ch1 1-123(频率与概率)

1、概率论与数理统计概率论与数理统计罗进明罗进明Tel:然界和社会上发生的现象是多种多样的：自然界和社会上发生的现象是多种多样的：1 确定性现象确定性现象：在一定条件下必然发生：在一定条件下必然发生( (或不发生或不发生) )。2随机随机(不确定不确定)现象现象：在个别试验中其结果呈现出：在个别试验中其结果呈现出不确定性，且在大量重复试验中其结果又具有统计不确定性，且在大量重复试验中其结果又具有统计规律。规律。绪绪 言言 概率论与数理统计是研究概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性随机现象统计规律性的一门数学学科的一门数学学科。1.1.浙江大学浙江大学概率统计概率统计及

2、其配套参考资料及其配套参考资料4.4.概率统计及数理统计（内容、方法和技巧）概率统计及数理统计（内容、方法和技巧）, ,华华中科技大学出版社中科技大学出版社参考书参考书3.3.概率统计及数理统计概率统计及数理统计, ,中山大学中山大学2.2.概率统计及数理统计概率统计及数理统计, ,陈希孺陈希孺5.5.概率统计与数理统计学习方法指导，周圣武，周概率统计与数理统计学习方法指导，周圣武，周长新，李金玉，煤炭工业出版社长新，李金玉，煤炭工业出版社内容与学时内容与学时第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变

3、量及其分布第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布第七章第七章 参数估计参数估计第八章第八章 假设检验假设检验(17学时学时)数理统计数理统计(29学时学时)概概 率率 论论第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 第一节第一节 随机事件及其运算随机事件及其运算 第二节第二节 频率与概率频率与概率 第三节第三节 等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) ) 第四节第四节 条件概率条件概率 第五节第五节 事件的相互独立性事件的相互独立性 第一章第一章 第一节第一节随机事件及其运

4、算随机事件及其运算1.1.随机试验随机试验2.2.样本空间样本空间3.3.随机事件随机事件4.4.事件间的关系及其运算事件间的关系及其运算随机试验广义理解，是指对随机现象的一次观察、随机试验广义理解，是指对随机现象的一次观察、一次测量、一次统计等等，简称一次测量、一次统计等等，简称试验试验，记作，记作E。HTE1 :抛一枚硬币，观察正面抛一枚硬币，观察正面H 和反面和反面T 出现的情况。出现的情况。1. 1. 随机试验随机试验E2 : 将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面结果。将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面结果。TTTHHHHTTTHTTTHHHTHTHTHHE3 :抛一抛一骰子骰子, ,观

5、察出现点数情况。观察出现点数情况。( (色子色子, ,投子投子) ) E5 :在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。测试它的寿命。E4 :对一目标射击对一目标射击, ,首次击中目标所需射击次数。首次击中目标所需射击次数。上述随机试验具有以下三个上述随机试验具有以下三个特点特点：（可重复性可重复性） (1) (1) 可以在相同情况下重复进行；可以在相同情况下重复进行；(2) (2) 每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性，(3) (3) 每次试验前不能确定会出现哪种结果。每次试验前不能确定会出现哪种结果。 但能事先知道试验的所有可能结果

6、；但能事先知道试验的所有可能结果；( ( 随机性随机性）具有上述三个特点的试验称为具有上述三个特点的试验称为随机试验随机试验。( ( 多样性多样性）我们就是通过研究随机试验来研究随机现象的。我们就是通过研究随机试验来研究随机现象的。定义定义1随机试验随机试验E的所有可能结果组成的集合称为的所有可能结果组成的集合称为E的的样本空间样本空间,记为记为S 或或 。样本空间的元素，即样本空间的元素，即E的每个结果，称为的每个结果，称为样本点，样本点，E1 :抛一枚硬币，观察正面抛一枚硬币，观察正面H 和反面和反面T 出现的情况。出现的情况。1,H T 2.2.样本空间样本空间E2 ：将一枚硬币抛掷三次

7、，观察正面将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面、反面T出现出现 的情况。的情况。TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH,23, 2, 1, 03E3 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数。的次数。样本空间的元素是由试验目的决定的。样本空间的元素是由试验目的决定的。 E5 :在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。测试它的寿命。E4 :对一目标射击对一目标射击, ,首次击中目标所需射击次数。首次击中目标所需射击次数。, 3, 2, 1405tt3.3.随机事件随机事件定义定义2 试验试验 E 的样本空间的样本空间 的子集称为的子集称为

8、E的的随机事件随机事件，简称简称事件事件，一般记为，一般记为 A, B, C 等。等。事件的表示方法：事件的表示方法：语言定性描述，用集合描述。语言定性描述，用集合描述。如：掷色子的点数为偶数可表示为：如：掷色子的点数为偶数可表示为：A=2，4，6 = “点数为偶数点数为偶数”。样本空间是客观的，样本空间是客观的，事件是人为设定事件是人为设定的。的。在试验中在试验中, , 事件事件A中的某个样本点出现中的某个样本点出现, ,则称则称事件事件A发生。发生。（1 1）事件的发生）事件的发生如果掷出数字如果掷出数字4 4，在掷色子试验中，在掷色子试验中，= 1,2,3,4,5,61= 1,2,3 ,

9、A2= 2,4,6 ,A3= 4,5,6A定义定义3 3个事件：个事件：则则A2 2、A3 3发生。发生。基本事件基本事件（2 2）特殊事件（）特殊事件（3 3种）种） 11 ,A 22 ,A 为六个基本事件。为六个基本事件。 66A 只含有一个样本点的事件，称为只含有一个样本点的事件，称为基本事件基本事件。例如：在掷色子试验中例如：在掷色子试验中= 1,2,3,4,5,6必然事件必然事件不可能事件不可能事件在每次试验中一定不发生的事件，称为在每次试验中一定不发生的事件，称为不可能事件不可能事件，记为记为，即为空集即为空集，其中不包含任何样本点。其中不包含任何样本点。在每次试验中总是发生的事件

10、，称为在每次试验中总是发生的事件，称为必然事件必然事件。例如：例如： 掷一枚色子掷一枚色子1次，则次，则点数点数1为必然事件为必然事件 点数点数 6为不可能事件。为不可能事件。由于样本空间由于样本空间包含所有的样本点，每次试验中它包含所有的样本点，每次试验中它总是发生的，因此总是发生的，因此样本空间样本空间是必然事件是必然事件。4 4. 事件间的关系及其运算事件间的关系及其运算事件的包含与相等事件的包含与相等BA若事件若事件A 发生必导致事件发生必导致事件定义：定义：B 发生发生， 则则称称 B包含包含A ，（1 1）事件间的关系（）事件间的关系（6 6种）种）记为记为. ABBA或（A的每一

11、个样本点都是的每一个样本点都是B 的样本点）的样本点）即即BxAx定义：若定义：若且且则称则称A与与B相等相等。记为记为 A = B。BA,AB S例如：编号为例如：编号为1 1到到1010的球放入袋中进行摸球，定义的球放入袋中进行摸球，定义则有则有A= =取到的球号取到的球号2 2， B= =取到的球号取到的球号4 4，C= =取到的球号取到的球号1 1， D= =取到的球号取到的球号是偶数是偶数，.,DAD,CAABS事件的和事件的和ABBA定义定义事件事件称为称为A与与B的和事件的和事件。BABxAx或例如例如,fedcBdcbaAfedcbaBA,和事件和事件 表示表示A与与B至少有一

12、个发生。至少有一个发生。BA当且仅当当且仅当A、B中至少有一个发生时，事件中至少有一个发生时，事件发生。发生。BA有限并有限并类似地，称事件类似地，称事件 12,nA AA12,nA AA中至少有一个发生所中至少有一个发生所构成的事件为构成的事件为的和事件。记为的和事件。记为,21nAAA称事件称事件12,A A 12,A A 中至少有一个发生所构成的事件为中至少有一个发生所构成的事件为的和事件。记为的和事件。记为,21 AA简记为简记为iniA1可列并可列并简记为简记为iiA1例如例如A1 1=开关开关K1 合上合上 A2 2=开关开关K2 合上合上 A3 3=开关开关K3 合上合上 B=灯

13、亮灯亮 三个开关至少有一个合上。三个开关至少有一个合上。B321AAAB1K2K3K事件的积事件的积SABABA1 1=开关开关K1 合上合上 A2=开关开关 K2 合上合上或或定义定义记为记为称为称为事件事件A与与B的积的积。BABxAx且BAAB当且仅当事件当且仅当事件A 与事件与事件B同时发生时同时发生时发生发生BA21AAB 例例 电路图，电路图， B表示灯亮表示灯亮B1K2K可列交。可列交。有限交。有限交。 简记为简记为 简记为简记为同时发生所构成的事同时发生所构成的事类似地，称事件类似地，称事件12,nA AA12,nA AA件为件为的积事件。记为的积事件。记为称事件称事件12,A

14、 A 12,A A 同时发生所构成的事件为同时发生所构成的事件为的积事件。记为的积事件。记为,21nAAA,21 AAiniA1iiA1例如：设以例如：设以表示毕业班某一位学生的表示毕业班某一位学生的第第1,2,1,2, ,n门课程的学习成绩为合格。门课程的学习成绩为合格。以以 B B 表示学生可以拿到毕业证书。表示学生可以拿到毕业证书。则则nAAA,21( (表示各门课程都合格了表示各门课程都合格了) )。nAAAB21事件的差事件的差当且仅当事件当且仅当事件A 发生且事件发生且事件B不发生时，事件不发生时，事件AB 发生。发生。SBABA定义定义称为称为事件事件A与与B的差事件的差事件。

15、事件事件AB =BxAx且例如例如,fecBdcbaAdbaBA,S互不相容事件互不相容事件AB注注1 1：A 与与B互不相容互不相容表示表示事件事件A 与与B 不能不能同时同时发生。发生。定义定义注注2 2：基本事件是两两基本事件是两两互不相容互不相容的的( (互斥互斥) )。如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。若若AB ，则称则称事件事件A与与B相容相容。若若AB= ，则称，则称A与与B为互不相容为互不相容。S对立事件对立事件BA则称则称 A 与与 B为对为对立事件立事件( (互逆互逆) )，即：事件即：事件A、B 有且仅有一个发

16、生。有且仅有一个发生。可见：若可见：若E只有两个互不相容的结果，那么这两个只有两个互不相容的结果，那么这两个结果构成对立事件。结果构成对立事件。定义定义事件事件 A, B 满足满足BASBA且,记为记为BAABAA 显然以以 C 表示学生拿不到毕业证书，则表示学生拿不到毕业证书，则表示至少有一门课程不及格。表示至少有一门课程不及格。以以 B 表示该学生可以拿到毕业证书，则表示该学生可以拿到毕业证书，则表示每门课程都合格了。表示每门课程都合格了。表示毕业班某一位学生的表示毕业班某一位学生的例如：设以例如：设以各科的学习为成绩合格。各科的学习为成绩合格。nAAA,21nAAAB21nAAAC21(

17、2)(2)事件的运算规律（事件的运算规律（8 8条）条）交换律交换律ABBAABBA；结合律结合律ABCABCABCABCABCABAC分配律分配律ABCABAC德德摩根律：摩根律：；ABABABAB推广：推广：11nniiiiAA;11nnkkkkAA包含运算：包含运算：ABB，AB ，AB，则，则ABABA，设设ABABAAB,;,;AABBABABA ABB,AAA AAAAABAB例例1 1事件事件A, B, C 表示下列事件表示下列事件(1) (1) A发生发生, ,B与与C不发生不发生(2) (2) A与与B发生发生, ,C不发生不发生(3) (3) A，B，C都发生都发生(4)

18、(4) A，B，C至少有一个发生至少有一个发生(5) (5) A，B，C全不发生全不发生(6) (6) A，B，C至少有两个发生至少有两个发生()ABC()ABC()ABC() ABC()ABC(ABC )ABCABCABC例例2 以以A表示表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则，则A为为(A) 甲滞销，乙畅销甲滞销，乙畅销 (B) 甲乙两种产品均畅销甲乙两种产品均畅销(C) 甲种产品畅销甲种产品畅销 (D) 甲滞销或乙畅销甲滞销或乙畅销 解解 设设B=“甲产品畅销甲产品畅销”，C=“乙产品畅销乙产品畅销”则则ABC，故选，故选(D)ABCBC例例3 关系关系( )成

19、立，则事件成立，则事件A与与B为对立事件。为对立事件。AB (a)(b) ABS(c),ABABS (d)AB与与为对立事件为对立事件解释解释(d)：A B ABSAB ABSAB ABS(c)显然成立，显然成立，(d)也成立。也成立。A与与B为对立事件为对立事件例例4 试证明下列等式。试证明下列等式。(1)ABABA(2)ABAB A(3)BAABAB方法方法：定义定义利用关系运算利用关系运算做文氏图做文氏图解：解：(1)ABABAABAABAABB(2) 右ABAAABSABBAAB AAB(3) 右 ABABABABABABABABBA 左小结小结本节共包括本节共包括4部分内容：部分内容

20、：(1)随机试验随机试验 ( (理解概念，三个特点理解概念，三个特点) )；(2)样本空间样本空间 ( (能写出给定试验的样本空间能写出给定试验的样本空间) )；(3)随机事件随机事件 ( (能用已知事件表示未知事件能用已知事件表示未知事件) )；(4)事件间的关系及其运算事件间的关系及其运算 ( (掌握并会应用，主要用于化简和证明掌握并会应用，主要用于化简和证明) )。作作 业业P5: 2，3P26: 2第二节第二节 频率与概率频率与概率 第一章 1. 1. 频率的定义频率的定义2. 2. 概率的定义概率的定义3. 3. 概率的性质概率的性质 研究随机现象，人们不仅关心试验中会出现研究随机现

21、象，人们不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是大小，也就是事件的概率事件的概率. .概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！1. 1. 频率的定义频率的定义即即记为记为 Ann为事件为事件A A在在 n n 次试验中出现的频率次试验中出现的频率，An为事件为事件A A 在在 n n 次试验中出现的频数，次试验中出现的频数，比值比值则称则称An频率：频率：设在设在 n 次重复试验中，事件次重复试验中，事件A 出现了出现了次

22、，次， , Afn nnAfAn 01nfA01若若12,kAAA两两互不相容两两互不相容(,)ijij A A 1212nknnnkfAAAfAfAfA 03有限可加性有限可加性频率的性质：频率的性质：02 1 nf6P例例：在：在“抛硬币抛硬币”试验中，据表格得出试验中，据表格得出 频率有随机波动性，每次试验频率不一定相等频率有随机波动性，每次试验频率不一定相等 ;在第五章中将证明在第五章中将证明 稳定性稳定性 n充分大时，充分大时，,nnfAP P 称为事件称为事件AP A的的概率概率(probability), 记为记为频率有什么规律？频率有什么规律？试验者试验者蒲丰蒲丰皮尔逊皮尔逊皮

23、尔逊皮尔逊次数次数正面的次数正面的次数正面的频率正面的频率404020480.50691200060190.501624000120120.5005 非负性：对于每一个事件非负性：对于每一个事件 A，有，有P A0 可列可加性：设可列可加性：设12,AA 两两互不相容两两互不相容(,)ijij A A 则则1212P AAP AP A 则称则称P A为为事件事件 A 的概率的概率。概率概率三公三公理理2. 概率的定义概率的定义设随机试验设随机试验E的样本空间为的样本空间为，对于对于E 中的每一个事中的每一个事件件A 赋予一个实数赋予一个实数 P(A)，如果满足以下三个公理，如果满足以下三个公理

24、: 归一性：归一性： 1 P3. 概率的概率的 性质性质010P 02有限可加性有限可加性1212kkP AAAP AP AP A 其中其中12,kAAA两两互不相容。两两互不相容。故由可列可加性故由可列可加性PPP 又因为又因为P 0，所以，所以0P 证明证明 取取，则，则12AA ,1,2iAi 03如果如果AB则则P AP BP BAP BP A05 APAPA1,04，0P A1AP ABP AP BP AB06(加法公式加法公式)推广推广：123123P AAAP AP AP A122313123P A AP A AP A AP A A A11P12nP AAA111niijijki

25、ijnijknP AP A AP A A A 1121nnP A AA 解解)(CBAP)()()(CPBPAP)()()(BCPACPABP)(ABCPABABC ()()P ABCP AB00)(ABCP)(CBAP125. 075. 0625. 0例例1 已知已知,25. 0)()()(CPBPAP125. 0)(ACP,0)()(BCPABP求求 A,B,C 中至少有一个发生中至少有一个发生的概率。的概率。例例2 证明证明1P ABP A BP AP B证证P ABP A B1P AP BP AB1P AP B例例30.6,0.3P ABP B，求，求P AB解解ABABBBABP A

26、BP ABP B0.3ASBP AB1P AB例例4 (天气问题天气问题) 某人外出旅游两天，据天气预报知：某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为两天都下雨的概率为0.1试求下列事件的概率：试求下列事件的概率：(2) 第一天不下雨，第二天下雨第一天不下雨，第二天下雨;(4) 两天都不下雨两天都不下雨;(1) 第一天下雨，第二天不下雨第一天下雨，第二天不下雨;(3) 至少有一天下雨至少有一天下雨;(5) 至少有一天不下雨至少有一天不下雨解：设解：设A、B分别表示第一、二天下雨分别表示第一、二天下

27、雨则则0.6,0.3,0.1P AP BP AB(1)0.5P ABP AABP AP AB(2)0.2P ABP BAP BP AB(3)0.8P ABP AP BP AB(4)10.2P A BP AB(5)10.9P ABP AB例例5 (订报问题订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸在某城市中，共发行三种报纸A，B，C，订购，订购A，B，C的用户占用分别为的用户占用分别为45%，35%，30%，同时订购同时订购A，B的占的占10%，同时订购，同时订购A，C的占的占8%，同，同时订购时订购B，C的占的占5%，同时订购，同时订购A，B，C的占的占3%，试，试求下列事件的概率：求下列事件的概

28、率：(1) 只订购只订购A(2) 只订购只订购A，B(3) 只订购一种报纸只订购一种报纸(4) 只订购两种报纸只订购两种报纸(5) 至少订购一种报纸至少订购一种报纸(6) 不订购任何报纸不订购任何报纸)(CBAP)(CABP)(CBAP)(CBAP()P ABCABCABC()P ABCABCABC0.30.230.20.73解解 设设A，B，C分别表示分别表示“用户订购用户订购A，B，C 报纸报纸”0.45,0.35,0.3,0.1P AP BP CP AB0.08,0.05,0.03P ACP BCP ABC(1)P AB CP AP ABP ACP ABC0.3()P ABC(2)(3)

29、P AB CABCA BCP AB CP ABCP A BC两两互不相容的两两互不相容的0.07P ABP ABCP AP A BCP A BC10.90.1(4)P ABCABCABCP ABCP ABCP ABC0.070.020.050.14两两互不相容两两互不相容(5)P ABCP ACP BCP ABC0.9P A B C(6)P AP BP CP ABP ABC1P ABC1. 设设A,B为两个随机事件，且为两个随机事件，且P(A)=1/4，P(B)=1/2，就下列三种情况，分别求概率就下列三种情况，分别求概率思考题思考题2. 设设A,B,C为三个随机事件，且为三个随机事件，且P(

30、A)=P(B)=1/4， P(C) =1/8,P(AB)=0, P(AC)= P(AC)=1/8,求求A,B,C至少有一个发生的概率。至少有一个发生的概率。 . 91 3 ; 2 ; 1ABPBABA互斥与 BAP例例30.5,0.2P AP AB，求P ABSAB解解P AB0.50.20.3P AB0.7P AABP AP AB1P AB例例4 设设 ，问什么条件下，问什么条件下， P(AB)取得最大值和最小值？取得最大值和最小值？()0.6,()0.7P AP B作作 业业 P9： 1，4P26: 3第三节第三节 等可能概型等可能概型 第一章 1. 等可能概型的定义等可能概型的定义2.

31、计算公式计算公式3. 计算方法计算方法4. 几何概率几何概率设设是是随机试验随机试验 E 的样本空间，如果的样本空间，如果 满足以下两满足以下两个条件：个条件：（1）有限性）有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个；试验的样本空间中的元素只有有限个；（2）等可能性）等可能性 每个基本事件的发生的可能性相同。每个基本事件的发生的可能性相同。例如：例如：E1：抛硬币：抛硬币,观察哪面朝上，观察哪面朝上，= =H,T则称随机试验则称随机试验E为为等可能概型等可能概型或或古典概型古典概型。E2：投一颗骰子，观察出现的点数：投一颗骰子，观察出现的点数1. 等可能概型的定义等可能概型的定义= =1，2，3

32、，4，5，62. 计算公式计算公式AkP An事件事件含的样本点的个数含的样本点的个数样本空间含的样本点的个数样本空间含的样本点的个数12,kiiiAeee若事件若事件A包含包含k个基本事件，即个基本事件，即 12kiiieee其中其中(1, 2,ki ii表示表示1,2,n中的中的k个不同的数个不同的数) 12nPePePe121() .nPPeee 21nePePePienP12,ne ee 1,1,2,iPeinn证证3.方法：方法：01构造构造A和和的样本点的样本点(当样本空间当样本空间的元素的元素较少时，先一一列出较少时，先一一列出和和A中的元素，直中的元素，直接利用接利用kP An

33、求解求解)02用排列组合方法求用排列组合方法求A和和的样本点个数，再的样本点个数，再利用公式求解利用公式求解kP An预备知识预备知识. 加法原理加法原理：完成一项工作：完成一项工作m种方式，第种方式，第i种方式有种方式有in种方法，种方法，(i=1,2, m)，且完成该项工作只需选，且完成该项工作只需选择这择这m种方式中的一种，则完成这项工作一共有种方式中的一种，则完成这项工作一共有12mnnn 种方法。种方法。.乘法原理乘法原理：完成一项工作有：完成一项工作有m个步骤，第个步骤，第i步有步有in(1,2,)in，且完成该项工作必须依次通过，且完成该项工作必须依次通过这这m个步骤，则完成该项

34、工作一共有个步骤，则完成该项工作一共有12mn nn种方法。种方法。种方法种方法.排列排列：从从n个元素中取出个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，个元素，按一定顺序排成一列，称为从称为从n个元素里每次取个元素里每次取r个元素的个元素的排列排列。(n，r均为均为整数整数)(无放回选取无放回选取)对于无重复排列对于无重复排列(这这n个元素全不相同个元素全不相同时，上述排列即是时，上述排列即是)，当，当rr)个盒子中，个盒子中，设各个球放入每个盒子是等可能的，记设各个球放入每个盒子是等可能的，记:A: 指定的指定的r个盒子，每个盒子各有个盒子，每个盒子各有1个球。个球。B: 恰有恰有r个不同的

35、盒子，每个盒子各有个不同的盒子，每个盒子各有1个球。个球。C: 在某一个指定的盒子中有在某一个指定的盒子中有k(kr)个球。个球。求事件求事件A，B，C的概率。的概率。解解:rSn:!rrAPr:!rrrnrnBC PCr!rrP An!rnrCrP Bn()(1)/krkrrP CCnn36511365nnPP BP A例例7(生日问题生日问题) 设每个人的生日在一年设每个人的生日在一年365天中的任一天中的任一天是等可能的，即都等于天是等可能的，即都等于1365，那么随机选取，那么随机选取n(365)人，人，(1) 他们的生日各不相同的概率为多少？他们的生日各不相同的概率为多少？(2) n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？解解 (1) 设设 A= “n个人的生日各不相同个人的生日各不相同”365365nnPP A (2) 设设 B = “n个人