1.2多元复合函数的求导法则(1)ppt课件

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第四节 多元复合函数的求导法则 高等数学（下）高等数学（下）uvxzy求导法则求导法则(链式法则链式法则)如图示如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 高等数学（下）高等数学（下）一、链式法则ufvf 高等数学（下）高等数学（下） ovvzuuzz 证证 xoxvvzxuuzxz, 0 x,xuxu,xvxv,22xvxux 高等数学（下）高等数学（下）.lim0 xvvzxuuzxzxzx注注 该定理可推广到任意的中间变量和任意的该定理可推广到任意的中间变量和任意的自变量的情况自变量的情况. .求导时求导时,

2、 ,要兼顾到每一个中间变量要兼顾到每一个中间变量. .如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz 全导数公式再如再如xududzxz 高等数学（下）高等数学（下）例例 1 设设vezusin ，而而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz . 解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 高等数学（下）高等数学（下）例例 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz. 解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuve

3、tcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 高等数学（下）高等数学（下）注特殊地注特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似 高等数学（下）高等数学（下）都是都是),(yxufz ,xfxz222),(zyxezyxfuyxzsin2xuyu 高等数学（下）高等数学（下） 例例

4、 3 设设),(xyzzyxfw ，f具具有有二二阶阶 连连续续偏偏导导数数，求求xw 和和zxw 2. . 解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 半抽象函数情形半抽象函数情形,1f 12f ,2f 等仍是通过中间变量等仍是通过中间变量u,v是自变量的函数是自变量的函数. 高等数学（下）高等数学（下） zxw2)(21fyzfz ;221zfyzfyzf zf1;1211fxyf zf2;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fx

5、yfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf xw;21fyzf 高等数学（下）高等数学（下）答案答案22xz222121112fyfyf yxz2222231221fyfyxfyx 高等数学（下）高等数学（下）答案答案fyf 242f 高等数学（下）高等数学（下）yx.22222uyuxu),(),(),(Ffyxfu),(Fu ),(yxfuyx11yuxuu代换代换 高等数学（下）高等数学（下）)()(2yuxuu.2222yuxu. 03422222yuyxuxuyxyx31、02u谓之自变量代换谓之自变量代换. 高等数学（下）高等数学（下）全微分形式不变形的实质：全微分

6、形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性 定定理理 2 设设函函数数),(vufz 具具有有连连续续偏偏 导导数数，则则不不论论 是是自自变变量量还还是是中中间间 变变量量，都都有有全全微微分分 dvvzduuzdz ; ;. . vu、 高等数学（下）高等数学（下）dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 证证 当当 是是中中间间变变量量时时，即即),(yxu 及及),

7、(yxv vu、 高等数学（下）高等数学（下）vdvfudufdz22 解解xdxexdyeduyycossin ydyeydxedvxxsincos 高等数学（下）高等数学（下）解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe 高等数学（下）高等数学（下）1 1、链式法则分三种情况）、链式法则分三种情况）2 2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结 高等数学（下）高等数学（下）设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题 高等数学（下）高等数学（下）思考题解答思考题解答不不相相同同.等等式式左左端端的的z是是作作为为一一个个自自变变量量x的的函函数数，而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu ,的的三三元元函函数数， 写写出出来来为为 xxvux