BBD不定积分的概念及性质PPT课件

1、1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学高等数学 第二十讲第1页/共22页2第三章第三章微分法:积分法:互逆运算一元函数积分学 第2页/共22页3三、三、 基本积分表基本积分表 二、不定积分的性质二、不定积分的性质一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节第一节不定积分的概念与性质 第三章 第3页/共22页4一、一、 原函数及其性质原函数及其性质引例引例:求质点的运动规律试求质点在时刻定义定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)满足在区间 I 上的一个原函数 .则称 F (x) 为f (x) 即已知某一函数的导数或微分要求出原来的函数。为了便

2、于研究这类问题，我们引进原函数与不定积分已知作直线运动的质点的运动规律是则已知作直线运动的质点在任一时刻的瞬时速度的概念。的瞬时速度逆问题：逆问题：第4页/共22页5例：例：是的一个原函数是的一个原函数是是的一个原函数的一个原函数第5页/共22页6问题问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理定理1. 存在原函数 .初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数第6页/共22页7定理定理 2. 原函数都在函数族( C 为任意常数 ) 内 。证证: 1)又知故属于函数族定理定理3：设和是的两个不同的原函数，则

3、它们之间只差一个常数。第7页/共22页8在区间 I 上的全体原函数称为上的不定积分,其中 积分号积分号; 被积函数被积函数; 被积表达式被积表达式. 积分变量积分变量;若则( C 为任意常数 )C 称为积分常数体现了积分常数体现了全体原函数全体原函数不可丢不可丢 !例如例如,记作二、不定积分二、不定积分定义定义 2. 第8页/共22页9不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线积分曲线 . 第9页/共22页10例例1. 设曲线通过点设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解

4、解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,故有因此所求曲线为第10页/共22页11三、不定积分的性质三、不定积分的性质（提因性质）（和差的不定积分等于不定积分的和差）第11页/共22页12或或可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号与微分运算记号连在一起时，或相互抵消，或抵消后只差一个常数。即“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。”从不定积分定义可知从不定积分定义可知:第12页/共22页13或或( k 为常数)四、四、 基本积分公式基本积分公式 (P171)第13页/共22页14第14页/共22页15例例1. 求求解解: 原式 =例例2. 求解解: 原式=第15页/共22页16注：注

5、：在分项积分后，别含有任意常数，则只要在最后总的加上一个任意常数即可。例例3：解：解： 原式虽然中间的几个不定积分都分但由于其代数和仍为任意常数，第16页/共22页17例例4. 求求解解: 原式 =例例5例例6第17页/共22页18例例7. 求求解解: 原式 =例例8. 求解解: 原式 =例例9：求解：解：原式第18页/共22页19例例10. 求求解解: 原式 =解解: 原式 =第19页/共22页20例例11. 求下列积分求下列积分:解解:第20页/共22页21内容小结内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 (见P 171)2. 直接积分法:利用恒等变形恒等变形, 及 基本积分公