数量积坐标表示学习教案

1、数量积坐标数量积坐标(zubio)表示表示第一页，共23页。一、复习一、复习(fx)(fx)练练习习: :）（则，夹角为与若。bababa60, 1| , 2|1.1.）（夹角为与则，若bababa,2| , 1|22.2.3.3.）（垂直，则与若baba4.4.5.5.|92|）（，则若；）（，则若aaaaaa).();();(,ijjijjiiyxji则相同的两个单位向量轴方向轴、分别为与，若cos|baba的夹角）与是（其中ba|cosbabaaaaaaa|2；0baba1 。450 4 3 1 1 0 第1页/共23页第二页，共23页。二 ( 1, 3),(1,1),.abab 已知与

2、 的夹角为求cos我们学过两向量的和与差可以转化为我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标它们相应的坐标(zubio)(zubio)来运算来运算, ,那那么怎样用么怎样用cos|a ba b 根据以前的知识，.aba b 和 的坐标表示呢？第2页/共23页第三页，共23页。三、新课学习三、新课学习1.平面向量数量平面向量数量(shling)积的坐标表积的坐标表示示如图，如图， 是是x轴上的单位向量，轴上的单位向量， 是是y轴上轴上的单位向量，的单位向量，ijcosa bab 由于，所以x ijy o B(x2,y2) abA(x1,y1) ii jjijji . . . 1 1 0 第3

3、页/共23页第四页，共23页。下面研究下面研究(ynji)怎怎样用样用. baba的坐标表示和设两个非零向量设两个非零向量 =(x1,y1), =(x2,y2),则则ab1122,ax iy jbx iy j，112222121221121212.() ()a bx iy jx iy jx x ix y i jx y i jy y jx xy y 第4页/共23页第五页，共23页。故两个向量的数量积等于它们故两个向量的数量积等于它们(t men)对对应坐标的乘积的和应坐标的乘积的和.即即ijx o B(x2,y2) A(x1,y1) aby .2121yyxxba 根据平面向量数量积的坐标表示

4、根据平面向量数量积的坐标表示(biosh)，向量的数量积的运算可转化为，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算向量的坐标运算.第5页/共23页第六页，共23页。；或aaaaaa2)1(1)向量的模2.向量的模和两点间的距离(jl)公式2（）两点间的距离公式22222( , ),ax yaxyaxy设则或.1122121222,)(,) .,A x yABxxyyB xy （设则（、第6页/共23页第七页，共23页。0baba（1）垂直）垂直(chuzh)11221212,),(,),0.axybxyabx xy y设设（则则3.两向量(xingling)垂直和平行的坐标表示0/),(),12

5、212211yxyxbayxbyxa则（设（2）平行）平行(pngxng)第7页/共23页第八页，共23页。四、基本技能的形成四、基本技能的形成(xngchng)与巩固与巩固1.(3,2),(1, 1),abab例 已知求向量 与 的夹角的余弦值.22223 1226cos.26321ab 解：设向量 与 的夹角为 ，则 （-1） （-1）2626ab即向量 与 夹角的余弦值为.第8页/共23页第九页，共23页。22222222 , OABCOBCAOAOBCABC 证明:由得:222222, OABCOABCOBCAOCABOABC 已知 为所在平面内一点且满足：证明 为垂心。 +-=+-

6、OA OBOA OBCA BCCA BC 即：（） （）（） （） +-OA OBBABA CA BC 所以：（）（） +-+=0 OA OB CA BCBA 所以：（） 0, OC BAOCBA 即：所以： OBCAOABC 同理可证：，OABC所以 为垂心得证。第9页/共23页第十页，共23页。应用向量知识证明平面几何(pngminjh)有关定理例3、证明直径(zhjng)所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知 O，AB为直径，C为 O上任意一点。求证ACB=90分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 。CBAC 0CBAC2222baba022rr即 ，ACB=900CBAC思考(s

7、ko)：能否用向量坐标形式证明？ 解：设AO=a， OC=bACab 则， 由此可得： AC CB=(a+b)(a-b)? CBab CB第10页/共23页第十一页，共23页。应用向量知识证明(zhngmng)平面几何有关定理例4、证明平行四边(sbin)形四边(sbin)平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：设 ，则 baDBbaACaDAbBC;,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。bADaAB ,)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC2222222

8、22222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB第11页/共23页第十二页，共23页。应用(yngyng)向量知识证明三线共点、三点共线例5、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高求证(qizhng)：AD、BE、CF交于一点FABCDEABCDEH分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CHAB，即高CF与CH重合，即CF过点H由此可设aBC bCApCH利用ADBC，BECA，对应(duyng)向量垂直。00)(apabapbBCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0BACH 只须证明0p BA 如何证？第12页/共23页第十三页

9、，共23页。应用向量知识(zh shi)证明三线共点、三点共线例6、如图已知ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，使MQ=CM。求证：P、A、Q三点(sn din)共线ABCNMQP解：设bACaAB ,则aAMbAN21,21由此可得abNPBN21baMQCM21baabPANPANPA)(,baabAQMQAMAQ)(,AQPA 即 故有 ，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线AQPA /第13页/共23页第十四页，共23页。应用向量知识证明(zhngmng)等式、求值例7、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，

10、 使点A与M重合(chngh)，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求AEM的面积ABCDMNEF分析(fnx)：如图建立坐标系，设E(e,0)，M(8,4),N是AM的中点，故N(4,2) (8,4)AM AEANEN=(4,2)-(e,0)=(4-e,2)(8,4) (4,2)0AMENe 解得：e=5故AEM的面积为10第14页/共23页第十五页，共23页。应用向量知识证明(zhngmng)等式、求值例8、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合(chngh)，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求AEM的面积ABCDMNEF解：如图建立坐标系，设E(e,0)，

11、由 正方形面积(min j)为64，可得边长为8 由题意可得M(8,4)，N是AM的 中点，故N(4,2) )4 , 8(AMAEANEN=(4,2)-(e,0)=(4-e,2)0)2 ,4()4 , 8(eENAM解得：e=5 即AE=51102AEMSAE BM第15页/共23页第十六页，共23页。应用向量知识证明(zhngmng)等式、求值练习：PQ过OAB的重心(zhngxn)G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：311nm分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分(b fn)点，利 用向量坐标知识进行求解。OABGPQ由PO=mOA, QO=nOB可知：OBnQOO

12、AmPO, O分 的比为 ，O分 的比为PAQB由此可设 由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量 ，得到 m n 的关系。),()0 ,(221yxQxPGQPG/-m -n? ?第16页/共23页第十七页，共23页。应用向量知识(zh shi)证明等式、求值练习：PQ过OAB的重心(zhngxn)G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：311nmOABGPQ证：如图建立坐标系， 设),(),0 ,(),()0 ,(221cbBaAyxQxP所以重心G的坐标为)3,3(cba 由PO=mOA, QO=nOB可知：OBnQOOAmPO,即O分 的比为-m，O

13、分 的比为-n PAQB求得),()0 ,(ncnbQmaP由向量 可得：GQPG/)3,3(cmabaPG)3,3(cncbanbGQ0)3(3)3)(3(banbccncmaba化简得：311nm第17页/共23页第十八页，共23页。2222|cos31 124cos.23114mnm nm n 设向量 与 夹角为 ，因为，从而（-7）（）（-7）124545 .ll所以，即直线 和 的夹角为第18页/共23页第十九页，共23页。练习1：2,.abab 已知（3，2）， （6，9）， 求证131.aba bab，已知（2，2-4）， （1， ）， 求： （1）； （2）与 的夹角 的大小第

14、19页/共23页第二十页，共23页。本本 堂堂 小小 结结理解和应用向量的坐标(zubio)表示公式解决问题：1.数量积的坐标(zubio)表示2121yyxxba2.向量坐标表示(biosh)的求模公式22222,axyaxy或3.平面内两点间的距离公式221221)yyxxAB（4.两向量夹角的余弦222221212121cosyxyxyyxx5.向量垂直的判定02121yyxxba第20页/共23页第二十一页，共23页。 练习练习2：以原点和：以原点和A（5，2）为两个）为两个顶点顶点(dngdin)作等腰直角作等腰直角OAB，B=90，求点，求点B的坐标的坐标.yBAOx.23272723，或，的坐标为答案：B第21页/共23页第二十二页，共23页。