第三章流体运动学及动力学基础(第4节)

1、一、理想流体运动微分方程（欧拉方程）一、理想流体运动微分方程（欧拉方程） 设在理想液体流场中任一点设在理想液体流场中任一点A A（x x，y y，z z）的流体压）的流体压力为力为p p，流速，流速为为uxux、uyuy、uzuz。以。以A A为中心，取微为中心，取微分六面体，令其各边长为分六面体，令其各边长为dxdx、dydy、dzdz，分别平行于，分别平行于x x、y y、z z轴，如图轴，如图2-162-16所示。作用于六面体上的力有所示。作用于六面体上的力有表面力和质量力。表面力和质量力。 表面力只有流体压力。作用在表面力只有流体压力。作用在六面体左边表面上的平均流体压六面体左边表面上

2、的平均流体压力力为为 ，而右边为，而右边为 。由此可得出作用在左边表面上的总动流体压力为：由此可得出作用在左边表面上的总动流体压力为：作用于其它四个表面上的总动流体压力也可用同样方法求作用于其它四个表面上的总动流体压力也可用同样方法求得得 。 设单位质量力在各坐标轴方向的投影为设单位质量力在各坐标轴方向的投影为X X、Y Y、Z Z，则，则作用于六面体上的质量力在作用于六面体上的质量力在X X轴上的投影为轴上的投影为XdxdydzXdxdydz。所。所有作用于六面体上的力，在有作用于六面体上的力，在x x轴上投影的代数和应等于六轴上投影的代数和应等于六面体的面体的质量与加速度质量与加速度在在x

3、 x方向投影的方向投影的乘积乘积，即，即化简后得化简后得 ： 上式就是理想液体的运动微分方程式，又称上式就是理想液体的运动微分方程式，又称欧拉运动欧拉运动微分方程式微分方程式。这些方程式对不可压缩的液体或可压缩的气。这些方程式对不可压缩的液体或可压缩的气体都适用。体都适用。对于静止液体，将对于静止液体，将uxuxuyuyuzuz0 0代入上式得：代入上式得： 在第一节中曾讲过在第一节中曾讲过全加速度是当地加速度与迁移加速全加速度是当地加速度与迁移加速度之和度之和，若将式代入，若将式代入静流体力学欧静流体力学欧拉平衡方程式拉平衡方程式 代入代入欧拉方程式可用展开的形式来表示：欧拉方程式可用展开的

4、形式来表示： 对于不可压缩的理想液体而言，对于不可压缩的理想液体而言，为常数，一般单位为常数，一般单位质量力质量力X X、Y Y、Z Z也是已知的，四个未知数也是已知的，四个未知数uxux、uyuy、uzuz与与p p ，而与连续微分方程一起也有四个方程式，所以从原则上讲，而与连续微分方程一起也有四个方程式，所以从原则上讲，欧拉运动微分方程式是可解的。但是，由于它是一个一阶欧拉运动微分方程式是可解的。但是，由于它是一个一阶非线性偏微分方程组（非线性偏微分方程组（迁移加速度的三项包含了未知数与迁移加速度的三项包含了未知数与其偏导数的乘积其偏导数的乘积），因而至今仍未找到它的一般解，只是），因而至

5、今仍未找到它的一般解，只是在几种特殊情况下得到了它的特解。在几种特殊情况下得到了它的特解。 二、伯诺利方程式二、伯诺利方程式 连续方程仅包括了流速和过流体断面面积两个参数，连续方程仅包括了流速和过流体断面面积两个参数，要研究动流体压力的变化规律，仅利用连续方程就不够要研究动流体压力的变化规律，仅利用连续方程就不够了。了。从物理学中知道，自然界中不同的运动形式（机械从物理学中知道，自然界中不同的运动形式（机械运动、热运动、电磁运动等），都具有不同的能量。物运动、热运动、电磁运动等），都具有不同的能量。物质的运动可以从一种形式转化为另一种形式，而在运动质的运动可以从一种形式转化为另一种形式，而在运

6、动形式的相互转化过程中，一种形式的能量减少，必有另形式的相互转化过程中，一种形式的能量减少，必有另一种形式能量增加，这就是能量转化和守恒定律。一种形式能量增加，这就是能量转化和守恒定律。通过液体运动的能量守恒规律，来探讨液流运动通过液体运动的能量守恒规律，来探讨液流运动要素的变化规律及其相互关系，即要素的变化规律及其相互关系，即恒定流能量方程（伯恒定流能量方程（伯诺利方程式）诺利方程式）。它是流体动力学的。它是流体动力学的核心核心，是学习流体力，是学习流体力学的重点。能量方程在工程实践中应用很广，如流体厂学的重点。能量方程在工程实践中应用很广，如流体厂从低位流体池通过流体泵抽流体到高位流体池输

7、送至用从低位流体池通过流体泵抽流体到高位流体池输送至用户。整个管路系统的管径、流速、流量、流体塔高度、户。整个管路系统的管径、流速、流量、流体塔高度、流体泵安装高度等的确定，都要应用能量方程。流体泵安装高度等的确定，都要应用能量方程。如图如图2-17所示，用流体泵将流体池中的流体抽入高位流所示，用流体泵将流体池中的流体抽入高位流体池，是利用流体泵机械能对流体加压，使流体产生压能和体池，是利用流体泵机械能对流体加压，使流体产生压能和动能，将流体送入高位流体池，从而使其具有位能。这种动能，将流体送入高位流体池，从而使其具有位能。这种位位能能从而又转化为管道中流体的从而又转化为管道中流体的压能和动能

8、压能和动能，将流体输送到各，将流体输送到各用户用户。 如果沿管长方向安装若干根测压如果沿管长方向安装若干根测压管（管（A、B、C、D），当流体管），当流体管末端出口处阀门关闭时，管中流末端出口处阀门关闭时，管中流体不流动，流体池因装有溢流设体不流动，流体池因装有溢流设备，则流体液位保持恒定。此时备，则流体液位保持恒定。此时A、B、C、D四根测压管中流体四根测压管中流体位与流体池流体位在同一流体平位与流体池流体位在同一流体平线上，如图线上，如图2-17中虚线所示中虚线所示作一流体平基准面作一流体平基准面00，管中各点处的位置流体头，管中各点处的位置流体头z和压力流和压力流体头体头p/之和，都等于

9、测压管流体头之和，都等于测压管流体头H，即，即常量常量如果将流体管末端阀门打如果将流体管末端阀门打开，管中流体开始流动，各测开，管中流体开始流动，各测压管中的流体面有显著不同，压管中的流体面有显著不同，变化的规律是：断面大，流速变化的规律是：断面大，流速小，压力大；断面小，流速大，小，压力大；断面小，流速大，压力小，如图压力小，如图2-17中中A、B、C、D流体位所示。在管段上流体位所示。在管段上具有同样管径和流速的不同点具有同样管径和流速的不同点上，由于存在阻力的原因，下上，由于存在阻力的原因，下游的测压管流体位较上游的测游的测压管流体位较上游的测压管流体位降低，如压管流体位降低，如B点测压

10、点测压管流体位较管流体位较A点的低，点的低，D点较点较C点低。点低。从上述现象中看出液流和其它运动物质一样，具有从上述现象中看出液流和其它运动物质一样，具有势能势能和和动能动能两种机械能。但液流的两种机械能。但液流的势能势能还可分为还可分为位置势能（简称位置势能（简称位能）和压力势能（简称压能）两种位能）和压力势能（简称压能）两种。液流的各种机械能之。液流的各种机械能之间以及液流机械能与其它形式能量之间也可以相互转化，其间以及液流机械能与其它形式能量之间也可以相互转化，其转化关系也必须遵循转化关系也必须遵循能量转化和守恒定律能量转化和守恒定律。 从图从图2-17看出，看出，A点处位能点处位能Z

11、A大于大于D点处位能点处位能ZD，A点点处管径大于处管径大于D点处管径，所点处管径，所以以D点处流速和动能大于点处流速和动能大于A点，点，而而D点处的压能较点处的压能较A点处为小，点处为小，即液流的一部分压能已经转即液流的一部分压能已经转化为动能。化为动能。如图如图2-18a所示，在有压管中所示，在有压管中任一点任一点A的上方管壁处开一小孔，的上方管壁处开一小孔，并用橡皮薄膜封住，则薄膜向外并用橡皮薄膜封住，则薄膜向外鼓出，这说明液流对管壁有动流鼓出，这说明液流对管壁有动流体压力的作用。如果将小孔上的体压力的作用。如果将小孔上的橡皮薄膜去掉，则在动流体压力橡皮薄膜去掉，则在动流体压力作用下，管

12、中的流体将以一定的作用下，管中的流体将以一定的速度由小孔向上射出（图速度由小孔向上射出（图2-18b），），随着射出流体流高度的增加，流随着射出流体流高度的增加，流速不断减小，至某一高度时，流速不断减小，至某一高度时，流速为零。若不计一切阻力损失，速为零。若不计一切阻力损失，则流体将喷至流体箱流体面一样则流体将喷至流体箱流体面一样高，这说明了高，这说明了管中流体流的压能管中流体流的压能先转化为动能，然后又逐渐转化先转化为动能，然后又逐渐转化为位能为位能。1.1.由欧拉方程式推导伯诺利方程式（理想液体的元流能量方程）由欧拉方程式推导伯诺利方程式（理想液体的元流能量方程）（1 1）稳定流（恒定流）

13、：由于各空间的运动要素均不随时间）稳定流（恒定流）：由于各空间的运动要素均不随时间改变，故改变，故（2 2）液体是均匀不可压缩的，密度）液体是均匀不可压缩的，密度=常数。常数。 （3 3）质量力只有重力，）质量力只有重力， X XY Y0 0，Z Z-g -g 。（4 4）沿流线对上式积分。由于恒定流的流线和迹线相重合，故）沿流线对上式积分。由于恒定流的流线和迹线相重合，故 dxdxUxdtUxdt，dydyUydtUydt，dzdzUzdt Uzdt 。将式分别乘以将式分别乘以dxdx、dydy、dzdz后相加，可得：后相加，可得：利用上述四个条件，并考虑到利用上述四个条件，并考虑到 从而将上式化简为从而将上式化简为 或或 积分后可得积分后可得 ：常数常数 常数常数 或或 常数常数 就是理想液体沿流线的伯诺利方程式。由于流线是断就是理想液体沿流线的伯诺利方程式。由于流线是断面无限小的元流的极限情况，所以上式可看作理想液体沿面无限小的元流的极限情况，所以上式可看作理想液体沿元流的伯诺利积分。式中的每一项都具有能量意义，故习元流的伯诺利积分。式中的每一项都具有能量意