第5章线性系统的频域分析法

1、第五章 线性系统的频域分析法时域分析时域分析： 通过研究系统在典型输入信号的瞬态时间响应通过研究系统在典型输入信号的瞬态时间响应来研究系统的性能。来研究系统的性能。频域分析法：频域分析法： 通过分析系统在不同频率通过分析系统在不同频率的正弦输入作用下的稳态响应的正弦输入作用下的稳态响应来研究系统的性能。来研究系统的性能。 二十世纪三十年代发展起来的一种二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实用经典工程实用方法方法,是一是一种利用种利用频率特性频率特性进行控制系统分析的进行控制系统分析的图解方法图解方法,可方便地用于可方便地用于控制工程中的控制工程中的系统分析与设计系统分析与设计。 频域分析法分

2、析设计的优点（1）不必求解系统的特征根，可采用图解方法研究系统的稳）不必求解系统的特征根，可采用图解方法研究系统的稳定性，形象直观和计算量少。定性，形象直观和计算量少。 （2）系统的频率特性可用分析及实验方法测出，物理意义明系统的频率特性可用分析及实验方法测出，物理意义明显。有些部件及系统难以列写出方程。显。有些部件及系统难以列写出方程。（3）可推广应用于某些非线性系统。）可推广应用于某些非线性系统。 还适用于含有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。还适用于含有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。 （4）可兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。）可兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。 频率特

3、性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正正弦输入信号弦输入信号的响应特性。的响应特性。( (稳态稳态) ) 00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52线性系统00.511.522.53-5-4-3-2-1012345一、频率特性概述一、频率特性概述tRtrsin)()(sG系统)sin()(tCtcss( )() sin()C tRG jtG j线性定常系统满足线性定常系统满足(2)(2)传递函数传递函数频率特性频率特性 jssGjG )()(1)(1)频率响应（稳态输出）频率响应（稳态输出）频率特性频率特性 根

4、据已知系统的微分方程，把输入量以正弦函数代入，求其稳态解，根据已知系统的微分方程，把输入量以正弦函数代入，求其稳态解，取取输出稳态分量输出稳态分量和输入的复数之比即得和输入的复数之比即得二、频率特性的求取（3 3）通过实验测得）通过实验测得频率特性频率特性输出稳态分量的复数形式输入的复数形式()()( )()jcrXjG jAeXj频率特性系统传递函数微分方程jspjpsdtdp (1)(1)解析表示解析表示 ()Re()Im()( )( )G jG jjG jUjV频率特性G(j)表达形式()()( )jG jAe 式中22( ) |()|( )( )AG jUV)()()()(1UVtgj

5、G通常有三种图示表达形式：通常有三种图示表达形式：(1)(1)将频率响应将频率响应通过其幅频特性及相频特性表示在极坐标通过其幅频特性及相频特性表示在极坐标中的图形，中的图形，称为幅相频率特性图，幅相曲线或称为幅相频率特性图，幅相曲线或NyquistNyquist图。图。(2)(2)在对数坐标中将频率响应在对数坐标中将频率响应的幅频特性与相频特性分开的幅频特性与相频特性分开表示的图形，称为表示的图形，称为对数频率特性图，或对数频率特性图，或BodeBode图图。(3)(3)将构成对数频率特性的幅频特性和相频特性集中绘制于一将构成对数频率特性的幅频特性和相频特性集中绘制于一图，称为图，称为对数幅相

6、图对数幅相图(Nichols)(Nichols)(2)(2)图示方法图示方法 当当 在在0 0+ + 变化时变化时, G(j, G(j ) ) 的幅值和相角随的幅值和相角随 而变化而变化, , G(jG(j ) ) 在复平面上的运动轨迹就称为在复平面上的运动轨迹就称为幅相频率特性或幅相频率特性或 NyqusitNyqusit曲线曲线。画有。画有 NyqusitNyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或曲线的坐标图称为极坐标图或NyqusitNyqusit图图。Nyquist图绘制绘制NyquistNyquist图的一般方法图的一般方法 写出频率特性表达式，并由写出频率特性表达式，并由G(j )求

7、出其实频特性求出其实频特性ReG(j )、虚频特性虚频特性ImG(j )和幅频特性和幅频特性 G(j ) 、相频特性、相频特性 G(j )的表达式；的表达式；根据实频特性，虚频特性判断根据实频特性，虚频特性判断Nyquist曲线所在象限曲线所在象限求出若干特征点，如起点求出若干特征点，如起点( =0)、终点、终点( =+ )、与实轴的交、与实轴的交点点(ImG(j )=0)、与虚轴的交点、与虚轴的交点(ReG(j )=0)等，等，并标注并标注在极坐标图上；在极坐标图上；补充必要的几点，根据补充必要的几点，根据 G(j ) 、 G(j )和和ReG(j )、ImG(j )的变化趋势以及的变化趋势

8、以及G(j )所处的象限，作出所处的象限，作出Nyquist曲线的大致图形，曲线方向为曲线的大致图形，曲线方向为 增大的方向增大的方向。 1.1.典型环节的典型环节的NyquistNyquist图图典型环节：典型环节：Ks111Ts12122TssT1s2221sss(2)(2)积分环节积分环节 (3)(3)微分环节微分环节 (4)(4)惯性环节惯性环节 11)(TssG11)(jTjG2211)(TU221)(TTV2211)(TjG极坐标图是半圆。 2121222VU(5)(5)一阶微分环节一阶微分环节 22()1G j (6)(6)振荡环节振荡环节 221( )21G sT STS) 1

9、0(2121211)(22222222TTTjTTjTjG222222224)1 (1)(TTTU2222224)1 (2)(TTTV22222)1 (1)(TTjG222221arctan 1(j )21(180arctan) 1TTTGTTT 22()01211,()()221rrnrrG jG jG j r令可知当0时在处出现峰值（谐振峰值）M11,21无谐振，但只要0振荡环节的阶跃响应会出现超调和振荡现象时，振荡环节可等效为两个一阶环节组合(7)(7)二阶微分环节二阶微分环节22( )12G sss 22()12G jj 2222()(1)2G j 22()1U ( )2V222221

10、arctan 1-(j ) 21180arctan 1G (8)(8)延时环节延时环节 ( )(1)KG ss Ts)1(1111)1()(2222 TKjTKTjTjKjTjKjG )1)(1()(212sTsTsKsG )1)(1()()1)(1()1(11)()(222221212222212221212 TTTTKjTTTTKjTjTjKjG 222221211)( TTKjG )1)(1()1()(2222212221 TTTTKU )1)(1()()(22222121 TTTTKV 3 / 2121212()1()KT TVTTT T时 , 与 虚 轴 交 点3 / 2121212

11、()1()KT TVTTT T时 , 与 虚 轴 交 点3. 3. NyquistNyquist图与系统型别图与系统型别 212112211221) 12()1 () 12()1 ()(nllllnjjmkkkkmiisTsTsTssssKsG三、频率特性对数坐标图(Bode图)横坐标横坐标按按 标定，按标定，按 lg 刻度，等距等比刻度，等距等比 (十十倍频程倍频程,dec) 即横坐标即横坐标标出的是实际频率值，非均匀的，轴标出的是实际频率值，非均匀的，轴上所有十倍频程的长度都是相等的上所有十倍频程的长度都是相等的纵坐标纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀

12、的)(lg20jG三、频率特性对数坐标图三、频率特性对数坐标图(Bode图图)相频特性相频特性纵轴纵轴 G(jG(j)，单位是（，单位是（ ）或）或rad,rad,线性分度。线性分度。 幅值相乘幅值相乘 = = 对数相加，便于叠加作图；对数相加，便于叠加作图；幅频特性幅频特性纵轴纵轴横轴横轴坐标坐标特点特点特点特点按按 标定，按标定，按 lg 刻度，等距等比刻度，等距等比 (十倍频程十倍频程,dec)“分贝分贝”dB)(lg20)(jGL 可在大范围内表示频率特性；可在大范围内表示频率特性； 利用实验数据容易确定利用实验数据容易确定 L( ), ,进而确定进而确定G(s)。2.2.典型环节的典

13、型环节的BodeBode图图典型环节：典型环节：Ks111Ts12122TssT1s1222sssK的数值变化时，幅频特性图中的直线20lg K 向上或向下平移，相频特性不变。(2)(2)积分环节积分环节 (3)(3)微分环节微分环节(4)(4)惯性环节惯性环节1( )1G sTs1()1G jjT221()1G jT()G jarctg T 2220lg()20lg 1G jT 称为低频渐近线称为高频渐近线。()G jarctg T 相频特性曲线在对数坐标系中对于相频特性曲线在对数坐标系中对于( ( T T, -45, -45) )点是斜对点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。称的，这是

14、对数相频特性的一个特点。 当时间常数当时间常数T T变化时，变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，整条曲线向左或向右平移状都不变，整条曲线向左或向右平移22( )20lg 10eT 22( )20lg20lg 1eTT误差分析误差分析最大误差发生在1TTmax3()dB/ T0.1 0.2 0.5 1 2 510实际值,dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 渐近线,dB 0 000-6 -14 -20 误差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.042220lg()20lg 1G jT 2220lg()20

15、lg 1G j 22()1G j ()G jarctg(5)(5)一阶微分环节一阶微分环节( )1G ss ()1G jj 高频放大,抑制噪声能力的下降1T转折频率22221()(1)2G jTT(6)(6)振荡环节振荡环节221( )21G sT STS2222222121)(TTTjTjG22222)1 (lg20)(lg20TTjG 1/,20lg(j )20lg10dBTG 幅频特性渐近线（1）时 得 221/,1220lg(j )20lg 40lg40lg40dB/dec 1/nTTGTTT （2）时 略去 和得 斜率为，过横轴上点。22222222120lg(1)2120lg(1)

16、240lg1120lg2TTTTTTTT时，误差为时，误差为时，误差为To1DecdB/40精确幅频特性与渐近幅频特性之间的误差精确幅频特性与渐近幅频特性之间的误差2222 21arctan ()1 ()21(180arctan) ()10(j )01/(j )90(j )180TTTG jTTTGTGG 对数相频特性时，；时，；，。振荡环节振荡环节22211()T211(2)1 21 2T2121nrnG jr(1)时， 谐振频率 （0） 谐振峰值M(7)(7)二阶微分环节二阶微分环节22( )21(01)G sSS22()12G jj 1()2G j时， 2222222220lg(j )2

17、0lg(1-)(2)21arctan 1-(j ) 21180arctan 1GG 对数幅频特性和相频特性为：(8)(8)延时环节延时环节j( )e(j )e(j )120lg(j )20lg10dB (j ) rad57.3sG sGGGG 对数幅频特性为相频特性为( )esG s212112211221) 12()1 () 12()1 ()(nllllnjjmkkkkmiisTsTsTssssKsG指出下图中各条曲线属于什么典型环节指出下图中各条曲线属于什么典型环节 低频段的对数幅频特性只有低频段的对数幅频特性只有积分和微分环节、比例环节起积分和微分环节、比例环节起作用作用一、开环系统开环

18、系统BodeBode图的绘制图的绘制 3.3.系统系统BodeBode图的绘制图的绘制幅频特性=组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积。相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。12n12nG(s)G (s)G (s)G (s)G(j )G (j )G (j )G (j )开环对数幅频特性和相频特性分别为12n12n20lg G(j )20lg G (j )20lg G (j )20lg G (j )G(j )G (j )G (j )G (j ) )()(lim0jKjG 212112211221) 12()1 () 12()1 ()(nllllnjjmkkkkmiisTsTsTssss

19、KsG K 绘制绘制Bode图基本步骤图基本步骤 将开环传递函数表示为将开环传递函数表示为典型环节典型环节的串联；的串联； 确定各环节的转折频率，并确定各环节的转折频率，并由小到大由小到大标示在对数频率轴上。标示在对数频率轴上。 过（过（1 1，20lgK20lgK）作斜率等于）作斜率等于-20v dB/dec-20v dB/dec的直线，向左延长此的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线最低频段的渐近线。 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率转折频率改变一次渐近线改变一次渐近线斜率。系统高频渐进

20、线的斜率应为斜率。系统高频渐进线的斜率应为-20 (n-m) dB/dec-20 (n-m) dB/dec 对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。 例例 开环传递函数为开环传递函数为 绘制系统的开环对数频率特性曲线。绘制系统的开环对数频率特性曲线。12212135 . 7)(2ssssssG1231) 2rad/s 2rad/s;3rad/s转折频率为 振荡环节：；惯性环节： 一阶微分环节：2) 20dB/dec20lg7.5 17.5dB7.50低频段：斜率为，过（1，）直

21、线。与横坐标轴交点为（， ）。 解解 系统包含比例、积分、振荡、惯性、一阶微分环节。系统包含比例、积分、振荡、惯性、一阶微分环节。处，斜率：。斜率：处处，直线斜率为dec/60dB20803 80dB/dec2060,2 60dB/dec40dB/dec20dB/dec 2 ) 332127.513( )11222sG sssss27.513( )11222sG sssss12124)(j )arctan90arctan(j )32arctan 22(j )(180arctan) 22GGG相频特性。；1111(j )0(j )02 ,(j )90(j )180090 270GGGGGG 典型

22、值：，； ；，。所以：；。最小相位系统最小相位系统 在复平面在复平面s右半平面上没有开环零点和极点的系统，称为右半平面上没有开环零点和极点的系统，称为最小最小相位系统相位系统； 反之，即为非最小相位系统。反之，即为非最小相位系统。 具有相同幅频特性的系统中，最小相位系统的相角范围是最小的。具有相同幅频特性的系统中，最小相位系统的相角范围是最小的。sssG1011)(1最小相位系统sssG1011)(1非最小相位系统最小相位系统的相位变化量总是小于非最小相位系统的最小相位系统的相位变化量总是小于非最小相位系统的相位变化量，这就是相位变化量，这就是“最小相位最小相位”名称的由来。从名称的由来。从B

23、odeBode图上图上看，一个对数幅频特性所代表的环节，能给出最小可能相位看，一个对数幅频特性所代表的环节，能给出最小可能相位移的，称为最小相位环节，不给出最小相位移的，称为非最移的，称为最小相位环节，不给出最小相位移的，称为非最小相位环节。小相位环节。最小相位系统的最小相位系统的对数幅频对数幅频特性和特性和相频相频特性曲线的特性曲线的变化趋变化趋势势基本相一致，这表明它们之间有着一定的内在关系。对于基本相一致，这表明它们之间有着一定的内在关系。对于最小相位环节（或系统）最小相位环节（或系统）当给出了环节（或系统）的幅频特当给出了环节（或系统）的幅频特性时，也就决定了相频特性；或者，给定了环节

24、（或系统）性时，也就决定了相频特性；或者，给定了环节（或系统）的相频特性，也就决定了幅频特性。的相频特性，也就决定了幅频特性。 对于非最小相位系统，它的对数幅频和相频特性曲线的变对于非最小相位系统，它的对数幅频和相频特性曲线的变化趋势并化趋势并不完全一致不完全一致，两者之间不存在着唯一的对应关系。，两者之间不存在着唯一的对应关系。因此对于非最小相位系统，只有知道了它的对数幅频和相因此对于非最小相位系统，只有知道了它的对数幅频和相频特性曲线后，才能正确地估计出系统的传递函数。频特性曲线后，才能正确地估计出系统的传递函数。当当 时，虽然最小相位系统和非最小相位系统对数时，虽然最小相位系统和非最小相

25、位系统对数幅频特性的斜率都为幅频特性的斜率都为 ，但前者的相，但前者的相位位 ，而后者的相位为，而后者的相位为 。这个特征一般可用于判别被测试的系统是否是最小相位系这个特征一般可用于判别被测试的系统是否是最小相位系统统。20()dB/decnm)(90)(mna)(90mnb 非最小相位系统，多是由于系统含有延迟环节或不稳定环非最小相位系统，多是由于系统含有延迟环节或不稳定环节引起的，故起动性能差、响应慢。因此，要求响应比较快速节引起的，故起动性能差、响应慢。因此，要求响应比较快速的系统中，尽量避免采用非最小相位系统。的系统中，尽量避免采用非最小相位系统。4 4、BodeBode图求传递函数图

26、求传递函数 最小相位系统，其幅频特性与相频特性之间存在唯一对最小相位系统，其幅频特性与相频特性之间存在唯一对应关系，所以可根据应关系，所以可根据BodeBode图的幅频特性图的幅频特性来确定最小相位来确定最小相位系统的传递函数。系统的传递函数。 )()(lim0jKjG K )1)(1)(1)(1()11 .0()(4321 sssssKsG解：由解：由20lgK=30dB, ,可确定可确定K=31.6转折频率可以通过直线斜率来求：转折频率可以通过直线斜率来求：L( A)- L( B)=k1lg A -lg A) 154.82)(181.34)(1481. 3)(1316. 0() 11 .

27、0(62.31)( ssssssG故，系统开环传递函数为故，系统开环传递函数为例例 已知最小相位系统已知最小相位系统Bode图的幅频特性如图，求取该图的幅频特性如图，求取该系统的开环传递函数系统的开环传递函数221 21()21rnrG jrMdB45.3100)G(j20lgdB 4.8520dB/dec-60dB/dec-n对数幅相图对数幅相图NicholsNichols图图 纵坐标为纵坐标为20lg|G(j20lg|G(j )| )| ，单位为，单位为dBdB，线性分度。，线性分度。 横坐标为横坐标为 G(jG(j ) )， 单位为度单位为度, , 线性分度。线性分度。 Nichols图

28、的绘制过程：先绘制出图的绘制过程：先绘制出Bode图，再由其图，再由其绘制绘制Nichols图。多用于控制系统校正。图。多用于控制系统校正。) 1)(10(100)(ssssG) 1)(11 . 0(100)(ssssG已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为解解:(1) 首先将系统开环传递函数写成典型环节串联的形式，即首先将系统开环传递函数写成典型环节串联的形式，即试绘制该系统的开环对数频率特性曲线。试绘制该系统的开环对数频率特性曲线。NyquistNyquist稳定判据和相对稳定性稳定判据和相对稳定性稳定判据：代数判据Routh判据判断工程实用的图解法判据 Nyquist稳定性判据和

29、Bode图稳定性判据 判别系统的稳定性，实际上就是判别系统在判别系统的稳定性，实际上就是判别系统在S平平面右半平面有否闭环极点。面右半平面有否闭环极点。幅角定理 当当S S按顺时针方向沿封闭曲线按顺时针方向沿封闭曲线D D连续的变化一周时，连续的变化一周时，曲线曲线F(S)F(S)在复平面上也按顺时针方向包围原点在复平面上也按顺时针方向包围原点 N=Z-PN=Z-P圈圈 设设F(S)F(S)是复变量是复变量S S的单值连续解析函数（除的单值连续解析函数（除S S平面上的有平面上的有限个奇点外）。限个奇点外）。S S平面上的某一封闭曲线平面上的某一封闭曲线D D的内部包含了的内部包含了F(S)F

30、(S)的的P P个极点和个极点和Z Z个零点（包含重根点），且曲线个零点（包含重根点），且曲线D D不通过不通过F(S)F(S)任任何一个零点和极点。何一个零点和极点。 此处定义此处定义N N为顺时针圈数，即顺时针圈数为正数，逆时为顺时针圈数，即顺时针圈数为正数，逆时针圈数为负数，总圈数为顺时针圈数与逆时针圈数的代数和。针圈数为负数，总圈数为顺时针圈数与逆时针圈数的代数和。稳定性判据封闭曲线稳定性判据封闭曲线D D的选择的选择 由于系统闭环稳定性与由于系统闭环稳定性与S S平面右半平面中的闭环特征根的数量平面右半平面中的闭环特征根的数量有关。有关。 故如果选取故如果选取 s s平面封闭曲线平面

31、封闭曲线D D为顺时针包含整个为顺时针包含整个S S平面右半平面的曲线平面右半平面的曲线a)a)F(S)F(S)选为选为 F(S)=1+G(s)H(s)F(S)=1+G(s)H(s)( )( )11( )B sF sG(s)H(s)A s F F( (s s) )的极点为开环系统的极点，的极点为开环系统的极点， F F( (s s) )的零点为闭环极点的零点为闭环极点则有：则有：稳定性判据封闭曲线稳定性判据封闭曲线D D的选择的选择 假设假设S S平面右半平面包含了平面右半平面包含了F(S)F(S)的的P P个极点和个极点和Z Z个零点，即封闭个零点，即封闭曲线曲线D D 包围了包围了F(S)

32、F(S)在在S S右半平面的右半平面的P P个极点和个极点和Z Z个零点个零点根据幅角定理，根据幅角定理， 系统稳定系统稳定 F(SF(S) )在在S S右半平面的右半平面的零点数零点数Z=0 Z=0 F(S)F(S)顺时针包围原点的次数满足顺时针包围原点的次数满足 N=Z-PN=Z-P=-P=-P下面分析下面分析s s沿封闭曲线沿封闭曲线DD变化，变化，F(s)F(s)曲线是什么？曲线是什么？ s s平面虚轴上无平面虚轴上无F(s)F(s)极点，即虚轴上无开环极点极点，即虚轴上无开环极点jR) 1 ()2()3(s1( )( )|1(1)() - 0)sjG s H sGjsjH 沿着第段运

33、动时F(S)= +，对应1( )( )|1(2()() )0sjG s H sG jH js F(沿着第段运动时，对应S)= +选取选取s s平面封闭曲线平面封闭曲线DD如图所示如图所示这两部分这两部分F(S)F(S)曲线对称于曲线对称于 实轴实轴jR) 1 ()2()3(slim ( )( )0()( )jRvsReKN(s)G s H snms D s令，即对应原点S S沿第（沿第（3 3）段运动时，）段运动时，sDF s1()() )(- )() 可见，当 沿着封闭曲线 运动时，( )对应为 +(时的系统幅-和一个点其中为相频率特性曲线 G jH jG jH j2.2.s s平面原点处有

34、开环极点平面原点处有开环极点jR) 1 ()2() 3(s0r)4(1)1()() - (2)1()() +00sG jH jsG jH j沿着第段运动时，对应F(S)=沿着第段运动时，对应F(S)= 选取选取s s平面封闭曲线平面封闭曲线D D如图所示如图所示, ,其中线段（其中线段（4 4）为无限小半径的半圆）为无限小半径的半圆(4)s-+沿着第段运动时，S从0 变化到0jR) 1 ()2() 3(s0r)4(220(4)lim (-)jrssre-+沿着第段运动时，S从0 变化到0设j0KF(s)=11lim( )(re)vrKN(s)s D sj1e 当当S S沿着线段沿着线段(4)(

35、4)运动时，运动时，G(s)H(s)G(s)H(s)对应的曲线为对应的曲线为 GH(j0 GH(j0- -) )沿着无穷大半径圆弧顺时针转过沿着无穷大半径圆弧顺时针转过v v 到到GH(j0GH(j0+ +) )，称为增补，称为增补段。段。 曲线曲线GG( (s s) )HH( (s s) )沿实轴平移的曲线沿实轴平移的曲线即为即为F(s)=F(s)=1+G1+G( (s s) )HH( (s s) )，故，故F(s)F(s)绕原点转过的圈数等于绕原点转过的圈数等于G G( (s s) )H H( (s s) )绕绕(-1,j0)(-1,j0)点转过的圈数。点转过的圈数。 当当S S沿着封闭曲

36、线沿着封闭曲线DD运动时，且系统为运动时，且系统为I I型及以上的系型及以上的系统时，对应统时，对应F(S)F(S)为为 1+G(j1+G(j )H(j)H(j ) (-) (- + )0,N0,则闭环系则闭环系统一定不稳定！统一定不稳定！N=0 BodeBode图图 稳定判据（对数判据）稳定判据（对数判据） 正穿越半次、负穿越半次正穿越半次、负穿越半次Bode 稳定判据稳定判据 相频特性应增补相频特性应增补 由由0 0变到变到0 0+ +时的部分。时的部分。需从对数相频曲线需从对数相频曲线较小且较小且L()0的点处向上补作的点处向上补作90的虚直线，的虚直线， ()曲线加上补作的虚直线（增补

37、段）共同构成曲线加上补作的虚直线（增补段）共同构成 F(s)开环传函含有积分环节时开环传函含有积分环节时例例 最小相位系统，判定闭环稳定性最小相位系统，判定闭环稳定性 由相频曲线可知，由相频曲线可知，2 2个积分环节。个积分环节。向上增补向上增补 9090* *2=1802=180即往上延伸到即往上延伸到-180-180+180+180=0=0 00，GH0GH0 00+ +，GHGH-18-180 01 1 次负穿越，不稳定。次负穿越，不稳定。P 209 例 5-12 四、系统的相对稳定性与稳定裕度四、系统的相对稳定性与稳定裕度 在实际控制系统中在实际控制系统中, ,首先要求系统必须是稳定的

38、首先要求系统必须是稳定的( (即绝即绝对稳定性对稳定性), ),并且还要求有一定的稳定程度并且还要求有一定的稳定程度, ,即即稳定裕度稳定裕度。 系统稳定裕度用于表征系统的系统稳定裕度用于表征系统的相对稳定程度相对稳定程度，经，经常作为控制系统的频率域性能指标。常作为控制系统的频率域性能指标。相角裕度和幅值裕度Kg 开环开环频率特性频率特性 幅值为幅值为1时的时的 称为称为剪切频率剪切频率,记为记为 c 相角裕相角裕度度定义为定义为 = 180+ ( c) 对于对于P=0的系统，欲使其稳定，的系统，欲使其稳定， 0 越大越大,系统相对稳定性越高。系统相对稳定性越高。2 2、幅值裕度、幅值裕度K

39、gKg开环相频特性等于开环相频特性等于-180-1800 0的的 称为称为相位穿相位穿越频率越频率，记为，记为 g g1()()gggggKKKG jH j， （dB）=20lg 对于对于P=0P=0的系统，欲使其稳定，即的系统，欲使其稳定，即Kg1Kg1，Kg(dB)0,Kg(dB)0,KgKg越大，相对稳定性越高。越大，相对稳定性越高。一般说来为了得到满意的性能，相位裕量应当在一般说来为了得到满意的性能，相位裕量应当在 3030 6060之间，而增益裕量应当大于之间，而增益裕量应当大于6dB6dB。幅值裕度幅值裕度(增益裕度增益裕度)定义为：定义为：( )(1 0.2 )(1 0.05 )

40、KG ssss幅值幅值已知系统例例 一单位负反馈系统的开环传递函数一单位负反馈系统的开环传递函数cccc11(10.2)(10.05)1jjjK=1时时c1)()(ccjHjG先求出剪切频率先求出剪切频率()900.20.05104180()18010476ccccarctgarctg ()180900.20.0518010ggggarctgarctg 相位穿越频率相位穿越频率g幅值裕度幅值裕度增益裕度：增益裕度：ggg()20log()()120log28(10.2)(10.05)gggKdBG jH jdBjjj 思考题0.875tst0( )c t例：例： 某单位负反馈二阶系统某单位负反

41、馈二阶系统, ,无开环零点，其单位阶跃响应无开环零点，其单位阶跃响应如图如图4-14-1所示；当所示；当r(t)=6sin4tr(t)=6sin4t时，系统的稳态输出响应如图时，系统的稳态输出响应如图4-24-2所示，其中，虚线波形为输入信号，实线波形为稳态输出所示，其中，虚线波形为输入信号，实线波形为稳态输出信号。求系统的剪切频率信号。求系统的剪切频率 c c和相角裕度和相角裕度 1221 21211222 221 21 212( )(1)(1)10.12571( )7( )1( )()87()|()tan88ssKG sT sT seKKG ssG sTT sTT sTTjjTTTTTT ss2由图知，e =0.125,故系统为0型，设系统开环传递函数为系统在单位阶跃信号作用下闭环传递函数（）闭环幅率特性|，相频特性（） （）由图4-2知|12077( 4)|( 4)0.51( )62(0.51)(1)()3.4180()46.8cccjjTTG sssG jj 且，开环传递函数为令|=15.5 闭环频率特性图5.5.1 闭环频率特性图闭环频率特性图)()()()(1)()(jeAjHjGjGj闭环相频特性闭环幅频特性)()(A( )G s( )Hs)(sR)(sC()()1()()1