信号及信号分析

1、第一章第一章 信号及信号分析信号及信号分析1.1 1.1 概述概述1.2 1.2 信号分类与描述信号分类与描述 1.3 1.3 信号的时域分析信号的时域分析1.4 1.4 周期信号及其频域分析周期信号及其频域分析1.5 1.5 非周期信号及其频域分析非周期信号及其频域分析1.6 1.6 随机信号及其分析随机信号及其分析主主要要内内容容交通信号灯交通信号灯信息信息信号信号信息的载体是光信号信息的载体是光信号红灯红灯亮亮黄灯黄灯亮亮绿灯绿灯亮亮停止停止通行通行注意注意1.1 1.1 概述概述( (什么叫信号什么叫信号) ) （1 1）信息）信息 a) 一般可理解为消息、情报或知识。一般可理解为消息

2、、情报或知识。 语言文字是社会信息；语言文字是社会信息； 商品报道是经济信息；商品报道是经济信息； 古代烽火是外敌入侵信息。古代烽火是外敌入侵信息。 b) 信息不是物质，也不具备能量，但却是物信息不是物质，也不具备能量，但却是物质所固有的，可理解为事物运动的状态和方式。质所固有的，可理解为事物运动的状态和方式。 c) 信息的传输依靠物质和能量。信息的传输依靠物质和能量。 （2 2）信号）信号 信号就是载有信息的随时间变化的物理量或者物信号就是载有信息的随时间变化的物理量或者物理现象，其图像成为信号的波形。理现象，其图像成为信号的波形。 a) a) 一般来说，传输信息的载体称为信号，信息一般来说

3、，传输信息的载体称为信号，信息蕴涵于信号之中。蕴涵于信号之中。交通信息的载体就是光信号交通信息的载体就是光信号; ; b) b) 信号是物质，具有能量，有波形，是某种具信号是物质，具有能量，有波形，是某种具体的物理量。体的物理量。老师讲课时发出的老师讲课时发出的是是声音信号声音信号，是以声，是以声波的形式发出的，传递的波的形式发出的，传递的信息信息就是老师讲授的内容。就是老师讲授的内容。 c) c) 信号变化反映所携带信息的变化。信号变化反映所携带信息的变化。 d) d) 在研究、分析信号及其变换规律时，一般将在研究、分析信号及其变换规律时，一般将信号看成是随时间变化的函数。信号看成是随时间变

4、化的函数。 （3 3）信号分析及其目的）信号分析及其目的： 测控系统中常见的信号主要有测控系统中常见的信号主要有电信号、光信号、电信号、光信号、位移信号、速度信号位移信号、速度信号等不同物理量。等不同物理量。 信号分析：信号分析：运用数学工具分析测控对象信号类运用数学工具分析测控对象信号类别、构成、及其特征参数，提取有用信号，从而正别、构成、及其特征参数，提取有用信号，从而正确认识测控对象的内外部规律及其相互联系，为正确认识测控对象的内外部规律及其相互联系，为正确设计和选择测试控制系统提供依据。确设计和选择测试控制系统提供依据。 分析目的：分析目的：认识客观物理过程的内在规律，研认识客观物理过

5、程的内在规律，研究各个物理量之间的相互关系，预测测量对象未来究各个物理量之间的相互关系，预测测量对象未来的发展趋势。的发展趋势。 1.2 1.2 信号分类与描述信号分类与描述1.2.1 1.2.1 信号的分类信号的分类（1 1）按照信号随时间的变化规律分类）按照信号随时间的变化规律分类 根据信号的不同特性，可对信号进行不同分类。根据信号的不同特性，可对信号进行不同分类。 非平稳随机信号非各态历经信号各态历经信号平稳随机信号非确定性信号瞬态非周期信号准周期信号非周期信号复杂周期信号简谐周期信号周期信号确定性信号信号 a) a)确定性信号确定性信号: : 能完整地用数学模型或者数学关系式描述或者能

6、完整地用数学模型或者数学关系式描述或者预测其随时间的变化关系。任何时刻的信号量值都预测其随时间的变化关系。任何时刻的信号量值都可以确定。可以确定。 例如：例如：无阻尼质量无阻尼质量- -弹簧振动弹簧振动系统的位移信号可表示为：系统的位移信号可表示为：00( )coskx tXtm 根据信号波形是否有规律地重复再现，确定根据信号波形是否有规律地重复再现，确定性信号又可分为性信号又可分为周期信号周期信号和和非周期信号非周期信号。 周期信号周期信号 服从一定规律，按一定时间间隔周而复始出服从一定规律，按一定时间间隔周而复始出现的信号。数学表达式为：现的信号。数学表达式为：( )()x tx tnT2

7、1/Tf 其中：其中：称为信号的周期称为信号的周期2 f f称为角频率称为角频率称为频率称为频率L, 2, 1n00.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2-1-0.500.5100.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2-1-0.500.5100.511.522.53-1.5-1-0.500.511.5三角波三角波T=0.02T=0.02锯齿波锯齿波T=0.02T=0.02矩形波矩形波T=0.5T=0.5简谐周期信号简谐周期信号: : 频率单一的正弦或余弦信号。频率单一的正弦或余弦信号。 周期信号又可分为周期信号又可分为简谐

8、周期信号简谐周期信号和和复杂周期信号复杂周期信号。)3/100cos(2)(ttx00.020.040.060.080.1-2-1012复杂周期信号复杂周期信号: :由多个乃至无穷多个频率成分由多个乃至无穷多个频率成分的简谐信号叠加而成，且存在公共周期的信号。的简谐信号叠加而成，且存在公共周期的信号。00.20.40.60.811.21.41.61.82-15-10-505101500.20.40.60.811.21.41.61.82-15-10-505101511/3T21/2TT = 1 )3/4sin(5)6/6sin(10)(tttx 谐波频率比为有理数，周期可根据谐波频率比为有理数，

9、周期可根据各频率值的各频率值的最大公约数的倒数或各自周期的最大公倍数最大公约数的倒数或各自周期的最大公倍数来确定。来确定。 又如：又如：如果一个组合信号是由频率分别为如果一个组合信号是由频率分别为44Hz、 724Hz、500Hz、600Hz的同相正的同相正弦波叠加而成，则该信号的周期多少？弦波叠加而成，则该信号的周期多少？(0.25s)02468101214-1.5-1-0.500.511.5ttttx5sin413sin21sin)( 准周期信号准周期信号: 由多个乃至无穷多个频率成分由多个乃至无穷多个频率成分的简谐信号叠加而成，但不存在公共周期的信号。的简谐信号叠加而成，但不存在公共周期

10、的信号。特点是特点是各简谐信号频率比为无理数。各简谐信号频率比为无理数。非周期信号：非周期信号：指没有重复周期的信号，包括指没有重复周期的信号，包括准周准周期信号期信号和和瞬态非周期信号瞬态非周期信号。tttx2sinsin)(05101520253035404550-2-1012 瞬态非周期信号瞬态非周期信号: : 在有限时间段内存在，或在有限时间段内存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬随着时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变非周期信号或瞬变信号或者时限信号。变非周期信号或瞬变信号或者时限信号。 例如：例如：指数衰减振动信号指数衰减振动信号)6 10sin(5)(4te

11、txt00.511.5-4-3-2-1012345 注意：注意：直流信号直流信号是指幅值不随时间是指幅值不随时间变化的信号，是非变化的信号，是非周期信号，实质上周期信号，实质上是一种频率为是一种频率为0 0的的周期信号。周期信号。汽车加速过程信号汽车加速过程信号 半个正弦信号半个正弦信号 矩形窗信号矩形窗信号 锤击物体的力信号锤击物体的力信号 b) b) 非确定性信号非确定性信号 无法用明确的数学关系式来表达、或者无法确无法用明确的数学关系式来表达、或者无法确切地预测未来任何瞬间精确值的信号称为切地预测未来任何瞬间精确值的信号称为非确定性非确定性信号信号，又称为，又称为随机信号随机信号。 如：

12、如：均值为均值为0 0，方差为，方差为1 1的的高斯分布信号高斯分布信号如下：如下： 050100150200-3-2-10123 特点：特点：对于随机信号，每次观测结果都不同，对于随机信号，每次观测结果都不同，但大量地重复试验可以看到它具有统计规律性，因但大量地重复试验可以看到它具有统计规律性，因而可用而可用概率统计方法概率统计方法来加以描述和研究，由过去估来加以描述和研究，由过去估计未来或找出某些统计特征量（计未来或找出某些统计特征量（均值均值、均方值均方值、均均方根值方根值、方差方差、标准差标准差、概率密度函数概率密度函数、相关函数、相关函数、功率谱密度函数功率谱密度函数等）。等）。 例

13、如：例如：在工程实际中，随机信号随处可见，如在工程实际中，随机信号随处可见，如气温的变化、机器振动的变化等，即使同一机床同气温的变化、机器振动的变化等，即使同一机床同一工人加工相同零部件，其尺寸也不尽相同。一工人加工相同零部件，其尺寸也不尽相同。 随机信号又可分为随机信号又可分为平稳平稳随机信号和随机信号和非平稳非平稳随机随机信号两类。信号统计特征不随时间发生变化的随机信号两类。信号统计特征不随时间发生变化的随机信号称为信号称为平稳随机信号平稳随机信号，否则称为，否则称为非平稳随机信号非平稳随机信号。噪声信号噪声信号(平稳平稳)噪声信号噪声信号(非平稳非平稳)（2 2）按信号的独立变量及幅值连

14、续性特征分类）按信号的独立变量及幅值连续性特征分类a) a) 连续信号和离散信号连续信号和离散信号 独立变量取值连续的信号，称为连续信号；独立变量取值连续的信号，称为连续信号；独立变量取值离散的信号，称为离散信号。独立变量取值离散的信号，称为离散信号。 汽车速度汽车速度（连续信号）（连续信号）锅炉水温锅炉水温度的变化度的变化（连续信号）（连续信号）每日股市每日股市指数变化指数变化（离散信号离散信号）某地每日某地每日平均气温平均气温（离散信号离散信号）每隔每隔5min5min测测定锅炉水的定锅炉水的温度变化温度变化（离散信号）（离散信号）每隔每隔2 2微秒微秒对正弦信号对正弦信号的采样信号的采样

15、信号（离散信号）（离散信号） 在测控领域，独立变量主要有：在测控领域，独立变量主要有：时间、位移、时间、位移、速度、温度、压力速度、温度、压力等；等；若信号的幅值和独立变量均连续，称为若信号的幅值和独立变量均连续，称为模拟信号模拟信号；若信号幅值离散，独立变量连续，则为若信号幅值离散，独立变量连续，则为量化信号；量化信号；若信号幅值和独立变量均离散，称为若信号幅值和独立变量均离散，称为数字信号数字信号；数字；数字计算机使用的信号都是计算机使用的信号都是数字信号数字信号；若信号幅值连续，而独立变量离散，则称为若信号幅值连续，而独立变量离散，则称为采样信号。采样信号。 模拟信号模拟信号数字信号数字

16、信号采样采样量化量化 采样：采样：利用中断功能，每隔一段时间单片机利用中断功能，每隔一段时间单片机从环境中测量一次温度信息，从而得到时间上是从环境中测量一次温度信息，从而得到时间上是离散的温度信号。离散的温度信号。 量化：量化：将温度幅值的取值数目加以限定，即将温度幅值的取值数目加以限定，即用离散的数字表示温度的数值。用离散的数字表示温度的数值。 例如：例如：温度范围温度范围20.020.020.720.7，取值限定在，取值限定在20.120.1、20.220.2、20.320.3、20.420.4、20.520.5、20.620.6、20.720.7等等8 8个值。个值。20.32520.3

17、25取取20.320.3、20.47620.476取取20.520.5。模拟模拟信号信号数字数字信号信号（3 3） 按信号的能量特征分类按信号的能量特征分类 信号的功率：信号的功率：信号的能量：信号的能量：dttxtE)()(2)()(2txtPa) a) 能量信号能量信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，）内，能量为）内，能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：有限值的信号称为能量信号，满足条件： dttxtE)()(2一般持续时间有限的瞬态信号都是能量信号。一般持续时间有限的瞬态信号都是能量信号。b) b) 功率信号功率信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，）内，能量是无限）内，

18、能量是无限的，此时研究信号的平均功率更为合适。的，此时研究信号的平均功率更为合适。 一般持续时间无限的信号都属于功率信号。一般持续时间无限的信号都属于功率信号。212211( )dttx ttttdttx)(2 例题：例题：试判断下列各信号试判断下列各信号f(t)f(t)是否为周期信号，是否为周期信号，若是，求出其周期。若是，求出其周期。)(4cos10)( )9)302cos()( 8) )2(sin)( )75cos2sin)( )6 1)( )5cos2sin)( )4 10sin10cos)( )33sin2cos)( )2 )607cos()( ) 1222ttUtftetfttft

19、ttfttftttftttftttfttft解答：解答：周期信号必须周期信号必须具有周期性和无始无具有周期性和无始无终两个条件。第九信终两个条件。第九信号为有始无终信号，号为有始无终信号，第八信号为指数衰减第八信号为指数衰减信号，第信号，第5 5信号不具有信号不具有周期性，第周期性，第4 4信号频率信号频率比为无理数，因此都比为无理数，因此都为 非 周 期 信 号 。为 非 周 期 信 号 。 例题：例题：判断图中各信号是连续信号还是离散信判断图中各信号是连续信号还是离散信号，若是离散信号，是否为数字信号。号，若是离散信号，是否为数字信号。解答：解答：数字信号数字信号一定是离散信号，一定是离散

20、信号，但离散信号不一但离散信号不一定是数字信号，定是数字信号，只有量化了的离只有量化了的离散信号才是数字散信号才是数字信号，且数字信信号，且数字信号的量化值可以号的量化值可以去任意的整数值。去任意的整数值。 例题：例题：判断下列各信号是功率信号还是能量信号。判断下列各信号是功率信号还是能量信号。)()( 8) )sgn()( )7100)( )6 )(5)( )5)453sin(4)2cos(6)( )4 Rt ,8)( )3)(20)( )2 )302cos(10)( ) 133ttfttftfttUtftttfetftUetfttftt解答：解答：有界的周期信号和直流信有界的周期信号和直流

21、信号为功率信号，号为功率信号，1 1、4 4、6 6、7 7；有；有界的非周期信号为能量信号，界的非周期信号为能量信号，2 2；无界的周期和非周期信号为非功无界的周期和非周期信号为非功率非能量信号，率非能量信号，3 3、5 5、8 8。1.2.2 1.2.2 信号的描述信号的描述 (1) (1) 时域描述：时域描述： 以时间为独立变量，用信号的幅值随时间变化以时间为独立变量，用信号的幅值随时间变化的函数或图形来描述信号的方法。的函数或图形来描述信号的方法。 如：如： ) 3/102sin(10)(ttx00.20.40.60.81-10-50510 (2) (2)频域描述：频域描述： 把时域信

22、号通过数学处理变成以频率把时域信号通过数学处理变成以频率( (或角频或角频率率) )为独立变量，相应的幅值或相位为因变量的函为独立变量，相应的幅值或相位为因变量的函数表达式或图形来描述的方法。一般用频谱图来数表达式或图形来描述的方法。一般用频谱图来表示，包括幅值谱和相位谱两种形式。表示，包括幅值谱和相位谱两种形式。 如：如： 幅值频谱图幅值频谱图 相位频谱图相位频谱图 ) 3/102sin(10)(ttx方波可看方波可看成是由一成是由一系列频率系列频率不等的正不等的正弦波信号弦波信号叠加而成叠加而成 信号时频描述的特点信号时频描述的特点 1 1）时域描述时域描述简单直观，便于观察和记录，反简单

23、直观，便于观察和记录，反映了信号幅值随时间变化的过程。从时域图形中可映了信号幅值随时间变化的过程。从时域图形中可知周期、峰值、均值、方差、均方差等特征参数，知周期、峰值、均值、方差、均方差等特征参数，反映了信号变化快慢和波动情况。反映了信号变化快慢和波动情况。 2 2）频域描述频域描述揭示了信号的频率结构，反映了揭示了信号的频率结构，反映了信号中不同强度幅值的分布情况。信号中不同强度幅值的分布情况。 (3) (3) 幅值域描述幅值域描述 以信号幅值为自变量的一种信号表达方式，反映以信号幅值为自变量的一种信号表达方式，反映了信号中不同强度幅值的分布情况，常用于随机信号了信号中不同强度幅值的分布情

24、况，常用于随机信号的统计分析。由于随机信号的幅值具有随机性，通常的统计分析。由于随机信号的幅值具有随机性，通常用概率密度函数来描述。用概率密度函数来描述。 (4) (4) 时延域描述：时延域描述： 以时间和频率的联合函数来同时描述信号在不同以时间和频率的联合函数来同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度，是非平稳随机信号分时间和频率的能量密度或强度，是非平稳随机信号分析的有效工具，可同时反映时间和频率信息，揭示非析的有效工具，可同时反映时间和频率信息，揭示非平稳随机信号代表的被测物理量本质，常用于图像处平稳随机信号代表的被测物理量本质，常用于图像处理、语音处理、医学、故障诊断等信号分析中。

25、理、语音处理、医学、故障诊断等信号分析中。 (5) (5) 信号描述的目的信号描述的目的 信号时域和频域描述主要是为了掌握信号不同信号时域和频域描述主要是为了掌握信号不同方面特征的需要，相互之间可以转换，而且包含同方面特征的需要，相互之间可以转换，而且包含同样的信息量。样的信息量。 例如：例如： 评定机器振动程度，需要用振动速度的均方根评定机器振动程度，需要用振动速度的均方根值来作为判据，这时，就可采用时域描述，并能很值来作为判据，这时，就可采用时域描述，并能很快求得均方根值。快求得均方根值。 但是，要寻找振动产生的振源时，就必须采用但是，要寻找振动产生的振源时，就必须采用频域描述，掌握振动信

26、号的频率分量。频域描述，掌握振动信号的频率分量。 1.3 1.3 信号的时域分析信号的时域分析 时域分析时域分析就是直接在时域中对信号进行分析就是直接在时域中对信号进行分析和处理和处理, ,包括时域运算和时域分解两个方面。包括时域运算和时域分解两个方面。 其中，其中，时域运算时域运算包括展缩、平移、翻转、相包括展缩、平移、翻转、相加、相乘、微分、积分、卷积等。加、相乘、微分、积分、卷积等。 时域展缩：时域展缩： x(kt)x(kt)与原信号与原信号x(t)x(t)之间在时间轴上的扩展之间在时间轴上的扩展和压缩。当和压缩。当k1k1k1时，时，原信号时域被压缩。原信号时域被压缩。卷积运算：卷积运

27、算：dtfftftf)()()()(2121满足下列数学运算：满足下列数学运算：1 1）交换律）交换律2 2）分配律）分配律3 3）结合律）结合律)()()()(1221tftftftf)()()()()()()(3121321tftftftftftftf)()()()()()(321321tftftftftftf 时域分解：时域分解： 一个复杂信号都可以分解为一系列具有不同一个复杂信号都可以分解为一系列具有不同时延的矩形窄脉冲的叠加。时延的矩形窄脉冲的叠加。dtfktkfktuktukftfkk)()( )()(lim ) 1()()(0 时域里任一函数等于这一时域里任一函数等于这一函数与单

28、位脉冲函数的卷积函数与单位脉冲函数的卷积例题：例题：已知一连续时间信号已知一连续时间信号X(t)X(t)，如图所示，如图所示，画出并标明下列各信号的图形。画出并标明下列各信号的图形。 1) X(t-2) 1) X(t-2) 2) X(1-t) 2) X(1-t) 3) X(2t+2) 3) X(2t+2) 4) x(2-t/3) 4) x(2-t/3) 5) X(t)+X(2-t)u(1-t) 5) X(t)+X(2-t)u(1-t) 6) X(t)(t+3/2)-(t-3/2) 6) X(t)(t+3/2)-(t-3/2)1.4 1.4 周期信号及其频域分析周期信号及其频域分析(1) (1)

29、 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式 在有限区间上，任何周期信号只要满足狄利在有限区间上，任何周期信号只要满足狄利克雷条件，即只有第一类间断点、有限个极值点、克雷条件，即只有第一类间断点、有限个极值点、且收敛，都可展成傅里叶级数。且收敛，都可展成傅里叶级数。1001000)cos(2 )sincos(2)(nnnnnntnAatnbtnaatx22nnnAab 表明：周期函数由一个直流分量和无限个谐波表明：周期函数由一个直流分量和无限个谐波分量组成，分量组成，0 0 称为基波角频率。称为基波角频率。002T2/2/002/2/002/2/00000000sin)(2cos)(

30、2)(2TTnTTnTTtdtntxTbtdtntxTadttxTa)arctan(nnnab 以频率为横坐标，幅值或相位为纵坐标所作的以频率为横坐标，幅值或相位为纵坐标所作的图形称为周期信号的图形称为周期信号的“三角频谱三角频谱”。其中，幅值与。其中，幅值与频率的关系图形称为频率的关系图形称为幅值频谱图幅值频谱图；相位与频率的关；相位与频率的关系图形称为系图形称为相位频谱图。幅值频谱和相位频谱相位频谱图。幅值频谱和相位频谱通称通称为为信号频谱，就信号频谱，就是构成信号的各频率分量的集合，是构成信号的各频率分量的集合，表征信号的频率结构。表征信号的频率结构。 由于由于n n为正整数，各频率分量

31、仅在基频的整数倍为正整数，各频率分量仅在基频的整数倍处取值，其相应谐波在频谱图中对应一根谱线，所处取值，其相应谐波在频谱图中对应一根谱线，所以以周期信号的频谱是离散的周期信号的频谱是离散的。三角频谱中的角频率。三角频谱中的角频率( (或频率或频率f)f)从从0 0，谱线总是在横坐标的一边，因，谱线总是在横坐标的一边，因而而三角频谱也称作三角频谱也称作“单边谱单边谱”。例题例题1 1：画出下面信号画出下面信号x(tx(t) )的波形与频谱图的波形与频谱图 )3/22sin(5)6/32sin(10 )()()(21tttxtxtx11223f 解：解：22222f 02公共周期为1 (a) (a

32、) x x1(1(t t) )的幅值频谱图的幅值频谱图 (b) (b) x x1(1(t t) )的相位频谱图的相位频谱图 (c) x2(t)(c) x2(t)的幅值频谱图的幅值频谱图 (d) x2(t)(d) x2(t)的相位频谱图的相位频谱图(e) x(t(e) x(t) )的幅值频谱图的幅值频谱图 (f) x(t(f) x(t) )的相位频谱图的相位频谱图 例题例题2 2：求下图所示周期性三角波的傅里叶级数的求下图所示周期性三角波的傅里叶级数的三角函数展开及其三角频谱。三角函数展开及其三角频谱。解：解：0000(0)22( )(0)22TAAttTx tTAAttT 000222411(

33、 )(coscos3cos5)235AAx ttttLAdtTAtATdttxTaTTT2/0002/2/0000024)(2LL2,4,6,1,3,5, 04 cos24cos)(2222/00002/2/00000nnnAtdtnTAtATtdtntxTaTTTn0sin)(22/2/0000TTntdtntxTbL1,3,5, 42222nnAabaAnnnn0)arctan(nnnab方波信方波信号及其号及其各阶谐各阶谐波叠加波叠加逼近的逼近的情形情形(2) (2) 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式 cos2jjeesin2jjeej则：则：将三角函数形式中的正

34、余弦用欧拉公式代换将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换 tjnnnntjnnnntjnnnntjnnntjnnnejbaejbaejbaaejbaejbaatx000002 222 222)(11010nnjnjnnInRTTtjnnnneAeCjCCdtetxTjbaC2 )(122/2/0000令：令：则：则：tjnneCtx0 )(nnnRnInabCCarctan arctan 以复指数形式表示以复指数形式表示的频谱，称为复数频谱。的频谱，称为复数频谱。以以C Cn n的实部和虚部与的实部和虚部与nwnw0 0的关系图，分别称为实的关系图，分别称为实频图和虚频图，其中频频图和虚频图，

35、其中频率是双边的，复数频谱率是双边的，复数频谱为双边谱。为双边谱。例例1：作出正弦、余弦函数的实、虚部频谱图以及作出正弦、余弦函数的实、虚部频谱图以及单边谱和双边谱。单边谱和双边谱。解：解：21 , 0Im ,21Re ,21 , 121 , 0Im ,21Re ,21 , 121212cos1111111100000CCCCnCCCCneeeettjtjtjtj2 ,21 ,21Im , 0Re ,2 , 12 ,21 ,21Im , 0Re ,2 , 122sin1111111111000CCCjCnCCCjCnejejttjtj余弦信号及其频谱图余弦信号及其频谱图正弦信号及其频谱图正弦信

36、号及其频谱图 例例2：画出信号画出信号 的三的三角频谱和双边频谱图。角频谱和双边频谱图。)42sin(2)(0tftx解：解：4 2nnA1）三角频谱）三角频谱2）双边频谱）双边频谱tfjtfjtfjtfjtfjtfjejejeeeejtftftx00000022222200221221 )(21)(2 )2cos()2sin()(4 ,22 ,21Im ,21Re ,221 , 14 ,22 ,21Im ,21Re ,221 , 11111111111CCCjCnCCCjCn 通过以上的讨论，常见通过以上的讨论，常见周期信号的频谱周期信号的频谱具有具有以下特点：以下特点： (1) (1) 离

37、散性：离散性：频谱图中，每根谱线代表一个频谱图中，每根谱线代表一个谐波成分，谱线高度代表该谐波成分幅值大小；谐波成分，谱线高度代表该谐波成分幅值大小； (2) (2) 谐波性：谐波性：每条谱线只有在其基频的整数每条谱线只有在其基频的整数倍的离散点频率处才有值；倍的离散点频率处才有值； (3) (3) 收敛性：收敛性：谐波分量的幅值有随其阶数的谐波分量的幅值有随其阶数的增高而逐渐减小的总趋势。周期信号中增高而逐渐减小的总趋势。周期信号中高次谐波高次谐波分量分量很小，对信号波形影响很小，有时可以忽略。很小，对信号波形影响很小，有时可以忽略。 在一定的误差范围内，只考虑有限的频率分量：在一定的误差范

38、围内，只考虑有限的频率分量：从从0 0频率到所必须考虑的最高次谐波分量之间的频频率到所必须考虑的最高次谐波分量之间的频段称为段称为信号的频带宽度。信号的频带宽度。 在设计和选用测试仪器时，测试仪器工作频率在设计和选用测试仪器时，测试仪器工作频率范围必须大于被测信号频宽，否则引起信号失真，范围必须大于被测信号频宽，否则引起信号失真，造成较大测量误差。造成较大测量误差。 通常将频谱中幅值下降到最大幅值的通常将频谱中幅值下降到最大幅值的1/101/10时所时所对应的频率作为信号频宽，称为对应的频率作为信号频宽，称为1/101/10法则法则。 还可根据时域波形估计频宽：有突变信号频带还可根据时域波形估

39、计频宽：有突变信号频带较宽，可取较宽，可取1010倍基频倍基频为频宽；无突变信号变化较缓，为频宽；无突变信号变化较缓，接近谐波，频带较窄，取接近谐波，频带较窄，取3 3倍基频倍基频为频宽。为频宽。 (3) (3) 周期信号的功率和功率谱周期信号的功率和功率谱 nnnnTnnnTCAadttnAaTdttxTP21220021000020212 )cos(21 )(100巴塞伐尔定理：巴塞伐尔定理：周期信号在时域周期信号在时域中的平均功率（中的平均功率（方均值方均值）等于该）等于该信号在频域中的信号功率。信号在频域中的信号功率。2nnCP 周期信号的周期信号的功率谱：功率谱：例题：例题：求下图所

40、示周期矩形脉冲信号的功率，并考察求下图所示周期矩形脉冲信号的功率，并考察其功率谱的组成情况，设脉宽其功率谱的组成情况，设脉宽T=0.2sT=0.2s，T=1sT=1s。解：解：2 . 0)(1 )(12/2/22/2/2TTTTdttxTdttxTP)2.0(sin2.0 2.0)2.0sin(2.0sin 1)(12/2/2/2/00ncnnTTnTTnTTdteTdtetxTCTTtjnTTtjnn%5 .90%1002 . 0181. 0 181. 0552PPCPnnn 信号频谱中第一次过零点以内（或称频谱主瓣）信号频谱中第一次过零点以内（或称频谱主瓣）所含各频率分量的功率总和为：所含

41、各频率分量的功率总和为：(4) (4) 周期信号的强度周期信号的强度 1 1）峰值）峰值 用于描述信号用于描述信号x(tx(t) )在时域中出现的最大瞬时在时域中出现的最大瞬时幅值，是指波形上与零线的最大偏离值。幅值，是指波形上与零线的最大偏离值。max)(txxP 对信号的峰值应该有足够的估计，以便确定对信号的峰值应该有足够的估计，以便确定测试系统的动态范围，不至于产生削波的现象，测试系统的动态范围，不至于产生削波的现象，从而能真实地反映被测信号的最大值。从而能真实地反映被测信号的最大值。 2 2）均值）均值 周期信号中的均值是指信号在一个周期内幅周期信号中的均值是指信号在一个周期内幅值对时

42、间的平均，也就是用傅里叶级数展开后的值对时间的平均，也就是用傅里叶级数展开后的常值分量常值分量a a0 0。 000)(1TxdttxT周期信号全波整流后的均值称为信号的绝对均值周期信号全波整流后的均值称为信号的绝对均值000)(1TxdttxT 3 3）有效值）有效值 信号中的有效值就是均方根值，记录了信信号中的有效值就是均方根值，记录了信号经历的时间进程，反映了信号的功率大小。号经历的时间进程，反映了信号的功率大小。0020)(1TrmsdttxTx 4 4）平均功率）平均功率 有效值的平方即均方值就是信号的平均功率。有效值的平方即均方值就是信号的平均功率。0020)(1TavdttxTP

43、1.5 1.5 非周期信号及其频域分析非周期信号及其频域分析 瞬态非周期信号可以看做是周期趋于无穷大瞬态非周期信号可以看做是周期趋于无穷大的周期信号。当周期无限扩大时，周期信号频谱的周期信号。当周期无限扩大时，周期信号频谱谱线间隔在无限缩小，趋于零，相邻谐波分量无谱线间隔在无限缩小，趋于零，相邻谐波分量无限接近，离散参数就变换成连续变量，离散频谱限接近，离散参数就变换成连续变量，离散频谱变成了连续频谱。因此，非周期信号也可看成是变成了连续频谱。因此，非周期信号也可看成是频率连续变化的谐波信号的叠加。频率连续变化的谐波信号的叠加。 傅里叶级数三角函数和复数求和运算变成了傅里叶级数三角函数和复数求

44、和运算变成了积分运算。瞬态信号的频域描述已不能用傅里叶积分运算。瞬态信号的频域描述已不能用傅里叶级数展开，而要用傅里叶变换来描述。级数展开，而要用傅里叶变换来描述。 0j( )entnnx tC000/2j/201( )edTntnTCx ttT设有一周期信号设有一周期信号000000 ,/2) ,(/2) /2,( ,ndTTTT则有：则有：dedtetxedtetxdtxtjtjtjtj)(21 )(2)(deXtxdtetxXtjtj)(21)( )()(X X()()为单位频宽上的谐波幅值，具有为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度密度”的含义，的含义，称为瞬态信号的称为瞬态信号的“频谱密

45、度函数频谱密度函数”，简称，简称“频谱函频谱函数数”。 )()(2dtetxfXftj 其中，其中，X X（f f）反映了信号不同谐波分量的振幅）反映了信号不同谐波分量的振幅与相位的变化情况。与相位的变化情况。)()( )(Im)(Re)(fjefXfXjfXfX称为连续幅频谱称为连续幅频谱称为连续相频谱称为连续相频谱)( )(fjefX非周期信号的能量：非周期信号的能量：00220)(1 )(1 )(21)()(21 )()(21 )(21)(dSdXdXdXXddtetXXdtdeXtxEtjtj2)()(XS为为能量谱密度函数能量谱密度函数，简称，简称能量谱密度能量谱密度。仅取决于幅频谱

46、的模，而与相位无关。仅取决于幅频谱的模，而与相位无关。傅立叶变换的主要性质傅立叶变换的主要性质几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱 ：1 1） 矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱R0 (2)( )1 (22)0 (2)tTw tTtTtT )(sin)sin( 22/2/2 )()(2222/2/22ftcTfTfTTfjeeTTfjedtedtetwjfWftjftjftjTTftjftjRR 矩形窗函数的频谱密度函数为扩大了矩形窗函数的频谱密度函数为扩大了 T T 倍的倍的采样函数，只有实部，没有虚部。其幅值频谱为采样函数，只有实部，没有虚部。其幅值频谱为 R|()|sinc()|WjfTf

47、T 通常定义通常定义 为取样函数或者滤波函为取样函数或者滤波函数或内插函数，函数图形如下图所示：数或内插函数，函数图形如下图所示：xxcxsinsin其相频谱为其相频谱为: :22210, 1, 2,.21200, 1, 2,.( )22100,1,2,.21220,1,2,.nnfnTTnnfnTTfnnfnTTnnfnTT 幅幅频频图图相相频频图图在在 时间内激发一个矩形脉冲时间内激发一个矩形脉冲 ，其面积为，其面积为1 1。当当 时，时， 的极限就称为的极限就称为 函数，也函数，也称为单位脉冲函数，即：称为单位脉冲函数，即：2 2）单位脉冲函数及其频谱）单位脉冲函数及其频谱 下图为各种脉

48、冲函数（矩形脉冲、三角形脉冲、下图为各种脉冲函数（矩形脉冲、三角形脉冲、双边指数脉冲，钟形脉冲双边指数脉冲，钟形脉冲 等）的关系曲线。等）的关系曲线。0lim( )( )S tt)(tS0)(tS)(t从函数极限的角度看：从函数极限的角度看：从面积角度看：从面积角度看：0( )00ttt0( )dlim( )d1ttS tt单位脉冲函数的性质：单位脉冲函数的性质：1 1）筛选特性）筛选特性)()()()()() 0()()(000tttxtttxtxttx)()()()()() 0()() 0()()(0000txdttttxdttttxxdttxdtttx2 2）采样特性）采样特性3 3）卷

49、积特性）卷积特性 )()()()()()()(txdttxdttxttx)()()()()(000ttxdtttxtttx脉冲函数的频谱脉冲函数的频谱理想的白噪声，理想的白噪声，称为均匀谱。称为均匀谱。 直流信号的频谱直流信号的频谱 复指数信号及其频谱复指数信号及其频谱 3) 正、余弦信号的频谱正、余弦信号的频谱 )()(212cos)()()(22sin)()(212cos)(22sin0000002202200000fffftftyffffjtftxeetfeejtftfjtfjtfjtfj4) 一般周期信号的频谱一般周期信号的频谱 5) 周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列的频谱 等间

50、隔的周期单位脉冲序列也称为梳状函数等间隔的周期单位脉冲序列也称为梳状函数 s( )()ng ttnTs( )()nng tCfnfsssj22sss211( )edTnf tTnCttfTTssss1(j )()()nnnG fffnffTT)(tg)( jfG例题：例题：已知时域信号及其幅频图，试求函数已知时域信号及其幅频图，试求函数 的傅立叶变换。的傅立叶变换。( )( )f tx t0(1cos2)f t解：解：该题为求两个信号相乘后的频谱及其图形，根该题为求两个信号相乘后的频谱及其图形，根据余弦函数的频谱函数和傅里叶变换的卷积性质可据余弦函数的频谱函数和傅里叶变换的卷积性质可求出结果。

51、求出结果。0001cos2()()2f tffff0001( )(1cos2)( )( )()()2x tf tX fX fffff( )()()x ttTx tT00(j )( )()/2()/2FfX fX ffX ff1.6 1.6 随机信号及其分析随机信号及其分析 工程测量中大多数信号都表现为一种随机信工程测量中大多数信号都表现为一种随机信号，也就是，号，也就是，无法用明确的数学关系式来描述，无法用明确的数学关系式来描述，具有不确定性和事先不可预知性。但都能用概率具有不确定性和事先不可预知性。但都能用概率论和数理统计的方法来加以描述。论和数理统计的方法来加以描述。 重要性在于：重要性在

52、于：生产中经常需要排除各种随机生产中经常需要排除各种随机干扰的影响，识别和测量淹没在强噪声环境中以干扰的影响，识别和测量淹没在强噪声环境中以微弱信号形式表现出来的各种现象，研究随机信微弱信号形式表现出来的各种现象，研究随机信号具有更普遍和更现实的意义。号具有更普遍和更现实的意义。 产生随机信号的现象称为产生随机信号的现象称为随机现象随机现象；随机信号按；随机信号按照时间历程所作的各次长时间的观测记录称为一个照时间历程所作的各次长时间的观测记录称为一个样样本函数本函数，就是随机信号的单个时间历程，记为，就是随机信号的单个时间历程，记为 。1.6.1 1.6.1 随机过程及其描述随机过程及其描述)

53、(txi 在有限的时间区间上的样本函数称为在有限的时间区间上的样本函数称为样本记录样本记录，某随机现象可能产生的所有样本集合称为某随机现象可能产生的所有样本集合称为随机过程随机过程，也称为也称为总体，总体，记为：记为： 12 ( ) ( ),( ),.,( ),.nx tx tx txt 比如：比如：每日气温观测，地球温度变化，只能以天每日气温观测，地球温度变化，只能以天或以年为单位进行分析。每天观测构成一个样本函数。或以年为单位进行分析。每天观测构成一个样本函数。 对随机过程所有样本函数在同一时刻的观测值取对随机过程所有样本函数在同一时刻的观测值取平均值，称为平均值，称为集合平均集合平均，单

54、个样本函数按照时间历程，单个样本函数按照时间历程进行的平均计算，称为进行的平均计算，称为时间平均时间平均。 随机过程可分为平稳随机过程和非平稳随机过随机过程可分为平稳随机过程和非平稳随机过程。在实际工程中，只要被研究的随机过程的前后程。在实际工程中，只要被研究的随机过程的前后环境和主要条件都不随时间变化，就可以认为该随环境和主要条件都不随时间变化，就可以认为该随机过程是机过程是平稳随机过程，其样本曲线都在某一水平平稳随机过程，其样本曲线都在某一水平直线上下波动。直线上下波动。 例如：例如：船舶的颠簸；测量运动目标距离时产生船舶的颠簸；测量运动目标距离时产生的误差；电网中电压的波动；各种噪声干扰

55、。的误差；电网中电压的波动；各种噪声干扰。 在平稳随机过程中，若任何单个样本函数的时在平稳随机过程中，若任何单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，则该平稳随机过程称为则该平稳随机过程称为各态历经随机过程。各态历经随机过程。 在实际测试工作中，常将随机过程按照各态历在实际测试工作中，常将随机过程按照各态历经随机过程来处理，以有限长度的样本记录在推测经随机过程来处理，以有限长度的样本记录在推测和估计被测对象的整个随机过程，用它的时间平均和估计被测对象的整个随机过程，用它的时间平均来估计集合平均，就称为来估计集合平均，就称为参数估计，

56、参数估计，由此带来的误由此带来的误差称为差称为统计采样误差统计采样误差。均值：均值：描述信号的常值分量描述信号的常值分量 1.6.2 1.6.2 随机信号的主要特征参数随机信号的主要特征参数TTxdttxTxEu0)(1lim注：注：只能用有限时间的样本记只能用有限时间的样本记录来计算特征参数，即样本参录来计算特征参数，即样本参数，以此作为随机信号特征参数，以此作为随机信号特征参数的估计值。数的估计值。1 1）用时间平均计算随机信号的特征参数）用时间平均计算随机信号的特征参数TTxdttxTu0)(1lim方差：方差：描述信号的波动分量，平方根称为描述信号的波动分量，平方根称为标准偏差标准偏差

57、 TxTxdtutxT022)(1limTxTxdtutxT022)(1lim方均值：方均值：描述信号的能量或强度。描述信号的能量或强度。 其平方根称为其平方根称为均方根值均方根值，也称为，也称为有效值有效值TTxdttxTxE0222)(1limTTxdttxT022)(1lim均值、方差和方均值三者之间的关系：均值、方差和方均值三者之间的关系： 222xxx2 2）用集合平均计算随机信号的特征参数）用集合平均计算随机信号的特征参数MiiMtxtxMu11,)(1lim1MiiMtxtxM1122,)(1lim1MiiMtxtxMu11,)(1lim1MiiMtxtxM1122,)(1lim

58、13）概率密度函数）概率密度函数 随机信号的概率密度函数表示信号幅值落在随机信号的概率密度函数表示信号幅值落在指定区间内的概率。指定区间内的概率。 1231 LNxniiTttttt( )()limxTTP xx txxT 式中：式中：T T 观测时间观测时间表示信号幅值在表示信号幅值在T T时间内落时间内落在这区间的总时间。在这区间的总时间。 niixtT100( )1( )limlimlimxxxTTP xx txxp xxxT 在日常生活和工程中，大量的随机现象都表现在日常生活和工程中，大量的随机现象都表现为一种为一种正态分布正态分布，其概率密度函数为：，其概率密度函数为：222)(ex

59、p21)(xxxuxxp0102030405060708090100-2-1012345 下图表示：下图表示：100100个作正态分布的随机数，标准差个作正态分布的随机数，标准差为为1 1，期望平均值为，期望平均值为1 1。-3-2-10123400.10.20.30.4 不同信号具有不同的概率密度函数图形，可以借不同信号具有不同的概率密度函数图形，可以借此来识别和区分信号的性质。此来识别和区分信号的性质。常见信号常见信号( (假设这些信假设这些信号的均值为零号的均值为零) )的概率密度函数图形如下：的概率密度函数图形如下： 4）概率分布函数：）概率分布函数： 表示随机信号的瞬时值低于某一给定

60、值表示随机信号的瞬时值低于某一给定值x x的概率。的概率。TTxtxPxPTlim)()()()( )()(12212xPxPdxxpxtxxPxxx5）概率密度函数与概率分布函数之间的关系：）概率密度函数与概率分布函数之间的关系： dxxdPxxPxxPxxxtxxPxpxx)( )()(lim )(lim)(00dxxpxP)()(1.6.3 1.6.3 相关分析及其应用相关分析及其应用 相关：相关： 描述两个随机过程在某个时刻状态间的线性描述两个随机过程在某个时刻状态间的线性依从关系，或者一个随机过程在时移前后状态关依从关系，或者一个随机过程在时移前后状态关系的数字特征。系的数字特征。