性质分析性质-连续、可导、可积连续、可导、可积注注: 1.逐项积分后幂级数收敛半径不变积分后幂级数收敛半径不变, ,. 但收敛域可能会改变但收敛域可能会改变, ,在端点处的收敛性在端点处的收敛性可能变可能变“坏坏”, , 但不可能变但不可能变“好好”. .2.2.但收敛域可能会改变但收敛域可能会改变, ,在端点处的收敛性在端点处的收敛性可能变可能变“好好”, , 但不可能变但不可能变“坏坏”. .,逐项求

14、导时幂级数收敛半径不变求和函数应用举例求和函数应用举例 ; 1| ,111; 1| ,)1(111; 1| ,111; 1| ,)1(1112422242222x.x.xxxx.x.xxxx.x.xxxx.x.xxxnnnnnn常常用用公公式式解解: 由例2可知级数的收敛半径 R+.例例5.0!nnnx求幂级数0!)(nnnxxS)(x则11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(exSxxCxSe)(,e)(1)0(xxSS 得由故得.e!0 xnnnx的和函数 .因此得设例例6. 1nnxn求幂级数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发,)

15、1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,例例7. 求级数01nnnx的和函数. )(xS解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收敛 , 0111nnnxxxnnxxx00d1,) 1, 1中则在 x = 1 时级数发散, 有时当,0 x) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函数的连续性得:)(xS而 x = 0 时级数收敛于1, , )1ln(1xx,10 x) 10( x1x及,1)1 (

16、lnlim0 xxx例例8.2) 1(122的和求数项级数nnn解解: 设,1)(22nnnxxS则, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(231212)(nnnnnxxnxxxS1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS21S2ln4385)0( x)2(212xxx故内容小结内容小结1. 求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2) 对非

17、标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与)0(0nnnnaxa也可通过换元化为标准型再求 .乘法运算. 例例3例例42) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习思考与练习 1. 已知nnnxa00 xx 在处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答答: 根据Abel 定理可知, 级数在0 xx 收敛 ,0 xx 时发散 . 故收敛半径为.0 xR 例例63. 求和函数的常用方法 利用幂级数的性质 例例72. 在幂级数nnnnx02) 1(2中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 为奇数,23n 为偶数,61能否确定它的收敛半径不存在 ?答答: 不能. 因为nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x当2x时级数收敛 ,2x时级数发散 ,.2R说明说明: 可以证明比值判别法成立根值判别法成立P281 1求收敛域 (2), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3)P328 8 (2), (4) 9 (1), (2) 作业(6-8)第四节 阿贝尔阿贝尔(1802 1829)挪威数学家, 近代数学发展的先驱者. 他在22岁时就解决了用根式解5 次方程的不