圆锥曲线与方程课件(新人教版选修1-1)

1、0 yx两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是的方程是.0 yx这就是说：这就是说：如果点如果点M(x0 ，y0)是这条直线上的任意是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即即 x0 = y0，那么它的坐标那么它的坐标(x0 ，y0)就就是方程是方程 x-y=0 的解；的解；反过来，如果反过来，如果(x0 ，y0)是方程是方程 x-y=0 的解，即的解，即x0 = y0，那么以这个解为坐标那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上。平分线上。这样，

2、我们就说这样，我们就说 x-y=0是这条直线的方程，是这条直线的方程，这条直线叫做方程这条直线叫做方程 x-y=0的直线。的直线。试一试试一试说明圆心为说明圆心为P(a，b)，半径等于，半径等于r的圆的方程是的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2(1)设设M(x0,y0)是圆上任意一点，因为点是圆上任意一点，因为点M到圆心的距离等于到圆心的距离等于r 所以所以 也就是也就是(x0-a)2+(y0-b)2=r2 即即(x0,y0)是方程是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解的解2200()()xaybr (2)设设(x0,y0)是方程是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，则有的解

3、，则有 (x0-a)2+(y0-b)2=r2两边开方取算术根，得两边开方取算术根，得 即点即点M(x0，y0)到点到点P的距离等于的距离等于r，所以点，所以点M是这个圆上的点是这个圆上的点 由由(1)(2)可知，可知， (x-a)2+(y-b)2=r2是圆心为是圆心为P(a，b)，半径等于半径等于r的圆的方程的圆的方程2200()()xaybr 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上上的点与一个二元方程的点与一个二元方程 f(x，y)=0的实数解建立了的实数解建立了如下的关系：如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标都是这个方程 的解；的

4、解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做的点，那么这个方程叫做曲线的方程曲线的方程；这条曲；这条曲线叫做线叫做方程的曲线（图形）方程的曲线（图形）。说明：说明： （1）“曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标都是这个方程 的解的解” ，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外线上所有的点都符合这个条件而毫无例外（纯粹性）（纯粹性）.（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线以这个方程的解为坐标的点都在曲线上上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无阐

5、明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏遗漏（完备性）（完备性）.由曲线的方程的定义可知，由曲线的方程的定义可知， 如果曲线如果曲线C的方程是的方程是 f(x，y)=0，那么点，那么点P0(x0 ，y0)在曲线在曲线C 上的上的 充要条件是充要条件是f(x0，y0)=0 .问题研讨问题研讨例例1判断下列结论的正误并说明理由判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点）过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的直线为轴的直线为x=3 （2）到）到x轴距离为轴距离为2的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为y=2 （3）到两坐标轴距离乘积等于）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为xy=1对错错

6、例2证明：圆心为坐标原点，半径为5的圆的方程是2522 yx并判断是否在圆上），（、252)4, 3(21 MM0 xy551M2M变式训练：写出下列半圆的方程变式训练：写出下列半圆的方程yyy-5y5555555-5-5-5-500 xxxx例例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是的点的轨迹方程是xy=k.的解。是方程即所以轴的距离为与轴的距离为与因为点是轨迹上的任意一点，如图，设证明：kxyyxkyxxyyxMyxM),(,),() 1 (00000000MkyxkyxkxyyxM1111111,),()2(即即的解，是方程的坐标设

7、点是曲线上的点。点是常数到两条直线的距离的积因此点到纵轴、横轴的距离，正是点而11111,MkMMyx的点的轨迹方程。的积为常数。是与两条坐标轴的距离可知，由)0()2(),1 (kkkxy条件甲：条件甲：“曲线曲线C C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程f(xf(x，y)=0 y)=0 的解的解”，条件乙：条件乙：“曲线曲线C C是方程是方程f (xf (x，y)=0 y)=0 的曲线的曲线”，则甲是乙的，则甲是乙的( )( )(A)(A)充分非必要条件充分非必要条件 (B)(B)必要条件必要条件(C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)非充分也非必要条件非充分也非必要条件B若命题若命

8、题“曲线曲线C C上的点的坐标满足方程上的点的坐标满足方程f(xf(x，y)=0 y)=0 ”是正确的，是正确的，则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是( )( )(A)(A)方程方程f(xf(x，y)=0 y)=0 所表示的曲线是所表示的曲线是C C (B)(B)坐标满足坐标满足 f(xf(x，y)=0 y)=0 的点都在曲线的点都在曲线C C上上(C)(C)方程方程f(xf(x，y)=0y)=0的曲线是曲线的曲线是曲线C C的一部分或是曲线的一部分或是曲线C C (D)(D)曲线曲线C C是方程是方程f(xf(x，y)=0y)=0的曲线的一部分或是全部的曲线的一部分或是全部D例例2 设设

9、A,B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段求线段AB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。MBMAMPMAByxM属于集合点上的任意一点，也就是的垂直平分线是线段解：如图，设),(2222)7()3() 1() 1(yxyxM表示为适合的条件可点由两点间的距离公式，072 yx得上式两边平方，并整理坐标都是方程的解。垂直平分线上每一点的由求方程的过程可知，) 1 (ABlM(x,y)111111127, 072),()2(yxyxyxM是方程的解，即的坐标设点)136(5) 1()28() 1() 1(,1212121212111yyyyyxAMBAM的距离分别

10、是到点)136(5)7()24()7()3(121212121211yyyyyxBM的垂直平分线上。在线段即点所以ABMBMAM,11直平分线的方程。可知，方程是线段的垂由)2(),1 (求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲表示曲线上任意一点线上任意一点M的坐标；的坐标；（2）写出适合条件）写出适合条件p的点的点M的集合的集合P=Mp(M);（3）用坐标表示条件）用坐标表示条件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;（4）化方程）化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐

11、标的点都在曲线）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。上。函数函数 y=ax2 的图象是的图象是关于关于 y 轴对称的抛物线轴对称的抛物线 .这条抛物线是所有以方程这条抛物线是所有以方程 y=ax2 的解为坐标的点组成的的解为坐标的点组成的.这就是说：这就是说： 如果点如果点M(x0 ，y0)是抛物线上的点是抛物线上的点任意一点，那么任意一点，那么 (x0 ，y0)一定是这个一定是这个方程的解；方程的解； 反过来，如果反过来，如果 (x0 ，y0)是方程是方程 y=ax2 的解，那么以它为坐标的点一的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上。定在这条抛物线上。这样，我们就说这样，我们就说

12、 y=ax2是这条抛物线的方程，是这条抛物线的方程，这条抛物线叫做方程这条抛物线叫做方程 y=ax2 的抛物线。的抛物线。复习回顾1.椭圆的定义椭圆的定义: 到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。的动点的轨迹叫做椭圆。)2|2(2|2121cFFaaPFPF)0( 12222babyax2.椭圆的标准方程是：椭圆的标准方程是：当焦点在当焦点在X轴上时轴上时)0( 12222babxay当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2研究分析研究右图你会得到这个椭圆有什么样的性质?axby ax b

13、yYXOP（x，y）P3（-x，-y）P1（-x，y）P2（x，-y）) 0( 12222babyax从图形上看从图形上看:椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原轴、原点对称。点对称。从方程上看：从方程上看：（1）把）把x换成换成-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y轴对称；轴对称；（2）把）把y换成换成-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x轴对称；轴对称；（3）把）把x换成换成-x，同时把，同时把y换成换成-y方程不变，图象关于原点成中方程不变，图象关于原点成中心对称。心对称。1、范围：、范围： xa, y b , 122ax得：得：122 byyB1 oB2A1A2F1F2 椭圆落在椭

14、圆落在 x=a, y= b组成的矩形中组成的矩形中 oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(0,-b)(a，0)(-a，0)0( 12222babyax令令 y=0，得，得 x=？ ， 说明椭圆与说明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？令令 x=0，得，得 y=？，？， 说明椭圆与说明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？*顶点坐标顶点坐标: ( -a , 0 ) ( a , 0 ) ( -b , 0 ) ( b , 0 )*长轴、短轴长轴、短轴：线段：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。其中分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长

15、。其中a,b,c构成一构成一直角三角形直角三角形.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：ac222221ababaace叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。11离心率的取值范围：离心率的取值范围：因为因为ac0 所以所以0ebabceaa2=b2+c2归纳归纳 : 椭椭 圆圆 几几 何何 性性 质质22221(0)xyabab|x| a,|y| b关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短短半轴长为半轴长为b. b.

16、 ababceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a a, ,短短半轴长为半轴长为b. b. ababa2=b2+c2cea).8 , 0()0 , 6()2(;32,12,) 1 (:4QPx和经过点离心率等于长轴的长等于坐标轴上长轴在的标准方程求适合下列条件的椭圆例. 12036:.20, 4, 6:,32,122) 1 ( :22222yxcabcaacea所求椭圆的标准

17、方程为从而得由已知解. 13664:., 8, 6:,)2(22xyyxabQP椭圆的标准方程为所以轴上轴和长轴分别在且短轴于是有个端点椭圆的短轴和长轴的一分别是所以圆的顶点与坐标轴的交点就是椭圆以坐标轴为对称轴的椭由椭圆的几何性质知它的长轴长是：它的长轴长是： 。短轴长是：。短轴长是： 。焦距是：焦距是： . .离心率等于：离心率等于： 。焦点坐标是：焦点坐标是： 。顶点坐标是：顶点坐标是： 。 外切矩形的面积等于：外切矩形的面积等于： 。 262)5, 0( 52630(0,6) ( 1,0)4 616122 yx其标准方程是其标准方程是5 1 622bacba则学生练习学生练习 小 结

18、:1.椭圆的几个简单几何性质：范围、对称椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。义。2.了解了研究椭圆的几个基本量了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系的关系池州学院池州学院 1010应数应数 魏巍魏巍 一、双曲线的第一定义一、双曲线的第一定义: :到两个定点的到两个定点的F F1 1,F,F2 2的距离之差的绝对值是的距离之差的绝对值是常数常数( (小于小于|F|F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹的点的轨迹. . 定点叫焦定点叫焦点点, ,两焦

19、点之间的距离叫焦距两焦点之间的距离叫焦距. .（1 1）2a2c 2a0 2a0 ；（3 3）双曲线是两支曲线）双曲线是两支曲线注意注意F2F1M M二、双曲线的标准方程二、双曲线的标准方程: :12222byax其中其中c c2 2=a=a2 2+b+b2 2 焦点是焦点是(-c,0)(-c,0)和和(c,0)(c,0)12222bxay 焦点是焦点是(0,-c)(0,-c)和和(0,c)(0,c)OyxF2F1M MOM MF2F1xyxyO标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标图图 形形12222byax12222bxayxyO(-c,0)(-c,0)和和(c,0)(c,0)(0,-c)(0,

20、-c)和和(0,c)(0,c)范范 围围对称性对称性顶顶 点点xaxa或或x-ax-ayaya或或y-ay-a坐标轴是对称轴坐标轴是对称轴; ; 原点是对称中心原点是对称中心, ,叫双曲线的中心叫双曲线的中心. . A A1 1(-a,0)(-a,0)和和A A2 2(a,0)(a,0)A A1 1A A2 2叫实轴叫实轴, B, B1 1B B2 2叫虚轴叫虚轴, , 且且|A|A1 1A A2 2|=2a, |B|=2a, |B1 1B B2 2|=2b|=2bF F2 2A A1 1(0,-a)(0,-a)和和A A2 2(0,a)(0,a)渐近线渐近线xabyyabx离心率离心率e=a

21、c（e1,e1,且且e e决定双曲线的开口程度决定双曲线的开口程度, ,越大开口越阔）越大开口越阔）F F1 1F F2 2F F1 1到定点的距离和到定直线的距离之比是常数到定点的距离和到定直线的距离之比是常数e(e1)e(e1)的点的轨迹的点的轨迹. .定点是焦点定点是焦点, ,定直线叫准线定直线叫准线, ,且常数是离心率且常数是离心率. .12222byaxcax212222bxaycay2三、双曲线的第二定义三、双曲线的第二定义: :|0aex |0aey 标准方程标准方程准线方程准线方程焦半径焦半径四、等轴双曲线四、等轴双曲线: :1.1.定义定义: :实轴长与虚轴长相等的双曲线实轴

22、长与虚轴长相等的双曲线. .2.2.标准方程标准方程: :(1) x(1) x2 2-y-y2 2=a=a2 2( (焦点在焦点在x x轴上轴上) )(2) y(2) y2 2-x-x2 2=a=a2 2( (焦点在焦点在y y轴上轴上) )3.3.离心率离心率: :2e结论结论: :等轴双曲线的方程可写成等轴双曲线的方程可写成: : x x2 2-y-y2 2=m=m4.4.渐进线方程渐进线方程: :xy参数方程参数方程 双曲线双曲线 的参数方程为的参数方程为: :12222byax为参数）（tanysecxba重要结论重要结论 双曲线双曲线 的焦点到相应的顶点的焦点到相应的顶点 之间的距离

23、为之间的距离为: :12222byaxac 双曲线双曲线 的焦准距的焦准距( (焦点到相应焦点到相应 准线的距离准线的距离) )长为长为: :12222byaxcbcac22重要结论重要结论 双曲线系双曲线系 的离心率为的离心率为: :)0(2222byaxace 双曲线系双曲线系 的焦点为的焦点为: :122222cayax)0 ,( c 双曲线系双曲线系 的渐近线为的渐近线为: :)0(2222byaxxaby5xy22(5)(5)过过(2,3), ;(2,3), ;2e 【基础练习一基础练习一】求满足条件的双曲线的标准方程求满足条件的双曲线的标准方程: :(1)(1)顶点在顶点在y y轴

24、上轴上, ,两顶点的距离为两顶点的距离为6, ;6, ;35e(2)(2)焦点在焦点在x x轴上轴上, ,焦距为焦距为16, ;16, ;34e(3)(3)过过(-6,0), ;(-6,0), ;35e(4)(4)以椭圆以椭圆 的焦点为顶点的焦点为顶点, ,顶点为焦点顶点为焦点; ;19y4x22164y36x22116x9y22128y36x2214x5y22【基础练习二基础练习二】(1)(1)已知双曲线已知双曲线 上一点上一点P P到一个焦到一个焦 点的距离是点的距离是10,10,则则P P到相应的准线的距离是到相应的准线的距离是_._.116922yx6 6(3)(3)已知已知M M到到

25、P(5,0)P(5,0)的距离与它到直线的距离与它到直线 的距的距 离之比为离之比为 , ,求求M M的轨迹方程的轨迹方程. .59x35116922yx(2)(2)已知双曲线已知双曲线 左支上点左支上点P P到右焦点到右焦点 的距离是的距离是11,11,则则P P到左准线的距离是到左准线的距离是_._.116922yx3 3(4)(4)如果方程如果方程 表示双曲线，表示双曲线， 求求m m的取值范围的取值范围. .11mym2x22方程mx2+ny2=1表示双曲线 mn0)P(P0)如何建立坐标系如何建立坐标系, ,求出抛物线的标求出抛物线的标准方程呢准方程呢解：如图，取过焦点解：如图，取过

26、焦点F F且垂直于准线且垂直于准线L L的直的直线为线为x x轴，线段轴，线段KFKF的中垂线为的中垂线为y y轴轴 设动点设动点M的坐标为（的坐标为（x，y） （x-p/2)+y = x+p/222F(P/2,0) x= -p/2F(P/2,0) x= -p/2化简得化简得 y2 = 2px（p 0）其中其中 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是:方程方程 y2 = 2px（p0）表示的抛物线，其表示的抛物线，其 焦点焦点 位于位于X X轴的正半轴上，其准线交于轴的正半轴上，其准线交于X X轴的负半轴轴的负半轴即即右焦点右焦点F（ ，0），），左准线左准线L：x =- p2p2焦

27、点到准线的距离焦点到准线的距离.F FL L 0 0 x x y y L LK K0 0 x x y y F FL L0 0 x x y y y y F FL L0 0 x x y y2 2=2px =2px (p(p0)0)y y2 2=-2px =-2px (p(p0)0)x x2 2=2py =2py (p(p0)0)x x2 2=-2py =-2py (p(p0)0)(p/2,0)(-p/2,0)(0,-p/2)(0,p/2)x=-p/2x=p/2y=p/2y=-p/2 在抛物线在抛物线 上求一点上求一点P,使得使得P到焦点到焦点F与到与到 点点A(3,2)的距离之和最小的距离之和最小

28、,y =2xA AF F0 0 x x y y 解解: : 如图如图, ,设设|PQ|PQ|为为P P到准线的距离到准线的距离则则|PF|=|PQ|PF|=|PQ|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|当当A,P,QA,P,Q共线时共线时, |AP|+|PF|, |AP|+|PF|最小最小即即P P点坐标为点坐标为(2,2)(2,2)时时, |AP|+|PF|, |AP|+|PF|最小。最小。 2123确定抛物线方程的形式解：如图解：如图8 83 32 2建立坐标系，设建立坐标系，设抛物线方程为：抛物线方程为： x x2=2=2 2pypy 把把B B点坐标点

29、坐标(4(4，4)4)代入，代入， 求得求得p p=2=2 求得求得D D点坐标点坐标(0.8(0.8，0.16)0.16) x =-4yx =0.82yxoABEF(1)(1)求抛物线方程时，若由已知条件可知求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法若所求曲线是抛物线，一般用待定系数法若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；般用轨迹法；(2)(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位待定系数法求抛物线方程时既要定位( (即即确定抛物线开口方向确定抛物线开口方向) )，又要定量，又要定量( (即确定参即确定参数数p p的值的值