行烈式定义按第一行展开(含义)

1、 （复习）（复习） 行烈式定义：按第一行展开。（含义）行烈式定义：按第一行展开。（含义） 性质性质1 行列式与其转置行列式相等行列式与其转置行列式相等. 性质性质2 行列式的两行对换行列式的两行对换,其值变号其值变号. 性质性质3 若行列式的某一行的元素有公因子，则可把若行列式的某一行的元素有公因子，则可把公因子提出。公因子提出。 性质性质 4 若行列式中某行的元素均为两项之和，则可拆开，若行列式中某行的元素均为两项之和，则可拆开， 性质性质5 若把行列式的某一行乘上一常数加到另一行上若把行列式的某一行乘上一常数加到另一行上（简称对行进行倍加运算），则行列式的值不变。（简称对行进行倍加运算），

2、则行列式的值不变。 性质性质6 行列式可以按任一行展开，行列式可以按任一行展开， 性质性质7 行列式中的任意一行的元素与另一行相应元素的行列式中的任意一行的元素与另一行相应元素的代数余子式乘积之和为零。代数余子式乘积之和为零。 克莱姆法则克莱姆法则 如果线性方程组的系数行列式如果线性方程组的系数行列式D0,那么那么它有解为它有解为DDnDDDDnxxx ,2211性质性质7 行列式行列式D= a11 a12 a1n ai1 ai2 ain ak1 ak2 akn an1 an2 ann 第第i行行第第k行行 中的任意一行的元素与另一行相应元素的代数余中的任意一行的元素与另一行相应元素的代数余子

3、式乘积之和为零。即当子式乘积之和为零。即当i k时，有时，有ak1Ai1+ak2Ai2+aknAin =0证证Do= a11 a12 a1n ak1 ak2 akn ak1 ak2 akn an1 an2 ann 第第i行行第第k行行我们注意到这样构造的我们注意到这样构造的 D0其第其第i行每个元素的代数余子式与行每个元素的代数余子式与D中第中第i行相应元素的行相应元素的代数余子式是相同的，即代数余子式是相同的，即D0中中 Aij等于等于 D中中Aij ，j=1, 2, , n. 而一方面由而一方面由 D0中中 i 行和第行和第 k行相同故应为零，另一方面我们把行相同故应为零，另一方面我们把

4、D0按第按第 i行展开，即有行展开，即有0 = D0 = ak1Ai1+ak2 Ai2 + + akn Ain 1.3 克菜姆法则克菜姆法则设设 n 个未知数的线性方程组为个未知数的线性方程组为行列式行列式D = a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 称为方程组称为方程组 (1) 的系数行列式的系数行列式.而而D中第中第j列的元素列的元素a1j,a2janj分别换成常数分别换成常数b1,b2, bn而得到的行列式记为而得到的行列式记为Dj.克莱姆法则克莱姆法则 如果线性方程组如果线性方程组(1)的系数行列式的系数行列式D0,那么它有解那么它有解a11x1+a1

5、2 x2 + + ain xn = b1 a21x1+a22 x2 + + a2n xn = b2 an1x1+an2 x2 + + ann xn = bn (1)DDnDDDDnxxx ,2211证证 把把x1,x2, ,xn代入第代入第i个方程的左端个方程的左端,有有然后导出其等于然后导出其等于bi(i=1,2, ,n)即完成证明即完成证明.把把(2)中的中的Dj按第按第j列展开列展开,得得 Dj=b1A1j+b2A2j+bnAnj j=1,2, ,n (3)DDinDDiDDinaaa 2211(2)把把(3)代入代入(2),有有DDinDDiDDinaaa 2211=1/Dai1( b

6、1A11+b2A22+bnAn1 )+ai2( b1A12+b2A22+bnAn2 )+ +ain( b1A1n+b2A2n+bnAnn ) 把小括号打开重新组合得把小括号打开重新组合得=1/Db1( ai1A11+ai2A12+binA1n )+b2( ai2A21+ai2A22+ainA2n )+ +bi( ai1Ai1+ai2A22+binA2n ) + +bn(ai1An1+ai2An2+ainAnn ) =bi因由性质因由性质7 ai1Ak1+ai2Ak2+ainAkn=0 ikD i=k 例例1 解方程组解方程组:2x1+x2-5x3+x4=8 x1-3x2-6x4=9 2x2-x

7、3+2x4=-5x1+4x2-7x3+6x4=0 解解 利用克莱姆法则利用克莱姆法则,计算计算如下各行列式的值如下各行列式的值D= 2 1 -5 1 1 -3 0 -6 0 2 -1 2 1 4 -7 6=27D1= 8 1 -5 1 9 -3 0 -6 -5 2 -1 2 0 4 -7 6=81D2= 2 8 -5 1 1 9 0 -6 0 -5 -1 2 1 0 -7 6=-108D3= 2 1 8 1 1 -3 9 -6 0 2 -5 2 1 4 0 6=-27D4= 2 4 -5 8 1 2 0 9 0 -3 -1 -5 1 1 -7 0=27得解得解. 1, 1, 4, 327274

8、2727327108227811 xxxx1.4 行列式的计算行列式的计算例例1 计算行列式计算行列式:D= 3 0 0 0 0 4 -1 0 0 0 5 8 9 0 0 -3 4 7 1 0 1 -2 -4 -6 7 解解 由于第一行只有一个非零元素由于第一行只有一个非零元素,故按第一行展开故按第一行展开D=3 -1 0 0 0 8 9 0 0 4 7 1 0 -2 -4 -6 7再按第一行展开再按第一行展开=3(-1) 9 0 0 7 1 0 -4 -6 7=3(-1) 9 1 0 -6 7=3(-1) 917=-189例例2 计算行列式计算行列式:=11（-1）9=-9 D= 1 2 0

9、 1 2 4 -1 1 -1 3 4 2 1 3 6 5对此行作倍对此行作倍加运算操作加运算操作倍倍加加解解= 1 2 0 1 0 1 6 4 0 0 -1 -1 0 0 0 9-D= 1 2 0 1 0 0 -1 -1 0 5 4 3 0 1 6 4 1 2 0 1 0 1 6 4 0 5 4 3 0 0 -1 -1（，）= - 1 2 0 1 0 1 6 4 0 0 -26 -17 0 0 -1 -1 1 2 0 1 0 1 6 4 0 0 -1 -1 0 0 -26 -17（，）倍倍加加性质性质2 2：行列式的两行对换行列式的两行对换, ,其值变号其值变号. .例例3 计算行列式：计算行

10、列式：D= 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3解解D+ 10 2 3 4 10 3 4 1 10 4 1 2 10 1 2 3- 10 2 3 4 0 1 1 -3 0 2 -2 -2 0 -1 -1 -1=10 1 1 -3 2 -2 -2 -1 -1 -1 -2 + 1 1 -3 0 -4 4 0 0 -4 10=101 -4 4 0 -4=10（16-0）=160D= c a d b a c d b a c b d c a b d解解D- c-a a-c 0 0 a c d b a c b d c-a a-c 0 0=0例例5 计算行列式：计算行列式：D5=

11、0 a1 a2 a3 a4 -a1 0 b1 b2 b3 -a2 - b1 0 c1 c2 -a3 -b2 -c1 0 d-a4 -b3 -c2 -d 0D5= 0 -a1 -a2 -a3 -a4 a1 0 - b1 -b2 - b3 a2 b1 0 -c1 -c2 a3 b2 c1 0 -d a4 b3 c2 d 0解解 行列互换得行列互换得一方而由性质一方而由性质1得得 D5= D5，另一方而若，另一方而若D5中中每行提出公因子（每行提出公因子（-1），得），得D5=(-1)5 D5=- D5比较上两式，得比较上两式，得D5=- D5，即，即D5=0例例4 计算行列式：计算行列式： 第第i

12、行第行第j列的元素列的元素aij和第和第j行第行第i列的元素列的元素aji仅差一负仅差一负号即号即aij=-aji具有这种性质的行列式称为反对称行列式。具有这种性质的行列式称为反对称行列式。奇数阶的反对称行列式等于零。奇数阶的反对称行列式等于零。性质性质2 2推论推论：若行列式中有两行相同，则此行列式必为若行列式中有两行相同，则此行列式必为0 0例例6 计算行列式：计算行列式：D4= 1 1 1 1 a b c d a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3此行列式名为范德蒙行列式。此行列式名为范德蒙行列式。解解 D4- 1 0 0 0 a b-a c-a d-a a2 b2 -a2 c2

13、 - a2 d2 - a2 a3 b3-a3 c3 a3 d3 a3性质性质3(b-a)(c-a)(d-a) 1 0 0 0 a 1 1 1 a2 b+a c + a d + a a3 b2 +ba+a2 c2 +ca+ a2 d2 +da+ a2- -(b-a)(c-a)(d-a) 1 0 0 0 a 1 0 0 a2 b+a c - b d -b a3 b2 +ba+a2 c2 +ca- b2 -ba d2 +da-ba-b2性质性质3(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) 1 0 0 0 a 1 0 0 a2 b+a 1 1 a3 b2 +ba+a2 c + b+a d+b+

14、a-(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) 1 0 0 0 a 1 0 0 a2 b+a 1 0 a3 b2 +ba+a2 c + b+a d-c= (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)性质性质3：若行列式的某一行的元素有公因子，则可把公因子提出。若行列式的某一行的元素有公因子，则可把公因子提出。例例7 计算行列式：计算行列式：D= 0 n 2 1 0 这是一般的这是一般的n阶行列式，其结构如上图，阶行列式，其结构如上图，其副对角线元素分别为其副对角线元素分别为1，2，n 其它元其它元素为素为0。解解 方法一：由于第一行只有一个非零元方法一：由于第一行只有一

15、个非零元素，所以按第一行展开：素，所以按第一行展开： 0 n-1 2 1 0D=n(-1)1+n再按第一行展开再按第一行展开 0 n-2 2 1 0=(-1) 1+n n.(n-1) (-1) 1+(n-1)继续进行展开，并注意抓住规律，最后可得继续进行展开，并注意抓住规律，最后可得D=(-1)(1+n)+1+(n-1)+1+(n-2)+(1+2n!=!)1(212nnnn 方法二：若注意到为把对角线上的非零元素方法二：若注意到为把对角线上的非零元素调整至主对角线上，即成为三角行列式，于是调整至主对角线上，即成为三角行列式，于是可用行交换的办法。可用行交换的办法。-D（, )n 1 0 0 0 0 0 0 0 n-1 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 n继续把第继续把第n-1行交换，第三行与第行交换，第三行与第n-2行交换，行交换，就能成为三角行列式，但要注意到每作一次行就能成为三角行列式，但要注意到每作一次行交换，行列式就要变号，所以要计算进行交换交换，行列式就要变号，所以要计算进行交换的总次数。容易看