旦德林双球模型定义后的“椭圆的标准方程”的教学

1、2015 年 2 n名室荟萃鬻江苏省无锡市吴宝莹数学名师工作室旦德林双球模型定义后的“椭的标准方程”的教学高中版牛了我692015 年 2 n名室荟萃鬻高中版牛了我692015 年 2 n名室荟萃鬻江苏省锡山高级中学吴宝莹高中版牛了我692015 年 2 n名室荟萃鬻高中版牛了我692015 年 2 n名室荟萃鬻“椭圆的标准方程”是解析儿何中【员I锥曲线的起始 课多次被选为国家、省、山评优课的课题.新教材的设 i I思路遵循了椭岡发展的历史:公元前3 i比纪阿波罗尼 奥斯（zXpolh.nius,约公元前262年约公元前190年）在 圆锥曲线论中采用平面截对顶的圆锥得到捕圆，并由 多个命题导出

2、MR的两个焦半径之和等于常数这-性 质.17世纪荷兰数学家舒腾（F.van.Schooten, 16151660） 利用 m 的两个焦半径之和等于常数这-性质.给出椭 R的画法.直到1822年比利时数学家口徳林（G.P. Dandelin. 17941847）利用双球模別总结出椭|员1的定义 新教材中第二肖课才是椭圆的标准方程但在实际教学 中（包括国家、省、市评优课）由于大部分老师不习惯新 教材的设i卜思路往往还是沿袭III教材的做法把橢闘 的标准方程和椭圆的宦义安排任-弋课上，报刊上发农 的仃X文章大多也是把二者放在一起下ifll就谈谈按 照新教材的设计思路11徳林収球模型定义后的“橢闘 的

3、标准方程”的教学的儿点体会，以飨读者.一、形成认知冲突，驱动探求欲望17批纪荷兰数学家舒腌的椭岡的画法（用于两个焦 半能之和等于常数）是在把I员1压扁变成“椭圆”之后总结 出來的教师用儿何画板再现这一历史过程.直观地可 以看岀鬪用扁后的曲线上任一点到两个定点人、佗的更 离的和始终等于同一个常数（大于IFfJ ）根据椭闘的圧 义鬪压扁后的曲线应当是椭圆.但这只是儿何直观验 证冇失严谨性需要从代数意义I：的严格证明.那么又 如何证明呢？现有的知识解决不f 这就引起认知冲突. 驱动学生进-步探求的欲望引导学生用代数的方法研 究儿何问题这恰恰是解析几何的本质持征！联想类比 岡的研究过程为J'研

4、究圜的性质就塑建立岡的方程. 而岡的方程实际上就是岡上任一点的坐标（xO）«p.t.y 的关系，又因为坐标是存在于坐标系屮的所以rr先要 建工坐标系.于是求曲线方程的一般步骤就自然浮出水 面：建系|u>|设点I 列式 u>|化简I 证明|然后按照上述步骤推导椭岡的标准方程，直人本*p 的車点与难点.二、教学中“突兀点的处理数学教学追求合理顺畅. 数学概念的合理性、数学公 式的来龙去脉、为什么要引 人某个参数、怎样引人才不显“突兀”、怎样引入力顺接学生认知的“浪近发展区”等 这些问题祁值得我们注意.一方血通过计算机模拟将 闘压扁成椭圆的演示（如图I 圆心一分为二，苗条匝栓

5、的半径分裂成两条焦半径J"：jMF2）,为学生推导椭 岡力程中加的引入作了认识上的准备这要比教材中立 接设出IMXI+IMFJ乜浚自然的多,避免了这个“突兀 点”.另一方血，如图2,当点M 运动到椭圆的上顶点时，在 RlA.WOA；中 IM 码 I*, IO£l=c, 所以/rMO"卩.令bH, 这里引人参数简化了计算， 更'R要的是参数厶具有确切的儿何息义：线段的氏 （椭圆的屮心到I.顶点的距离）这样的教学就比较合理 顺畅不显得突兀.三、努力提炼数学思想方法適过引导学生参与探索活动.帮助学生捉炼和应用 数学知识本身所隐含的数学思想方法.1转化与化归思想将

6、 MFt I+I.I/F, 1=21 坐标化为 V（.r+<- ）-+y2 + V（x-e）W =2«.是儿何形式向代数形式的转化；将 V（x+c ）*+/ +）+/ =2a化成椭闘的标准方程是化高中版牛了我692015 年 2 n名室荟萃鬻高中版牛了我692015年2月数坛在线,$名室荟萃繁为简的过程就是转化与化U I思想的应用.2数形结合思想通过探求椭岡的标准方程从代数层面上严谨证明 “圆压扁变成的曲线是椭圆”是典型的“以数解形” 即几 何何题代数化比如.第-次平方后，从a2-cx=</V(.t-c)V到("I 疋)承巧的等价性,是因为MG)是椭圆上任 一点

7、，从图形上看x W«，乂c<“,从 |fijf.x<n:,(r-cx>().所以 第二次两边平方后是等价的这也为说明以方程(r Ik =1的解(X,)为坐标的点祁在椭闘上扌除了知识障碍.再 者肿P5VTE7变形为»亠其几<raxc何意义是椭同I:任意一点到定点的距离与它到定直线 的距离之比是一个常数2 这就是以后要学习的“側関 的第二從义” 前后贯通为今后的教学埋下伏笔同时 也解决了“桶圆的第二定义”的突兀.这些都是数形结合 的另一方面一“以形助数”.3. 分类讨论思想教材例加勺变式:若一个椭鬪经过(20)、|+ 两点，求该椭鬪的标准方程.不能确定焦

8、点的位置.不妨就分焦点在轴上两 种情况讨论，是很自然的想法也是很好的方法.当焦点在轴上时,设楠鬪的标准方程为A=i.(a>b>0).由题意可知："则:厂所以椭國的3 1 .心 1 +7T=hI a 4/r标准方程为£.+)l同理町判断焦点在丁轴I：时不符合4题意.这电用到的就是分类讨论的思想，当然教师还可以 引导学生分析引起讨论的原因为r避免讨论.可设成/ 和/项的分母不分大小的椭鬪的方程即or ir0, ”>0,加X “),甚至进一步设椭圆的方程为px2+qf= 1 (p>0询>0 ,p # G,这样就有一定的灵活性避免了讨论. 大大简化解题

9、过程.很好地体现了数学的简洁之美. 同时培养了学生粘益求衲的艮好行为习惯.4. 方程的思憊实际h.匕述分类讨论中用到的待定系数法就是方 程思想的应用.另外引导学生在VCr+c ) W + V(.v-r )2+r =2/两边同乘以冇理化因子V(-r+c )-+/ - V(a-c )*+/ ；得到 V(.t+c )*+)- - V(x-c )-+/ =,把 v(心尸+计和7(w )*芒看作两个未知数.通过解方 程(组)，解出其中一个，再平方化简得到椭圆的标准方 程也是方程思想的应用.数学思想方法是数学知识的稱龄.是知识转化为能 力的桥梁在数学课堂教学中右意识地提炼和运用数 学思.也方法值得每一位数

10、学教师认真关注.四、注意发展学生的数学理性思维数学是思维的体操.这甲的思维主要指理件思维. 一般认为数学理性思维主要包括三个方面.(1) 从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的 问题(存在牲、唯一性、不变性、充妥性)；(2) 运用归纳抽象、演绎证明、运算求解、空间想象、 直觉肺想等思维方式分析和思考问题；(3) 运用数学语言进行表述和交流.其一,上文屮捉到的“以数解形”与“以形助数”就是 从数和形的角度观察爭物提出冇数学特点的问题的貝 体体现其二，整个标准方程的推导化简过程.既是01纳抽 線又是演绎推理尤其在教学时不拘泥于教材屮的椭 関标准方程的推导方法.上述右理化的方法以及把 /(x+c

11、)2+y2 + VIx-c* )2+y* =2u 看 成 Vlx+c )2+y2 9a.成等差数列,设经整体V(.t-c )*+) =a+d,处理，消去参最d后,可得(a2 "+咛=aW)这些教 学处理方法很好地培并了学牛.思维的灵活性与发散性.“第一次平方后从a2-cx=<i/(x-c )+/ 到(«2-c2).?+ 严乳)等价吗？为什么? ”“椭圆上的点的坐标都满 足方程+卓1吗？反之以方程4+=1的解(“)为 ar b“Zr坐标的点都在椭圆上吗？”“/rwV(A-f )>r变形后 冇什么儿何意义？ ”等这些追问与思考.无不体现了数学 理性思维的严谨性与深刻

12、性.英三，围绕标准方程的推导展开的师生、生生之间 的对话显然是数学语靑的表述和交流.所右这些，都体 现了对数学理性思维的要求.五、努力体现数学的文化价值数学作为文化的-部分直录根本的特征是:它表 达了一种勇于探索的梢神这种探索梢神将不斯促进2015年2月2015年2月70 牛了我7高中版2015 年 2 n解法探究鬻探寻高中数学解题中的“灵感”江苏省泗洪中学穆婷婷高中版牛了我7712015 年 2 n解法探究鬻高中版牛了我7712015 年 2 n解法探究鬻0J1 C知方程组将也2代入原方程组，可得唯一的-组解解题教学是高中数学课程教学的咆耍组成部分之 一,在进行数学解题的过程q >.能

13、够右效地理解和深化数 学阜木知识熟练学握处理问题的基木技能可以说解题 是直接了解学生学习悄况的一个窗11新课改实施以来. 越來越注咆学生解题能力的提升.如何实现奇效解题是 一线教师探究的水恒话题.从心理学角度来看思维町以 比作解题活动展仃效的解题策略是在思维屮形成的.思 维的创造性持征离不丿灵感，灵感在高中数学解题中起 到举足轻匝的作用.笔者从自身教学实践出发在本文屮 E点阐述如何引导学生获取解题U 的灵感，从I耐是升学 生有效解题的能力提髙课敢教学的效益.一、以问题为开端，创设合理情境，探寻数 学解题“灵感”教疗心理学理论表明：问题是思维的出发点和推动 学牛能力发展的添加剂问题悄境的创设能够

14、有效激发 学生求知的好奇心，进I何形成合理的思维动向，在新的 情境中获取“灵感"实现疑难问题的合理转化.丫：|)+吐m存在唯一的实数解.试求实数k的取值范围.解析：根据题设中方程组的特征若(如为)满足该 方程组则(-XoO-0)也能满足此方程组由于题中方程组 有唯一的实数解则2=0.令(O.yo)为方程组唯一的实数解则 W+1 )-)"0卄1,将*=0代人原方程组冋得到三组解不符合题意;皿则Z高中版牛了我7712015 年 2 n解法探究鬻高中版牛了我7712015 年 2 n解法探究鬻人类的患想解枚.便人成为題完全、頃丰富、更右力琏的 人为此中学数学教学必须充分发掘数学的

15、文化教育 功能.这方课通过引导学生推导标准方程.努力促使教 学、学习、研究三者同步协调和谐发展.这一过程对初学 椭|则的学生来说仃一定的闲难.但是经过口己不畏闲难 的努力与探索欣赏到数学的和谐之美、简洁之美可以 帮助学生体会追求真理的纵辛以及成功后的愉悦以此 培养学的探索精神.逐步形成良好的个性品质，而这 正是数学文化价值的真谥.新课程的一个鲜明持点是以学生的发展为本关注 学生思维的最近发展区注朮知识的发生、发展过程的 揭示41导通过学生參申，自主探究.发现知识,习得知 识.处在学4：潜能的开发、创新意识和探索发现能力的 培屛.本修课住这方血作"j益的探索.这卩课的教学内 容是在学T

16、岡的方程等知识的展础I一进行研究 的类比圆的方程的建V.过程.探求椭闖的标准方程.这 是对学生思维辰近发展区的右意关注.另外整m课以 “再现定义一亲身感知一动手推导一简乐应用“为主线 将问题逐一展丿F.椭関标准方程的推导由学生自行完 成.课堂小结由师生共同定善.这既是对学习主体的充 分尊帀使学久获得亲历知识工氏发展的体验又是培 养学生自我参与意识和探索发现能力、开发学牛潜能的 有效方式.诚然.在数学教学中获得结果持别是获得准确的 结果是朮耍的但从某种意义上说让学生经历和体验 获取知识的过程要比获得结果更贞要.这泉因为这种获 取知识的过程不仅是知识工氏、发展的动态延伸更是 开川智慧、发展帮力、培养潜能、提髙素质的源泉.止如 一次旅行不必人在意H的地亚要的是不要错过沿途 的风杲！参考文献：1. 陈锋，王芳.基于旦德林双球模型的橢囿定义教学 J.数学教学,20