第4讲　分式及其运算

1、第4讲分式及其运算第4讲分式及其运算 5分式的约分、通分把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质通分的关键是确定几个分式的最简公分母 6分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算若有括号，先算括号里面的灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式7解分式方程，其思路是去分母转化为整式方程，要特别注意验根使分母为0的未知数的值是增根，需舍去 一个思想类比是一种在不同对象之间，或者在事物与事物之间，根据它们某些相

2、似之处进行比较，通过联想和预测，推出它们在其他方面也可能相似，从而去建立猜想和发现规律的方法通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知识，分式与分数有许多类似的地方，因此在分式的学习中，要注意与分数进行类比学习理解 两个技巧(1)分式运算中的常用技巧分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解如：分组通分；分步通分；先“分”后“通”；重新排序；整体通分；化积为差，裂项相消 (2)分式求值中的常用技巧分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化主要有以下技巧：整体代入法；参数法；平方法；代入法；倒数法 4(2014台州)将分式方程1去分母，得到正确的整式方程是( B )

3、A12x3 Bx12x3C12x3 Dx12x3 解析：由x210，得x1.当x1时，x10，故x1不合题意；当x1时，x120，所以x1时分式的值为0.故选C 【点评】(1)分式有意义就是使分母不为0，解不等式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值 分式的性质 【点评】(1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分

4、应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值 分式的四则混合运算 【点评】准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取x的值时，要考虑分式有意义，不能取使分式无意义的0与2. 分式方程的解法【点评】(1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母若分母为多项式时，应首先进行分解因式将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去 试

5、题当a取什么实数时，关于x的方程0只有一个实根？审题视角原分式方程去分母，化为整式方程，可知是一元二次方程，该一元二次方程的实根有两种情况：方程有两个相等的实数根，它们是原方程的一个实根；或方程有两个不相等的实根，恰有一个是增根，另一个是原方程的根 答题思路第一步：去分母，把分式方程转化为整式方程；第二步：通过原分式方程的各个分母来确定分式方程的增根；第三步：把增根代入到转化得到的整式方程中，以确定分式方程中某些系数的值；第四步：考虑方程根的性质，以确定分式方程中某些系数的值；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤 剖析(1)分式中的分母不能为零，这是同学们熟知的，但在解题时，往往忽略题目中的这一隐含条件，从而导致解题错误；(2)利用分式的基本性质进行恒等变形时，应注意分子与分母同乘或同除以的整式的值不能是零；(3)解分式方程为什么要检验？因为用各分母的最简公分母去乘方程的两边时，不能肯定所得方程与原方程同解如果最后x取值使这个最简公分母不为零，则这个步骤符合方程同解原理，这个