北师大版2020九年级数学上册2.5一元二次方程的根与系数的关系自主学习能力达标测试题A(附答案详解)

1、北师大版2020九年级数学上册2.5 一元二次方程的根与系数的关系自主学习能力达标 测试题A （附答案详解）1 .若一元二次方程x2 2x 3m 0有两个相等的实数根，则方程mx2 2x 8m 0的解是（）A . -B. 2或 4C. -2 或-4D. -2 或 432 .若 , X2是一元二次方程 x2 4x 3 0的两个根，则 X2的值是（）A. 4B. 3C. -4D. -33 .方程ax2+bx-c= 0(a >0, b>0, c>0)的两个根的符号为()C. x2 7x 12 0 D. x2 7x 12 0A.同号B.异号C.两根都为正D,不能确定4 .若关于x的一

2、元二次方程的两个根为xi=2-<3, x2=2+口，则这个方程是（A. x2+4x+1=0B. x2 - 4x+1=0 C, x2- 4x - 1=0 D , x2+4x - 1=05 .已知 ，是方程 x a x b2 0的两根，且a b,a, b, 的大小关系可能是（）A . a <a<b< 3C. a< a <b< 3B. a< a < 3 <bD. a <a< 3 <b6 .关于x的方程x2 2kx 3k 0的两个相异实根均大于-1且小于3,那么k的取值范围是 （）A, -1<k<0B, k<

3、;0C, k>3 或 k<0 D, k>-17 .已知 卜3是关于x的一元二次方程x2- （2m+3） x+m2=0的两个不相等的实数根，一一11且满足一一二1,则m的值是（）A.3B.- 1C.3 或1D. 3或 18 . 一元二次方程两根之和为6,两根之差为8,那么这个方程为（）A .x2-6x-7=0B.x2-6x+7=0C,x2+6x-7=0D,x2+6x+7=09 .若关于x的方程x2 px q 0的两根同为负数，其中 p2 4q 0,则（）A. p 0 且 q 0 B, p 0 且 q 0C. p 0且q 0 D, p0且 q 010 .以3和4为根的一元二次方程

4、是（）A. x2 7x 12 0 B. x2 7x 12 011 .已知a、B是方程x2 2x 5 0的两个实数根，则a2苗 a的值为12 .关于x的一元二次方程(a23)x 4x 1 0有头数根，则a满足13 .已知关于x的方程x2px q 0的两根分别是3和3,则P q0的一个根，则该方程的另一个根是14 .已知2是关于x的一元二次方程 x2 4x p15 .设m, n是方程x2 x 2 0的两根，则222m m n -； m2 n mn -n16 .如果x1, x2是方程x2-5x+6=0的两个根，那么x x2 =. x x2 .17 .若4是关于x的一元二次方程x2 x d 0的一个根

5、，则该方程的另一个实数根等于;18 .如果方程kx2 2x 1 0有两个不等实数根，则实数 k的取值范围是 19 .若关于x的一元二次方程 x22x+a1 = 0有两个相等实数根，则 a =.20 .若一元二次方程2x2 4x 3 0的两根为x1和用，则x1 x2 , x1 x2 .21 . (1)不解方程，求方程 5x2-1=2x的两个根x1、x2的和与积；(2)求证：无论p取何值，方程(x-2) (x-1) - p2=0总有两个不相等的实数根.22 .已知关于x的一元二次方程(x m)2 2(x m) 0(m为常数).(1)求证：不论 m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程

6、一个根为 3,求m的值.一，人a23 .已知A ba(a b)(1)化简A;(2)如果a,b是方程x2 4x 12 0的两个根，求A的值.2k24.关于x的万程kx k 2 x 0有实数根.41求k的取值范围.2k2若xi, X2是方程kx2 k 2 x - 0的两个实数根，且满足4kxi 12x1x2kx2,求 k .25.己知关于x的一元二次方程 x2+ (2k+3) x+k2=0有两个不相等的实数根 xi, x2.(1)求k的取值范围；11(2)若一一二-1,求k的值. x1 x226 .已知关于x的一元二次方程x2 2x m 2 0有两个不等的实数根 %和*21求m的取值范围并证明x1

7、x2 m 2 ；2若k x22 ,求m的值.1 2 x x227 .已知：关于x的万程x kx 2 0,设方程的两个根为 x1，x2,若y 3x1如果2 x x2x1x2,求k的取值范围.212当k 2时，比较y与k2 -k 2的大小，并说明理由.228 .已知关于x的方程x2+mx+m2= 0.(1)求证：无论 m取何值，方程总有两个不相等的实数根；22(2)设方程两实数根分别为 x1, x2,当m = 3时，求X x2的值.29 .已知关于x的一元二次方程 m2x2 2 m 1 x 1 0有实数根.1求实数m的范围；2由1 ,该方程的两根能否互为相反数？请证明你的结论.30 .学了一元二次

8、方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：若设一元二次方程的两11个根为x1, x2,就能快速求出一十一，xI2+x22,的值了.比如设x1, x2是方程x1x2x2+2x 3=0 的两个根，则 x+x2=2, x1x2= 3,得十 = -2=2.”X x2 陷 3(1)小亮的说法对吗？简要说明理由；(2)写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和.参考答案1. C【解析】【分析】首先根据方程有两个相等的实数根求出m的值，进而利用因式分解法求出方程的解.【详解】,一元二次方程 x2-2 x+3m=0有两个相等的实数根，=(- 2)2-4 x i >m=o,1 m -,31 28，万程x

9、 2x 8 0的解为3 3xi2,X24,故选：C.【点睛】考查一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程当 b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根 .当 b2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根.当 b2 4ac 0时，方程没有实数根.2. B【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关键解得即可.【详解】x1 , x2是一元二次方程 x2 4x 3 0的两个根，c x1 x2= =3. a故选B.【点睛】cb（aw。）的两个根，则 x1 x2 =，x1 x2=.aa3. B【解析】【分析】c首先由=b2+4ac>0,可知方程有两个不等的实数根，再由xix2=-<0可知两根

10、异号.a【详解】ax2+bx-c=0 （a> 0、b>0、c> 0）,=b2+4ac>0,，方程有两个不等的实数根，设方程 ax2+bx-c=0 （ a> 0、b> 0、c>0）的两个根为 xi, x2,c 一八 . xix2= - < 0,a两根异号.故选：B.【点睛】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （awp的两根时，xi+x2=- - , xi?x2=.同时考查了根的判别式.a a4. B【解析】【分析】先计算xi+x2, xix2,然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程即可.【详解】xi=

11、2-、y, x2=2+q3,1. xi+x2=4, xix2= （2+口）（2-W）=4-3=i ,以Xi, x2为根的一元二次方程为x2-4x+i=0 .故选B .【点睛】本题考查了根与系数的关系：若xi, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 （awq的两根时，xi+x2=-", xix2='l5. B【解析】【分析】先把方程化为一般形式，由于“，3是方程的解，根据根与系数的关系即可得到a, b, ”，3之间的关系，然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断.【详解】方程化为一般形式得：x 2 - (a+b) x+ab-2=0''' a , 3 是

12、方程(x-a) (x-b) -2=0 的两根，a + 3 =a+b，当a > a时，又< a< b, a< 3,则：a< a< 3< b；当 a > b 时，3 < a,又< a< b, a< 3,则不成立.故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，对a, b, a, 3大小关系的讨论是此题的难点.6. A【解析】分析：令y=x2+2kx+3k,由题意可得当 x=-1时，y>0;当x=3时，y>0; ?>0同时成立，由 此求得k的取值范围.详解：令y=x2+2kx+3k,其图象与x轴交点

13、的横坐标就是方程 y=0的解，由图象可知，要使二根都在-1, 3之间，只需当x=-1时，y>0;当x=3时，y>0; ?>0同时成立，12k 3k 09 6k 3k 024k2 12k 0解得-1 v k<0,故选A.点睛：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，一元二次方程根的判别式，不等式组的解法，依题意列出不等式组是解题的关键.7. A【解析】 民、B是关于x的一元二次方程x2- (2m+3) x+m2=0的两个的实数根，. a+ B =2n+3, a =m 沿苧=1,解得：m= - 1或m=3,经检验，m= - 1或m=3均为原分式方程的解.V民、B是关于x的

14、一元二次方程x2- (2m+3) x+m2=0的两个不相等的实数根， .=- (2m+3) 2-4m2=12m+9>0, - m> -m=3.故选A.11，、一-，八点睛：由根与系数的关系结合 一+ =1,可得出关于 m的分式方程，解之即可得出 m的值,再根据根的判别式 AN,即可得出m的值，此题得解.8. A【解析】【分析】首先设此一元二次方程的两根分别为：x1, x2,由一元二次方程两根之和为6,两根之差为 8,即可求得x1？x2=-7,继而求得答案.【详解】解：设此一元二次方程的两根分别为：xi, X2,一元二次方程两个之和为6,两根之差为8, Xi+X2=6, X1-X2=

15、8,Xi?X2= （X1+X2）2-（X1-X2）2=-7 , 4则满足条件的方程为：x2-6x-7=0 ,故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系.注意掌握若二次项系数为1,常用以下关系：Xi, X2是方程 X2+pX+q=0 的两根时，Xi+X2=-p, XiX2=q,反过来可得 p=-（X1+X2） , q=XiX2, 前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数.9. A【解析】【分析】2据p - 4q 0,得出方程有两个实数根，再根据已知条件得出两根之积零、两根之和I时，由此得到关于 p, q的不等式，然后确定它们的取值范围即可.【详解】“2,八3 p

16、 4q 0,方程有两个实数根.设Xi, X2是该方程的两个负数根，则有 Xi + X2 < 0, XiX2 > 0 ,Xi + X2=-p, XiX2=q,-p<0, ,q>0.p>0, ,q>0.故选A.【点睛】本题考查一元二次方程根的符号的确定，应利用一元二次方程根与系数的关系与根的判别式.10. A【解析】【分析】分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积，进行判断即可.【详解】A、在 x2-7x+12=0 中，Xi+X2=7, XiX2=12,此选项正确；B、在 x2+7x+12=0 中，xi+X2=- 7, xiX2=12,此选项不正确；C

17、、在 x2+7x - 12=0 中，Xi+X2=7, XiX2=- 12,此选项不正确；D> 在 x2-7x - 12=0 中，Xi+X2= - 7, XiX2=-12,此选项不正确；故选：A.【点睛】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 . .一. bc(aw。)的根与系数的关系：右方程两个为X1, X2,则X1+X2= , X1?X2=.aa11. 9【解析】【分析】观察方程x2 2x 5 0不易因式分解求根，根据根与系数的关系可得：+ =-2,=-5,将 22变形后，代入即可得到结论.【详解】解：、 是方程x2 2x 5 0的两

18、个实数根，+=-2,=-5;则： 22=() 2=4+5=9;故答案为：9.【点睛】合理运用配方法与根与系数的关系解题是关键12. a > 1 且 a w 3.【解析】试题分析：方程为一元二次方程，.方程有实数根，=(-4)2+4(a-3)= 4a+4>0,a>- 1,综合得a» 1且aw3故答案为a1且aw3.点睛：本题考查一元二次方程根的判别式，注意掌握：(1) 一元二次方程根的情况与判别式的关系：0,方程有两个不相等的实数根；0,方程有两个相等的实数根；4<0,方程没有实数根.(2) 一元二次方程的二次项系数不为0.13. 9【解析】【分析】利用根与系数

19、的关系求解即可 .【详解】X1+X2=- p, X1X2=q ,求得 p+q= - 9.【点睛】掌握根与系数之间的关系是解题的关键.14. -6.【解析】b -设万程的另一个根为 X2,由韦达定理可得：x1 x2-JP 2 X24,a解得X,6.点睛：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.15. 21【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及根与系数的关系可得m2 m2 0、n2 n 2 0、m+n=1 , mn=-2,变形得.2m2 m 2、n 一 =1、m2 m 2，再整体代入求值即可.【详解】m, n是方程x2 x 2 0的两根， m

20、2 m 2 0，n2 n 2 0，2 .即 m2 m 2，n = 1， n. 一 2- mm n -2M=2； m，n是方程x2 x 2 0的两根， m2 m 2 0，m+n=1， mn=-2,即 m2 m2； m2 n mn m+2+n+mn=2+1-2=1 .故答案为2; 1.【点睛】的关系：方程没有实本题考查了根与系数的关系及根的判别式：一元二次方程根的情况与判别式> 0?方程有两个不相等的实数根；A=0?方程有两个相等的实数根；<数根；根与系数的关系为：xi+x2=- b, xi x2= - -a a16. 65【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解.【详解】

21、解：: xi, x2是方程x2 5x 6 0的两个根， ,.x1 ?x2 c 6.a b x1 x2- 5.a故答案是：6(2) 5【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记,x15 x2是一元二次方程2bcax bx c 0( a 0)的两根时，x1 x2XiX2 -.aa17. -3【解析】【分析】根据根与系数的关系，xi X2 = ,X1 +X1= 2即可求出另一个根.aa【详解】设方程的另一个为 xi,1 rr则 x1+4=,即 x1二 3.1故答案为-3.18. k 1 且 k 0【解析】方程kx2+2x+1=0有两个不等实数根，.kwo且。，即22-4*X1>0,

22、解得kv 1, 实数k的取值范围为kv 1且kwo.19. 2【解析】【分析】根据方程根的判别式等于0,即可得出a的值.【详解】;关于x的一元二次方程 x2-2x+ a- 1=0有两个相等实数根，.k 22 4 a 10,解得：a 2,故答案为：2.【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系.根判别式b2 4ac ,当( 0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；(2)当( 0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当( 0时，一元二次方程没有实数根.20. 2【解析】【分析】根据韦达定理可得出答案.【详解】x1+x2= 2,xix2= ,所以此处填 2 和 .222【点睛】本题考查了韦达

23、定理的运用，熟悉记忆公式是解决本题的关键2121 . ( 1 ) xi+x2= , xix2=; (2)见斛析.55【解析】【分析】(1)先把右边的项移到左边，然后根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；(2)先整理成一元二次方程的一般形式，然后求出？的值即可判断.【详解】(1)方程可化为5x2-2x- 1=0,21x1+x2= , x1x2=-；55(2)方程可化为 x2-3x+2-p2=0,. = ( - 3) 2-4 (2 - p2) =4p2+1 >0,，无论p取何值，方程(x- 2) (x- 1) - p2=0总有两个不相等的实数根.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+

24、c=0 (aw。根的判别式及根与系数的关系，若 x1，x2为方bc程的两个根，则 x1 , x2与系数的关系式：x1 x2 , x1 x2 .aa22. (1)见解析；(2) m的值为3或1.【解析】分析：(1)先求出的值，再根据根的情况与判别式的关系即可得出答案；(2)将方程的已知根代入方程，得到关于 m的方程，求解即可.22详斛：(1)原万程可化为x 2m 2 x m 2m 0.因为 a 1, b 2m 2 , c m2 2m,29_所以 b 4ac 2m 24 m 2m 4 0.所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.一， ，一 ，一,， 、2(2)因为一个根为3,将x 3代入x

25、 m 2 x m 0,得23 m 2 3m 0.解这个方程，得m1 3 , m2 1 .所以m的值为3或1.的关系:点睛：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式(1) > 0?方程有两个不相等的实数根；(2) A=0?方程有两个相等的实数根；(3) < 0?方程没有实数根.23. (1) ab;-1 .ab3【解析】【分析】(1)先通分，再根据同分母的分式相加减求出即可;(2)根据根与系数的关系即可得出结论.(1) A=ab(a b)ba(a b)2;a bab( a b)a b=;aba+b=4, ab=12,(2) a, b是方程x2 4x 12 0的两

26、个根,a b41A -.ab123【点睛】本题考查了分式的加减和根与系数的关系，能正确根据分式的运算法则进行化简是解答此题的关键.24. 1 k的取值范围是k 1 ； 2 k 1.【解析】【分析】(1)分为两种情况：当 k-1=0时和当k-iwo时，求出即可；k 21、(2)利用根与系数的关系得出X1+x2=- , x1x2=，代入kx1-12x1x2=-kx2求得k的数值k4即可.【详解】，、1、，1当k 0时，方程为2x 0,方程有实数根；2当k 0时，八(k 2)2 4 k K 0时，即k 1 ,方程有实数根，4综合上述：k的取值范围是k 1；2k2 x，x2是方程kx k 2 x -

27、0的两个实数根，4k 21xi x2 , x1x2 ,k4kx1 12x1x2kx2,k x x212x1x2 0,k 2 3 0,解得：k 1 .【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根的判别式和根与系数的关系.325. (1) k> - 一 ；(2) k=3.4【解析】【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式>0,即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围；11(2)根据根与系数的关系可得出x+x2=-2k-3、x1x2=k2,结合 二-1即可得出关x1 x2于k的分式方程，解之经检验即可得出结论.【详解】(1) 关于x的一元二次方程 x2

28、+(2k+3) x+k2=0有两个不相等的实数根，. = (2k+3) 2-4k2>0, 一 3解得：k>- 一 ；4(2) . Xi、X2是方程 x2+ (2k+3) x+k2=0 的实数根,Xi+X2= - 2k - 3, xix2=k2,11xi x22k 3= 1x1 x2x1x2k解得：k1=3, k2= - 1,经检验，k=3, k2=-1都是原分式方程的根，一.3又.k> -,4k=3 .【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记 当>。时，方程有,11两个不相等的实数根；(2)根据根与系数的关系结合 二1找出关于k的分式方程

29、.x1 x226. (1)见解析；(2)m=-2.【解析】【分析】(1)方程有两个不等的实数根说明。，代入求解m范围，再利用根的公式分别写出含有m的两根表达式，相乘即可证明；(2)将等式两边同时平方去掉绝对值，再运用韦达定理将 x1和x2用含有m的代数式表示，最后求解m的值即可.【详解】解：1 关于x的一元二次方程x2 2x m 2 0有两个不等的实数根 为和x2,所以& ( 2)2 4 m 2 4m 4 0根据求根公式x11 J m 1 , x2 1 vm1x1x2 1 (jm1)2 m 2;2根据根与系数的关系得 X1 X2 2, X1X2 m 2,X x22,.,、2 (x1 x

30、2)4 ,2, , (x x2)4x x2 4 ,4 4 m 24,解得m 2.【点睛】第一问中不可直接用韦达定理直接得到结论，需要用公式法进行证明；第二问中，若去绝对值并分类讨论，再运用公式法进行求解，则解题过程较为复杂， 运用平方的非负性可直接去绝对值，再运用韦达定理即可轻松求解.21 .27. 1 k 1 ； 2 y 比 k -k 2要大 2【解析】【分析】(1)先计算判别式的值得到根据题意得= k2+ 8 >0,根据判别式的意义得到k为任意实3数，方程有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得x + x2 = 3k, x1?冶=-6,则根据题意彳#到2?3k> -6 ,然

31、后解不等式即可；(2)先化简y得到y=- 1k,再利用求差法比较大小：用 y减去-k2+1k+2得到 22y- (-k2+ 1k+ 2) = - 1k + k2- 1 k-2 ,配方得(k- 1 ) 2-,然后根据 k> 2 比较大小. 22224【详解】解：1根据题意得A k2 4 12k2 8 0,33所以k为任意实数，方程有两个不相等的实数根，x1 x2 3k , x1 x26,-k 2要大.理由如下:23k1 ,y k ,629119191 99. y k2 -k2kk2 k 2 k2 k 2 (k )2,22224k2,21y比 k2 -k 2要大.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw。的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2,则x1 + x2= - b , x1?x2=-.也考查了根的判别式.aa28. (1)证明见解析；(2) 7.【解析】分析：(1)先计算 =m2-4 (m-2) =m2-4m+8,配方得到 = (m-2) 2+4,由于(m- 2)2 >0,则(m - 2) 2+4>0,即4> 0,即可得到无论 m取何值，该方程总有两个不相等的实(2)利用根与系数的关系，即可求解.详解：(1) /A =m2 -4X 1 x (m