物理光学课件：5_4,5_5矩孔,单缝圆孔的弗朗禾费衍射

1、15-4 5-4 矩孔和单缝的夫琅禾费衍射矩孔和单缝的夫琅禾费衍射5.4.1 衍射系统与透镜作用衍射系统与透镜作用夫琅合费衍射对z1的要求: l=600nm,2max21212cmyx2211max1160 xyzml1、透镜的作用：无穷远处的衍射图样成象在焦平面上。 夫琅合费衍射装置夫琅合费衍射装置Pf(x,y)(x1,y1)L2L1S(x,y)111111,expxyE x yCE x yik xydx dyff21xzx f22exp ()2xyik ffCi flpxpz1fx(x, y )(x, y )在无透镜时，观察点为P；有透镜时，在透镜焦平面上为P2211111111111ex

2、p ()2,expxyik zzxyE x yE x yik xydxdyi zzzl3加有透镜之后，有两个因子与透镜有关：（1）复数因子221exp()2xyCik fiffl若孔径很靠近透镜,O与C近似重合使得z1f结论：若孔径很靠近透镜，r是孔径原点O处发出的子波到P点的光程，而 kr 则是O点到P点的位相延迟，C是O处子波源发出的子波到 达 P 点 的 相 位5.4.2 夫琅合费衍射公式的意义夫琅合费衍射公式的意义P(x,y)fOHP(x1,y1)rDQC2222221111111222xx yyxyxyxyrzzfzzzf O处x1=y1=0所以位相因子所以位相因子11xyk x+

3、yff表示孔径上各点子表示孔径上各点子波与原点发出子波波与原点发出子波到达到达 P点的位相差。点的位相差。（2）位相因子）位相因子111111,() ()() ()QJPHIPOOHOPQPOQ qqOIxyxyxyxyxyxyrrffffD DD 由几何光学，光程所以孔径上其它点发出的光波与 点的光程差：为方向的单位矢量P(x,y)fOHP(x1,y1)rDQCP0IJ5夫琅合费衍射公式的意义（总结）111111,expxyE x yCE x yik xydx dyff221exp()2xyCik fifflO点到P点的位相延迟孔径上其它点发出的光波与O 点的位相差。积分式表示孔径上各点子波

4、的相干叠加。叠加结果取决于各点发出的子波与中心点发出子波的位相差。傅里叶变换时间域变换空间域变换f (z) (空间)频谱f (k)f (x,y) 角谱f (kx,ky) f(t) (时间)频谱f()时间空间频率可互相转化一维傅里叶变换二维傅里叶变换夫琅合费衍射与傅立叶变换夫琅合费衍射与傅立叶变换(1)(1)傅里叶变换的分类傅里叶变换的分类夫琅合费衍射与傅立叶变换夫琅合费衍射与傅立叶变换(2)(2),( , )exp(,)( , )exp,xyxyxyxyxyf x yF u vi k xk ydk dkF k kf x yi k xk ydxdyxxkkkxrfyykkkyrf其中，方向上的空

5、间频率(波矢)方向上的空间频率(波矢)二维傅里叶变换公式(波矢版)：1( )( )exp()2( )( )exp()f zF kikz dkF kf zikz dz一维傅里叶变换公式：k 的大小在变k 的方向在变1( )( )exp()2( )( )exp()fF ti t dtF tfi t d空间空间时间时间空间空间8夫琅合费衍射与傅立叶变换夫琅合费衍射与傅立叶变换(3)(3),( , )exp2( , )( , )exp2( , ) ( , )11,2211.22xyf x yF u viuxvydudvF u vf x yiuxvydxdyF u vf x ykk xxxuxrrfkk

6、 yyyvyrrfllll 其中，方向上的空间频率方向上的空间频率f ( x , y ) 可 表 示 为 空 间 频 率 ( u , v ) 连 续 的 基 元 函 数F(u,v)expi2(ux+vy)的线性叠加; F(u,v)是这些基元函数的权重，叫做函数f(x,y)的傅立叶变换或空间频谱.二维傅里叶变换公式(空间频率版)： expexpikRikrE PCAKdRr11111exp,dydxikryxEziyxEl11212111112exp,1dydxyyxxzkiyxEzieyxEikzl221111111111exp()2,expxyik zzkE x yE x yixxyydx

7、dyi zzl111111,expxyE x yCE x yik xydx dyff夫琅合费衍射与傅立叶变换夫琅合费衍射与傅立叶变换(4)(4)：衍射：衍射-FT-FT的演化的演化垂直入射& 傍轴菲涅尔近似透镜成像夫琅禾费近似10111111,expxyE x yCE xyikxydx dyff,exp2E u vCE x yiuxvydxdy11,xyuvffll其中夫琅合费衍射与傅立叶变换夫琅合费衍射与傅立叶变换(4)(4)111111,expxyE x yCE xyi k xk ydx dy,expxyxyE kkCE x yi k xk ydxdy11111111222exp,

8、)2(exp1,dydxvyuxiyxtfyxfikfiyxEldxdyvyuxiyxfvuF2exp),(),(考虑相对强度时第一项（常数因子）可以忽略，第二项在求强度分布时可以被自动消去因此夫琅合费衍射场的复振幅分布 为孔径面上光场的复振幅分布的傅立叶变换，即为孔径面的复振幅分布 或者衍射屏t (x1,y1 )的傅立叶频谱。因此，理想的夫琅合费衍射系统是一个傅立叶频谱分析仪。yxE,yxE,112孔径（衍射屏）在自身平面内平移时对衍射图的影响孔径（衍射屏）在自身平面内平移时对衍射图的影响1、傅立叶变换位移定理 100 ()( )exp2f xxF uiux相位线性变化 fxoB0AF(u)

9、fxulx1132、傅立叶变换相移定理 llooooofxuuuFxuixfsin),()2exp()(11其中fxul0ux1F(u-uo)傅立叶变换的作用 将复杂波形变为平面简谐波的叠加来处理（数学本质） 图像处理方面的应用165.4.3 矩孔衍射矩孔衍射1、强度分布计算设矩形孔的长和宽分别为 a和 b，用单位平面波照射，即0111yxE,在矩孔以内在矩孔以外bax1y1ab设, xylmff11112222exp,dydxmylxikCyxEaabb 111111,expxyE x yCE x yik xydx dyff171221122111112222expexpexp,dyikmy

10、dxiklxCdydxmylxikCyxEbbaaaabb 222sin2sinkmbklakmbklaCab若令：, ,22xklaakmbbffyll则sinsin,0EyxE0ECab和182、强度分布特点(一维)在 y 轴上，20sinIIy当当 =0时，时，I有主极大值有主极大值 ImaxI0故：1sin , 02-10-505100.00.20.40.60.81.022-I/I0-22200220sinsinCabEIII , （1）主极大值的位置：19（2）极小值的位置：当当 = n , n=+1,+2,时，即时，即,sinybfnynfbbnlll或者I = 0,有极小值有极小

11、值。20sinIIy主极大值的宽度：0,2ffyybbll D则-10-505100.00.20.40.60.81.022y0=2eee20对于其它的极大值点，有tgdd，即0sin2可用作图求解。（3）次极大值的位置：（4）暗条纹的间隔nfebl注意：次极大值位置不在两暗纹的中间。-10-505100.00.20.40.60.81.022y0=2eee-1.43-2.452.451.43 0 2 -2 y y1 = tg y2 = -2.46-1.43+1.43+2.46021221.432.463.47 ，20sin II，将将依次代入光强公式依次代入光强公式得到得到从中央往外各从中央往外

12、各sin 0.047 0.017 1I / I0 0相对光强曲线相对光强曲线0.0470.0172blblbl2bl次极大的光强依次为次极大的光强依次为 0.0472I0 0 ， 0.01650.0165I I0 0， 0.00830.0083I I0 0 I次极大次极大 a 时，矩孔变为狭缝，此时，入射光在Y方向上的衍射效应可以忽略,因此单缝衍射的分布为:20sin, sin ,sin2klaxIIafl26与矩形孔时的结果一样，与矩形孔时的结果一样，由由 可得到以下结果：可得到以下结果： sin20II(1) (1) 主极大（中央明纹中心）位置：主极大（中央明纹中心）位置：00 处，处，(

13、2) (2) 极小（暗纹）位置：极小（暗纹）位置：时，3 , 2 , 1nn1sin max0III 0sin 0 I(3) (3) 次极大：次极大：满足满足0dd I tg1.432.463.47 将，依次代入光强公式，依次代入光强公式，可得到可得到从中央往外各级次级大的光强。从中央往外各级次级大的光强。(4)(4) 条纹宽度条纹宽度: :I0 x1x2衍射屏衍射屏透镜透镜观测屏观测屏 f 10 D D D DxD D0 xD D 中央明纹宽度中央明纹宽度 其他明纹（次极大）宽度其他明纹（次极大）宽度270100sin,0222xaafIfxxfaallll D DD当 线宽度线宽度角宽度角

14、宽度101,2nffxnxnxxaallD D28红光红光 紫光紫光 白光白光00aefall0s(6),(7)in1,2xaalll D单缝的几何光学像波长对条纹间隔的影响波长越长，条纹间隔越宽。缝宽变换对条纹间隔的影响当缝极宽时，各级明纹向中央靠拢，密集得无法分辨，只显出单一的亮条纹，这就是。当缝极宽时，衍射中央亮纹的两端延伸到很远的地方，屏上只接收到中央亮纹的一小部分(较均匀)，此时看不到单缝衍射的条纹。这时，我们不考虑只考虑干涉，缝的衍射。305-5 5-5 夫琅禾费圆孔衍射夫琅禾费圆孔衍射1、光强分布： 设圆孔半径为a，则孔径函数变为ayx2121当ayx2121当变为极坐标arar

15、YXL2X1Y12rr1111111sincosryrxsincosryrx11111ddrrdydx直角坐标变极坐标：极坐标下的面元31代入夫琅合费衍射公式2111111100expcoscossinsin arE rCikrrrdrdf ，设r/f= 得到： 11120011 ddrrrikCEa)cos(exp，111111,expxyE x yCE x yik xydx dyff得到极坐标夫琅合费衍射公式：32其中 , 圆对称情况下积分结果与无关,可令=010120112cosexpkrJdikr10krJ是零阶贝赛尔函数 kakaJCakkaJkaCkkrdkrJkrCdrkrJrCEaka12212110011100121)(2122，11120011 ddrrrikCEa)cos(exp，其中应用了递推公式: xtJdxxxJt10033其中2a是圆孔面积，设220)(CaIfr2)(210kakaJIIkakaJCaE122，YXL2X1Y12rr1342、衍射图样其中：z = ka, 2102zzJIzI)(当z=0，,)(lim01021IIzzJz在中心有极大强度点。在中心有极大强度点。，时，当00)(01IzJz出现暗环位置。出现暗环位置。-10-505100.00.20.40.