高一数学异面直线

1、1.空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系位置关系位置关系共面情况共面情况公共点个数公共点个数相交相交在同一个平面内在同一个平面内有且只有一个有且只有一个平行平行在同一个平面内在同一个平面内没有没有异面异面不在同一个平面内不在同一个平面内没有没有复习回顾：复习回顾：2.异面直线：异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。不同在任何一个平面内的两条直线。A、空间中不相交的两条直线；、空间中不相交的两条直线；B、某平面内的一条直线和这平面外的直线；、某平面内的一条直线和这平面外的直线；C、分别在不同平面内的两条直线；、分别在不同平面内的两条直线；D、不在同一指定平面内的两条直线。、不在同一指定平

2、面内的两条直线。 E、不同在任一平面内的两条直线；、不同在任一平面内的两条直线；F、分别在两个不同平面内的两条直线、分别在两个不同平面内的两条直线;G、空间没有公共点的两条直线、空间没有公共点的两条直线;H、既不相交，又不平行的两条直线、既不相交，又不平行的两条直线.不同在任一平面内的两条直线不同在任一平面内的两条直线既不相交，又不平行的两条直线既不相交，又不平行的两条直线3.下列关于异面直线的说法正确的是下列关于异面直线的说法正确的是 。E、FABCD1A1B1C1D探究：探究：1、在下面长方体中，直线、在下面长方体中，直线AB与与A1C具有怎样的具有怎样的位置关系？位置关系？2、在下面长方

3、体中，还有哪些棱所在直线与、在下面长方体中，还有哪些棱所在直线与A1C异面？异面？3、在平面、在平面ABCD中，你还能找到哪些直线与中，你还能找到哪些直线与A1C异面？能否得到一般性结论？异面？能否得到一般性结论？lAB思考：思考：lAB证明：证明：共面，与假设lAB平面只能有一个，的和直线由于经过点lBlBBAl,已知：.是异面直线与求证：直线lAB内，在平面于是点A是异面直线。与因此，直线外矛盾。在平面这与点lABA定理：定理： 过平面内一点与平面外一点的直线，和过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。这个平面内不经过该点的直线是异面直线。符号表示符号表示:

4、，若lBBAl,.是异面直线与则直线lABlAB常见异面直线的画法常见异面直线的画法:babaab 设设a、b是异面直线，过空间任一点是异面直线，过空间任一点O作作 ，则，则 所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)，叫做叫做异面直线异面直线a、b所成的角所成的角.ba，abba/，异面直线所成角异面直线所成角:baabaao bo平行移动法平行移动法1 1、异面直线、异面直线a a、b b所成角的范围？所成角的范围？2 2、异面直线、异面直线a a、b b所成的角的大小与所成的角的大小与点点o o的位置是否有关？的位置是否有关？3 3、概念中所体现的立体几何的重要、概念中所体现的立体几何的重要数

5、学思想方法是什么？数学思想方法是什么？思考：思考：1 1、异面直线、异面直线a a、b b所成角的范围所成角的范围:0:0o o9090o o；若异面直线若异面直线a a、b b所成角是直角，则称所成角是直角，则称异面直线异面直线a a、b b互相垂直，记作互相垂直，记作ab.ab.2 2、异面直线、异面直线a a、b b所成角的大小与点所成角的大小与点O O的位置的位置无关无关, ,通常取在其中一条直线上或取特殊点通常取在其中一条直线上或取特殊点. .3 3、化、化空间空间问题为问题为平面平面问题的数学思想问题的数学思想. .例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体ABCD1A

6、1B1C1D1、正方体的哪些棱所在直、正方体的哪些棱所在直线与直线线与直线BC1是异面直线？是异面直线？2、求异面直线、求异面直线AA1与与BC所所成的角？成的角？3、求异面直线、求异面直线BC1与与AC所所成的角？成的角？4、E、F分别是棱分别是棱BC、DC的中点，求异面直线的中点，求异面直线AD1与与EF所成角的大小？所成角的大小？EF5、找出对角线、找出对角线BD1与棱与棱DC所在直线的夹角？所在直线的夹角？ 6、 P为为A1B1的中点，的中点，Q为为BB1的中点，找出直线的中点，找出直线AP与与CQ的夹角？的夹角？ABCD1A1B1C1DPQNM思考思考:找出对角线找出对角线BD1与与

7、A1C1所在直线的夹角，所在直线的夹角，并求出其大小？并求出其大小？B长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AA=AA1 1= =2cm 2cm ， ADAD= =1cm1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角的余弦值。所成的角的余弦值。如图，连如图，连B B1 1D D1 1与与A A1 1C C1 1交于交于O O1 1，O1M,512221= = = =MA,23212212122211= = = = = BDMO,2512212211= = = =OA由余弦定理得由余弦定理得,55cos11 =

8、 = MOAA A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角为所成的角为取取 B BB B1 1的 中 点的 中 点 MM ， 连， 连 O O1 1MM ， 则， 则O O1 1MMD D1 1B B，于是于是 A A1 1O O1 1MM就是异面直线就是异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所所成的角（或其补角）成的角（或其补角），连，连A A1 1MM，在，在 A A1 1O O1 1MM中中DB1A1D1C1AC解法一解法一（平移法）：（平移法）：3,52,51111= = = =ECEACA在在 A1C1E中中，由余弦定理得由余弦定理得55cos11 = = ECAA1

9、C1与与BD1所成的角为所成的角为如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面有公共面 BC1的方体的方体B1F，连结连结A1E，C1E，则，则 A1C1E为为A1C1与与BD1所成的角所成的角(或补角或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1AC5.5解法二解法二（补形法）：（补形法）：说明说明：异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是（0，90，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦余弦值为负值值为负值时，其对应角为钝角，这时，其对应

10、角为钝角，这不符合不符合两两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。的角，这一点要注意。想一想想一想:异面直线所成的角异面直线所成的角根据异面直线所成角的定义，求异面直线根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有其一般方法有：（2 2）补形法：补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。于易于发现两条异面直线的关系。（1）平移法：平移法：即根据定义，以即根据定义，以“运动运动”的观点，的观点，用用“平移转化平移转化