物理竞赛平衡问题ppt课件

1、 稳定平衡稳定平衡O略微偏离原平衡位略微偏离原平衡位置后能回到原位置置后能回到原位置 不稳定平衡不稳定平衡略微偏离原平衡位置略微偏离原平衡位置后不能回到原位置后不能回到原位置 随机平衡随机平衡能在随机位置坚持平衡能在随机位置坚持平衡O对由重力与支持力作用下的平衡对由重力与支持力作用下的平衡 设计一个元过程，即想象对物体施一微扰，使之稍偏离原平衡位置* * 或从能量角度调查受扰动后物体重心位置的高度变或从能量角度调查受扰动后物体重心位置的高度变化，根据重心是升高、降低还是不变来判别物体本来化，根据重心是升高、降低还是不变来判别物体本来是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡；是稳定平衡、不稳定平衡或是

2、随遇平衡； 为比较扰动前后物体的受力与态势，要作出直观明晰的图示；由于对微扰元过程作的是“低细节的描画，故常需运用合理的近似这一数学处置手段 或从受力角度调查受扰动后重力作用点的侧移量，或从受力角度调查受扰动后重力作用点的侧移量，即重力对扰动后新支点的力臂，从而判别物体原来的即重力对扰动后新支点的力臂，从而判别物体原来的平衡态属于哪一种平衡态属于哪一种* *依问题的详细情况，择简而从依问题的详细情况，择简而从* * 如下图，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲如下图，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为率半径分别为a、b且长轴的长度为且长轴的长度为l，蛋圆的一端可以在，蛋圆的一端可以在不光滑的程度面上

3、稳定直立求蛋尖的一端可以在一个不光滑的程度面上稳定直立求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直立，碗的半径半球形的碗内稳定地直立，碗的半径r需满足的条件需满足的条件 调查质心位置的高度变化调查质心位置的高度变化蛋圆在程度面处稳定平衡蛋圆在程度面处稳定平衡,应满足应满足BAbaClRRla cos2C MNMCM + + 蛋尖在球形碗内处稳定平衡蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足应满足微扰情况下微扰情况下、为小量，为小量， cos2RrR + 1cos2rR 22sin2R 222R bRrRb 整理得整理得1bbR 1bbla 碗的半径碗的半径 b laabrl MNO-M CAC B蛋尖在球

4、形碗内处稳定平衡蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足应满足NMNMNMrb 2 2 2NM cosCM sinC M 调查质心位置侧移量调查质心位置侧移量蛋处于稳定平衡的条件是蛋处于稳定平衡的条件是: :重力对扰动后新支重力对扰动后新支点点N N的力矩可使蛋前往原位，即满足的力矩可使蛋前往原位，即满足 sinC MMN Rr rRrb bRrRb 1bbR 1bbla 碗的半径碗的半径 b laabrl 222201sincossinab 01sin 0 0 0 0重力对重力对 的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置!O 不稳定平衡不稳定平衡abxx 笔不会因滚动而破

5、坏平衡笔不会因滚动而破坏平衡!B1BOA Ca过笔质心的横截过笔质心的横截面面 sin60COa cos60OBa 0tancosOBCO 临界形状下临界形状下重力作用线重力作用线127 飞檐问题：如下图，建造屋顶边缘时，用长飞檐问题：如下图，建造屋顶边缘时，用长度为度为L的长方形砖块，一块压着下面一块并伸出砖长的的长方形砖块，一块压着下面一块并伸出砖长的1/8，假设，假设不用水泥粘紧，那么最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒？这样不用水泥粘紧，那么最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒？这样的几层砖最多可使屋檐的几层砖最多可使屋檐“飞出多长？飞出多长？ GL假设共堆假设共堆n层、每块伸出层、每块伸出1

6、/8的砖而恰未的砖而恰未翻倒翻倒8L8L8L 18LLLn 全全C全全nG728L 7n 123n最上最上1 1层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒, ,最多伸出最多伸出2L最上最上2 2层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒, ,最多伸出最多伸出2G4L3G最上最上3 3层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒, ,最多伸出最多伸出2L24LL G262GLxGGL x6L246LLL G以此类推，以此类推，7层砖的最大伸出层砖的最大伸出max111124614LL 如下图，一矩形导电线圈可绕其中心轴如下图，一矩形导电线圈可绕其中心轴O转转动它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的作用下，线框开场转动它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的

7、作用下，线框开场转动，最后静止的平面位置是图中的动，最后静止的平面位置是图中的AOBBBOCBODBO不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡 图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线结合图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线结合起来，问每一种情况各属哪种平衡？起来，问每一种情况各属哪种平衡？ 随机平衡随机平衡稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡给两小球线绳系一致扰动给两小球线绳系一致扰动, ,从受力角度调从受力角度调查受扰动后查受扰动后, ,两小球重力沿绳方向力的合两小球重力沿绳方向力的合力指向力指向, ,从而判别平衡种类从而判别平衡种类! !llmLm 如

8、下图安装，它是由一个长如下图安装，它是由一个长L的木钉、从木钉上端向左右斜伸出的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下垂的、长为两个下垂的、长为l的细木杆，以及在木杆的末端装有质量同为的细木杆，以及在木杆的末端装有质量同为m的小重球而组成木钉的小重球而组成木钉及木杆的质量可忽略，木杆与木钉间夹角为及木杆的质量可忽略，木杆与木钉间夹角为，此安装放在硬质木柱上，那么，此安装放在硬质木柱上，那么l、L、间间该当满足该当满足_关系才干使木钉由垂直位置略微偏斜后，此安装只能以关系才干使木钉由垂直位置略微偏斜后，此安装只能以O点为点为支点摆动而不致倾倒支点摆动而不致倾倒 为满足题意即系统处于稳定平衡为满足题意

9、即系统处于稳定平衡, ,给给系一致扰动系一致扰动, , 两小球重力对两小球重力对O O的力矩的力矩应能使系统回到原位应能使系统回到原位! !原平衡位置时原平衡位置时coslL 2mg受一微扰后受一微扰后能回到原位能回到原位coslL 如下图如下图,长度为长度为2L、粗细均匀的杆，一端靠在铅直的墙上，而另、粗细均匀的杆，一端靠在铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上为了使杆即使没有摩擦仍能在恣意位置处于平衡，试写出这一端靠在不动的光滑面上为了使杆即使没有摩擦仍能在恣意位置处于平衡，试写出这个外表的横截线的函数表达式个外表的横截线的函数表达式(x) 杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内杆总是位于垂直于

10、墙面的竖直平面内 为满足题意即杆处于随遇平衡为满足题意即杆处于随遇平衡, ,应使杆应使杆的重心一直在的重心一直在x x轴轴! !OyxC(0,)(x,y) 22222xyL + +外表的横截线满足外表的横截线满足 222212xyLL + +该外表为椭球面的一部分该外表为椭球面的一部分 如下图如下图,两个质量分别为两个质量分别为m1和和m2的小环能沿着一光滑的轻绳滑的小环能沿着一光滑的轻绳滑动绳的两端固定于直杆的两端，杆与程度线成角度动绳的两端固定于直杆的两端，杆与程度线成角度在此杆上又套一轻小环，绳穿过在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使轻环并使m1、m2在其两边设环与直杆的接触是光滑的，当

11、系统平衡时，在其两边设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时， 直杆与轻环直杆与轻环两边的绳夹角为两边的绳夹角为 试证：试证： 2112tantanmmmm m2m1同一光滑绳上张力处处一样设为同一光滑绳上张力处处一样设为FT,FT,m1gFT两小环平衡两小环平衡, ,分析受力如图分析受力如图: :m2gFT 90 90 由力矢量三角形由力矢量三角形: : 122cos 902cos 90Tm gm gF 12sinsinmm 21sin cossin cossin cossin cosmm 2112tantanmmmm 一根质量为一根质量为m的均匀杆，长为的均匀杆，长为L，处于竖直的位置，一端

12、可绕固，处于竖直的位置，一端可绕固定的程度轴转动有两根程度轻弹簧，劲度系数一样，把杆的上端拴住，如下图，问弹定的程度轴转动有两根程度轻弹簧，劲度系数一样，把杆的上端拴住，如下图，问弹簧的劲度系数簧的劲度系数k为何值时才干使杆处于稳定平衡？为何值时才干使杆处于稳定平衡？ 为使杆处于稳定平衡为使杆处于稳定平衡, ,给杆一扰动给杆一扰动, ,弹弹簧拉力对簧拉力对O O的力矩应大于杆重力矩的力矩应大于杆重力矩! !mg FT即即22TLFLmg 其中其中 TFkL 得得4mgkL FT 如下图如下图,一块厚一块厚d的木板位于半径为的木板位于半径为R的圆柱上，的圆柱上，板的重心刚好在圆柱的轴上方板与圆柱

13、的一根摩擦因数为板的重心刚好在圆柱的轴上方板与圆柱的一根摩擦因数为试试求板可以处于稳定平衡形状的条件求板可以处于稳定平衡形状的条件 RCC 令板从原平衡位置偏转一小角度令板从原平衡位置偏转一小角度 M M板处于稳定平衡条件是重心升高板处于稳定平衡条件是重心升高! !2dR 2dcosR 以圆柱轴为参照以圆柱轴为参照, ,原板重心高度原板重心高度coscos2dR 扰动后重心高度扰动后重心高度sinR 应有应有cossincos22ddRRR 21 2sinsin222ddRRR 2sin2sin22dRR 思索到思索到 很很小小, , s s i i n n2dR 且且1tan 如下图如下图,

14、用均匀资料制成的浮子，具有两个半径用均匀资料制成的浮子，具有两个半径均为均为R的球冠围成的外形，像一粒豆子浮子的厚度的球冠围成的外形，像一粒豆子浮子的厚度h2R，质量，质量为为m1沿浮子对称轴向浮子插入一细辐条，穿过整个厚度辐条沿浮子对称轴向浮子插入一细辐条，穿过整个厚度辐条长长lh，质量为，质量为m2当将浮子辐条向上地浸于水中时，浮子只需当将浮子辐条向上地浸于水中时，浮子只需少部分没于水中浮子的形状是稳定的吗？少部分没于水中浮子的形状是稳定的吗？ 先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点重心位置：先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点重心位置：Cm1gm2g2l2hx2121222mlhlhm

15、 g xm gxxmm 由由Cl21222Cmhlhmml 故故浮子偏转小角度浮子偏转小角度21222CmhL hlRmm = =当当1222mLRmRh = =当当浮子为不稳定平衡浮子为不稳定平衡! !1222mLRmRh 当当浮子为稳定平衡浮子为稳定平衡! !CCClR若若 CClR若若= =ClR若若 OCmmhR 3 2300g21 6 84g D 有一长为有一长为0.2 m、截面积为、截面积为2 cm2的均匀细棒，密度为的均匀细棒，密度为5102 kg/m3 在细棒下端钉上一小铁片不计体积，让细棒竖立在水面，假设细棒显在细棒下端钉上一小铁片不计体积，让细棒竖立在水面，假设细棒显露水面

16、部分的长为露水面部分的长为0.02 m，那么小铁片质量为多少？，那么小铁片质量为多少？ 不拿去浸在水中的小铁片，在上端要截去多少长度，恰好使上端面与水面不拿去浸在水中的小铁片，在上端要截去多少长度，恰好使上端面与水面齐平？齐平？ 要使细棒竖在水面是稳定平衡，下端小铁片至少要多重要使细棒竖在水面是稳定平衡，下端小铁片至少要多重?分析此时受力：分析此时受力：CMLSg mg0.9LSg 水水0.9LSgmgLSg 水水 0.9mLS 水水 340.90.5100.2 2 10 kg 16g 此时态势为：此时态势为：mgC11L Sg 1L Sg 水水11L SgmgL Sg 水水 1mLS 水水3

17、3416 10m=0.5 102 1016cm 4 cmL 系统为稳定平衡条件是浮心高于合重心系统为稳定平衡条件是浮心高于合重心! !22MLMmMmS 水水即即 340.020.020.10.022 102 10mm min8gmC总C总C总C总不稳定平衡不稳定平衡随机平衡随机平衡稳定平衡稳定平衡ab 两个一样长方体处于图示位置问当两个一样长方体处于图示位置问当角为多少时它们才角为多少时它们才能够平衡？长方体与程度面间摩擦因数为能够平衡？长方体与程度面间摩擦因数为，长方体长，长方体长b宽宽a长方体间无摩擦长方体间无摩擦 分析受力：分析受力：G0Ff G0fG F 0fG 1tanab 系统能

18、够平衡条件是系统能够平衡条件是在此条件下在此条件下, ,对右物块由力矩平衡对右物块由力矩平衡 sincoscos2cosbGF bG b G sin coscos sin2cos cos tan2tan 1tan2ab 在此条件下在此条件下, ,对左物块由力矩平衡对左物块由力矩平衡cos2aGF b sinsin 122tanab 111tanmin tan2,2tanaaabbb sin2cosbG 在相互垂直的斜面上放置一匀质杆在相互垂直的斜面上放置一匀质杆AB，设各接触面的摩，设各接触面的摩擦角均为擦角均为tg,求平衡时杆求平衡时杆AB与斜面与斜面AO交角交角的范围知斜面的范围知斜面BO与程度与程度面交角为面交角为 ABO三力杆平衡时的几何位置特点三力杆平衡时的几何位置特点: :不稳定平衡不稳定平衡杆两端约束力与重力三力汇交杆两端约束力与重力三力汇交当当=时时GABOfA=0 fB=0结论结论:1O平衡时杆平衡时杆AB与斜面与斜面AO交角交角的范围为的范围为 22 当当 时时GOABG-O 90,O AG O AG 90AO G AO G 90902 O GAGO GAG = = 2 2 杆平衡位置与左斜面的夹角杆平衡位置与左斜面的夹角当当 时时GOGAB 90,O AG