均值不等式教学设计

1、课题：基本不等式阿孕科目：数学教学对象：高一学生课时：1课时提供者：李文毅单位：大同四中一、教学内容分析本节课基本不等式是数学必修五（人教A版）第三章第四节的内容，主要内容是 通过现实问题进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几 何平均数的定义基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推 导论证的基础上进行公式的推 广并学会应用均值不等式是这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题 都起到了工具性作用。有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与 研究，起到承前启后的作用二、教学目标1、知识与技能：通过“从生活中发现

2、问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后 延拓问题”五个环节使学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解 决简单的最值问题2、过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过 问题设计，模型转化，类比猜想实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多 个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提咼学生综合创新与创造能力.3、情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用 数学解决生 活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜

3、悦.三、学习者特征分析1、从学生知识层面看：学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程 中，会解决最简单的关于不等式的问题2、从学生素质层面看：我所教的两个班都是文科平行班，大部分学生数学基础较差；学生的理解能 力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；但学生有学好数学的自信心，有定的学习积极性。四、教学策略选择与设计本节课主要采用启发引导式的教学策略通过设计问题引出课题，通过启发引导解决问题、总结 问题、论证问题、延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力在教学中指导 学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力五、教学重点及难点s重点：用均值不等式

4、求解最值问题的思路和基本方法。难点：均值不等式的使用条件，合理地应用均值不等式.六、教学过程学生活动教师发下讲义让学生思考并提出问题：在正方形ABCD中设计意图教师活动一、情景激疑如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车, 代表中国人民热情好客 你能 在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗角三角形的两条直角边长为a, b那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的而积的和是将图中的“风车”抽象成如图,1通过引导，让学生主动地解决定理的证,正方形的面积为.由明，并形成猜想 于4个直角三角形的面积正方形的面证明的严谨思

5、维。 积，我们就得到了 一个不等式:2、通过提问进一步加2 2a b 2ab.当直角三角形变为等腰直深对基木不等式的理解，明确不等式成立的条件角三角形，即a二b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有二.引入概念学生分组讨论，合作交流，小小组讨论，提岀多种2 2a b 2ab，当且仅当a b时，等号成立.特别的，如果& 0, b 0,我们用施、 少分别代替&、b ,可得a h 2剧,通常我们把上式写作：阿 ab (a>0, b>0)语言叙述：两个正实数的算术平均值不小于它的几何平均值教师设问：如何证明呢查缺补漏以便使所有的学生都能形成一个完备的知识体系宽思路，培养团结协

6、作的习惯三、深化理解在图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a, BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE连接AD BD.结论：基木不等式后邑空几何意义是2“半径不小于半弦”评述：1如果把* »看作是正数&、b的等差中2项，届看作是正数&、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项2在数学中，我们称涎为a、b的算术平2均数，称拓b为a、b的几何平均数本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数教师提问：问题一：图中CO, CD的长度是多少；问题二：CO与CD的大小关系如何问题三、等号何时成立(让学生分组讨论，然后

7、提问)通过展示均值不 等式的几何直观解 释，培养学生的数形 的意识，并使抽象的 问题更加直观、形 象，使学生的理解一 进步加深四、变形应用2a1a h让学生对定理形式进行变形使学生能更灵活的应用公式a2 R五、定理巩固练习：下列结论中，错用均值不等式作 依据的是：A x, y r,则1丫 2y x1B a为正数，贝y i a a4a10c ls X logx 412xz 3 ccJ2E sinx+最小值为4.sH n x提问学生，并让学生指出错误，最后让学生总结三条，一正、二定、三相等，并板书.让学生注意定理的应用条件，培养严谨的数学思维.六、变形应用V = (T > 0)问题一：求函数

8、工的最小值P : 一工+丄(X吒0)变式1:求函数疋的最大值.v :=八+丄。王2) 变式2:求函数工的最小值.变式3:求函数y - J(x 0)的最小 X入值.问题二：求函数py(l-Q(0 W1)的最大值.变式4：求函数卩- X。2x) (° <x <%>的最大值.变式5：求函数'丿(的最大值问19X > 0,> 0” 一 一 =1题三：已知“ -v，求函数*6的最小值.逐步引导学生进行变式，变式是一种探索冋题的方法在问题二中引导学生一题多解学生正确理解均值定理 应用的条件“正、定、 等”，掌握均值定理的 正用及拓展应用通过变 式使学生对试题进行深 层的探索，激发兴趣， 培养冃匕力.进一步体会均值不等式应用的“定”的条件， 逐步学会均值定理的逆 用和变用.同一道数学题，从不同的角度思考可得 到多种解题思路，广泛 寻求多种解法，有助于 拓宽解题思路，发展观