第三章 数字滤波器的原理与设计

1、大连理工大学出版社DSP原理与实训指导原理与实训指导新世纪高职高专教材编审委员会组编新世纪高职高专教材编审委员会组编主编喻宗泉主编喻宗泉大连理工大学出版社第三章第三章 数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.1数字数字信号在系统中的处理信号在系统中的处理3.2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.4自适应滤波器自适应滤波器3.5数字滤波器的数字滤波器的MATLAB实现实现大连理工大学出版社3 3.1.1数字信号在系统中的处理数字信号在系统中的处理 信号处理信号处理就是对信号（观测数据）进行所需要的变换，就是对信号（

2、观测数据）进行所需要的变换，或按照预定的规则进行简单或复杂的数学运算，使之便于或按照预定的规则进行简单或复杂的数学运算，使之便于分析、识别和加以利用。信号处理一般包括：变换、滤波、分析、识别和加以利用。信号处理一般包括：变换、滤波、检测、频谱分析、调制解调和编码解码等。检测、频谱分析、调制解调和编码解码等。 信号处理按信号的标识和处理形式分为信号处理按信号的标识和处理形式分为“模拟信号处理模拟信号处理”和和“数字信号处理数字信号处理”。 模拟信号处理模拟信号处理采用模拟设备对模拟信号进行处理。模拟采用模拟设备对模拟信号进行处理。模拟信号处理的优点是它具有实时性和简易性，但由于模拟系统信号处理的

3、优点是它具有实时性和简易性，但由于模拟系统的局限性，不能进行复杂的信号处理任务。的局限性，不能进行复杂的信号处理任务。 数字信号处理数字信号处理是利用专用或通用数字系统（包括计算是利用专用或通用数字系统（包括计算机）以二进制计算的方式对数字信号进行处理。数字信号机）以二进制计算的方式对数字信号进行处理。数字信号处理系统具有很多优点，可以完成复杂的处理任务。处理系统具有很多优点，可以完成复杂的处理任务。大连理工大学出版社3 3.1.1数字信号在系统中的处理数字信号在系统中的处理用数字方法处理模拟信号的过程用数字方法处理模拟信号的过程 Ha(s)称作前置模拟低通滤波器，它的作用是对模拟信号称作前置

4、模拟低通滤波器，它的作用是对模拟信号 进行预处理，改善信号的带限性能，有利于后续的采样，进行预处理，改善信号的带限性能，有利于后续的采样，具有抗混叠作用；具有抗混叠作用；)(txa 采样的作用是对滤波后的模拟信号采样的作用是对滤波后的模拟信号x(t)进行自变量进行自变量t的离的离散化，散化，T为均匀采样间隔；为均匀采样间隔； ADC是模数转换器，是对采样后的信号进行幅度二进制是模数转换器，是对采样后的信号进行幅度二进制量化，使信号变成离散的二进制数据量化，使信号变成离散的二进制数据x(n)；大连理工大学出版社3 3.1.1数字信号在系统中的处理数字信号在系统中的处理 H(z)表示一个表示一个D

5、SP系统，它包含具体的数字信号处理算系统，它包含具体的数字信号处理算法，完成对法，完成对x(n)的处理；的处理； DAC是数模转换器，它把处理后的数字信号是数模转换器，它把处理后的数字信号y(n) 转换成转换成模拟信号模拟信号y(t)，若系统不要求输出是模拟信号，这一环节可，若系统不要求输出是模拟信号，这一环节可以省去；以省去； Hr(s)表示一个模拟低通滤波器，它的作用是平滑表示一个模拟低通滤波器，它的作用是平滑DAC的的输出，滤除输出，滤除DAC引起的高频噪声。引起的高频噪声。 在这个典型的处理系统中，在这个典型的处理系统中，H(z)是核心环节，数字信号是核心环节，数字信号处理研究的主要任

6、务是在理论上建立一套描述处理研究的主要任务是在理论上建立一套描述x(n)，y(n)，H(z)特性的方法和算法，并研究在工程上如何实现这一系统。特性的方法和算法，并研究在工程上如何实现这一系统。大连理工大学出版社3 3.1.1数字信号在系统中的处理数字信号在系统中的处理 数字滤波器数字滤波器 ( Digital filter, DF )是指输入输出都是数字信是指输入输出都是数字信号的滤波器，它的功能是将输入的数字信号通过一定的运算号的滤波器，它的功能是将输入的数字信号通过一定的运算关系变为所需要的输出数字信号。描述输入关系变为所需要的输出数字信号。描述输入x(n)和输出和输出y(n)的的关系有以

7、下关系有以下4 4种方法：种方法： NkMkkkknxbknyanxTny10 差分方程：差分方程： 时域卷积：时域卷积： nhnxny*其中其中h(n)是系统的单位脉冲响应。是系统的单位脉冲响应。大连理工大学出版社3 3.1.1数字信号在系统中的处理数字信号在系统中的处理 zHzXZzYZny11 复频域的复频域的z变换变换其中其中H(z)是系统的系统函数，且是系统的系统函数，且 NkkkMkkkzazbzXzYzH101 频域的离散傅立叶变换：频域的离散傅立叶变换： kHkXIDEFkYIDEFny其中其中H(k)是系统的频域采样函数。是系统的频域采样函数。大连理工大学出版社3 3.1.1

8、数字信号在系统中的处理数字信号在系统中的处理 用框图或信号流程图可以表示基本运算单元和数字滤波器用框图或信号流程图可以表示基本运算单元和数字滤波器的运算结构。如图的运算结构。如图3-2所示，用方框图表示明显直观，用流程所示，用方框图表示明显直观，用流程图表示则更加简单方便。以二阶数字滤波器图表示则更加简单方便。以二阶数字滤波器 nxbnyanyany02121为例，其方框图如图为例，其方框图如图3-3所示。所示。图图3-2 基本运算的方框图表示和流图表示基本运算的方框图表示和流图表示图图3-3 二阶数字滤波器的方框图二阶数字滤波器的方框图大连理工大学出版社3 3.1.1数字信号在系统中的处理数

9、字信号在系统中的处理 线性信号流图本质上与方框图表示法等效，只是符号上的线性信号流图本质上与方框图表示法等效，只是符号上的差异。图差异。图3-3-3 3的二阶数字滤波器的等效信号图结构如图的二阶数字滤波器的等效信号图结构如图3-43-4所示。所示。图图3-4 图图3-3的二阶数字滤波器的信号流图结构的二阶数字滤波器的信号流图结构 图中图中1，2，3，4，5称为网络节点，称为网络节点，x(n)处为输入节点或处为输入节点或源节点，表示注入流图的外部输入或信号源，源节点，表示注入流图的外部输入或信号源，y(n)处为输出节处为输出节点或称阱节点。节点之间用有向支路相连接，每个节点可以有点或称阱节点。节

10、点之间用有向支路相连接，每个节点可以有几条输入支路和几条输出支路，任一节点的节点值等于它的所几条输入支路和几条输出支路，任一节点的节点值等于它的所有输入支路的信号之和。有输入支路的信号之和。大连理工大学出版社3 3.1.1数字信号在系统中的处理数字信号在系统中的处理 输入支路的信号值等于这一支路起点处节点信号值乘以支输入支路的信号值等于这一支路起点处节点信号值乘以支路上的传输系数。如果支路上不标传输系数值，则认为其传输路上的传输系数。如果支路上不标传输系数值，则认为其传输 系数为系数为1 1，而延迟支路则用延迟算子，而延迟支路则用延迟算子z-1表示，它表示单位延时。表示，它表示单位延时。由此可

11、得到图由此可得到图3-43-4的各节点值为的各节点值为 nynw2 1) 1(23nynwnw 2) 1(34nynwnw 21)()(2142315nyanyanwanwanw 21210501nyanyanxbnwnxbnw大连理工大学出版社3 3.1.1数字信号在系统中的处理数字信号在系统中的处理 源节点没有输入支路，阱节点没有输出支路。如果某节点源节点没有输入支路，阱节点没有输出支路。如果某节点有一个输入、一个或多个输出，则此节点相当于分支节点；如有一个输入、一个或多个输出，则此节点相当于分支节点；如果某节点有两个或两个以上的输入，则此节点相当于相加器。果某节点有两个或两个以上的输入，

12、则此节点相当于相加器。因而节点因而节点2 2，3 3，4 4相当于两个分支点，节点相当于两个分支点，节点1 1，5 5相当于相加器。相当于相加器。由此可知，对分支节点由此可知，对分支节点2 2有有 )()(12nwnwny从而得出从而得出 21210nyanyanxbny 这样我们就能清楚地看出运算步骤和运算结构。不同的这样我们就能清楚地看出运算步骤和运算结构。不同的运算结构所需的存储单元及乘法次数是不同的，前者影响复运算结构所需的存储单元及乘法次数是不同的，前者影响复杂性，后者影响运算速度。此外，在有限精度（有限字长）杂性，后者影响运算速度。此外，在有限精度（有限字长）情况下，不同运算结构的

13、误差、稳定性是不同的。情况下，不同运算结构的误差、稳定性是不同的。大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计 利用模拟滤波器来设计利用模拟滤波器来设计IIR数字滤波器是最常见的方法。数字滤波器是最常见的方法。3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 模拟滤波器设计中的主要设计指标是通带截止频率模拟滤波器设计中的主要设计指标是通带截止频率 、阻带截止频率阻带截止频率 、3dB3dB截止频率截止频率 、通带最大衰减、通带最大衰减 等。等。需要由这些指标求出低通模拟滤波器的系数函数需要由这些指标求出低通模拟滤波器的系数函数H(s)，使，使H(s)

14、的幅度平方函数满足给定指标。的幅度平方函数满足给定指标。 在设计模拟滤波器时在设计模拟滤波器时, ,往往选择一些经典模拟滤波器形往往选择一些经典模拟滤波器形式，常见的有巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波、贝塞尔滤波式，常见的有巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波、贝塞尔滤波器、椭圆函数滤波器等。器、椭圆函数滤波器等。pscp大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 巴特沃兹滤波器巴特沃兹滤波器1巴特沃兹低通滤波器的幅度平方函数巴特沃兹低通滤波器的幅度平方函数 的定义如下：的定义如下：2jHNcjH2211式中，式

15、中，N为巴特沃兹滤波器的阶数，为巴特沃兹滤波器的阶数， 为为3dB截至频率。截至频率。c大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计巴特沃兹低通滤波器的幅度特性如图巴特沃兹低通滤波器的幅度特性如图3-5所示所示图图3-5 巴特沃兹低通滤波器的幅度特性巴特沃兹低通滤波器的幅度特性3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 巴特沃兹滤波器巴特沃兹滤波器1大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 巴特沃兹滤波器巴特沃兹滤波器1 从图可以看出，巴特沃兹低通滤

16、波器的幅度特性与阶数从图可以看出，巴特沃兹低通滤波器的幅度特性与阶数N N的关系。阶数越大，通带内幅度响应越平坦，阻带内衰减越大，的关系。阶数越大，通带内幅度响应越平坦，阻带内衰减越大，过渡带带宽越窄，滤波器越接近理想低通滤波器的幅频特性。过渡带带宽越窄，滤波器越接近理想低通滤波器的幅频特性。所以，只要确定了阶数所以，只要确定了阶数N N，则滤波器的幅频特性就确定了。，则滤波器的幅频特性就确定了。大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 巴特沃兹滤波器巴特沃兹滤波器1当当 时，则时，则ppNcppj

17、H1 . 02210113-16滤波器的衰减函数为：滤波器的衰减函数为： NcjHjYjpp22221lg101lg10X10lglg10出入3-15大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 巴特沃兹滤波器巴特沃兹滤波器1由式由式3-15和和3-16可分别推出可分别推出1101 . 02pNcp3-171101 . 02sNcs3-18大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 巴特沃兹滤波器巴特沃兹滤波器

18、1用式用式3-17和式和式3-18相除可得相除可得1101101 . 01 . 02spNsp3-19由式由式3-19可求出阶数的公式为可求出阶数的公式为spspNlg110110lg1 . 01 . 03-20大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 巴特沃兹滤波器巴特沃兹滤波器1式式3-17、3-18还可以变形成为：还可以变形成为：Npcp211 . 01103-21Nscs211 . 01103-22 若设计指标中未给出通带截止频率若设计指标中未给出通带截止频率 ，则可由上述两式，则可由上述两

19、式来近似，由式来近似，由式3-213-21确定的确定的 具有较好的阻带指标，由式具有较好的阻带指标，由式3-223-22确定的确定的 具有较好的通带指标。具有较好的通带指标。ccc大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器2切比雪夫滤波器的幅度平方函数切比雪夫滤波器的幅度平方函数 定义如下：定义如下：2jHcNCjH222113-23式中，式中，N为切比雪夫滤波器的阶数，为切比雪夫滤波器的阶数， 为通带截止频率，为通带截止频率， 称称为波纹系数，为波纹系数， 称为切比雪夫

20、多项式称为切比雪夫多项式c xCN NarcchxchxNxCNarccoscos11 x x3-24大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器2式式3-24中中1ln2xxarcchx当当N=0时，时， ；当；当N=1时，时， ；当当N=2时，时， ；当；当N=3时，时， ， ，由此可推出切比雪夫多项式，由此可推出切比雪夫多项式的递推公式为：的递推公式为： 10 xC xxC1 1222xxC xxxC3433 xCxxCxCNNN1123-25大连理工大学出版社3 3

21、. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器2N阶切比雪夫滤波器的幅度平方函数图形如图阶切比雪夫滤波器的幅度平方函数图形如图3-6所示所示图图3-6 N阶切比雪夫滤波器的幅度平方函数图形阶切比雪夫滤波器的幅度平方函数图形大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器2 右图是切比雪夫滤波右图是切比雪夫滤波器与巴特沃兹滤波器的幅器与巴特沃兹滤波器的幅度平方函数图形比较。从度平方函数

22、图形比较。从图中可以看出，在达到相图中可以看出，在达到相同指标的条件下，切比雪同指标的条件下，切比雪夫滤波器可以降低滤波器夫滤波器可以降低滤波器的阶数的阶数N N，从而减少设计，从而减少设计的复杂度，并且切比雪夫的复杂度，并且切比雪夫滤波器的过渡带比巴特沃滤波器的过渡带比巴特沃兹滤波器要窄。兹滤波器要窄。大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器2切比雪夫滤波器幅度平方函数的指标参数切比雪夫滤波器幅度平方函数的指标参数 在切比雪夫滤波在切比雪夫滤波器幅度平方函数的定器幅度

23、平方函数的定义式中，有义式中，有3 3个待求个待求参数：波纹系数参数：波纹系数 、滤波器阶数滤波器阶数N N、通带、通带截止频率截止频率 ，如图，如图3-83-8所示：所示：c大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器2滤波器的衰减函数为滤波器的衰减函数为 cNCjHjYjpp222221lg101lg10X10lglg10出入3-26当当 时，有时，有ppcpNpCjH1 . 022210113-27大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤

24、波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器2当当 时，有时，有sscsNpCjH1 . 022210113-28由式由式3-26、式、式3-27整理可得整理可得1101 . 02pcpNC3-291101 . 02sNcsNC3-30大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器2将将 代入，可得代入，可得 xCN110coscos1 . 0122pcpN3-311101 . 0122scsNchch3-32 是通带截止频

25、率，一般指定是通带截止频率，一般指定 ，代入式，代入式3-31、式、式3-32，则，则cpc大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器21101 . 02p3-331101 . 0122spsNchch3-34由式由式3-33可以确定波纹系数可以确定波纹系数 的值为的值为 。式。式3-32与式与式3-34相除，可得相除，可得11 . 010p1101101 . 01 . 012pspsNchch3-35大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤

26、波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器2该滤波器阶数该滤波器阶数N的值可由式的值可由式3-35确定确定psarccharcchNps1101101 . 01 . 03-36大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.1模拟滤波器的设计简介模拟滤波器的设计简介 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器2c 上述推导可以求出切比雪夫滤波器的阶数上述推导可以求出切比雪夫滤波器的阶数N N，通带截，通带截止频率止频率 ，波纹函数，波纹函数 ，从而求出幅度平方函数，从而求出幅度平方函数cNpCjH222113

27、-37大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.2IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 利用模拟滤波器来设计利用模拟滤波器来设计IIR数字滤波器，就是从已知的模数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器系统函数拟滤波器系统函数 设计设计IIR数字滤波器系统函数数字滤波器系统函数 ，也就是从也就是从S平面到平面到Z平面的变换，这个变换通常是复变函数的平面的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换。这个变换需要满足以下两个基本要求：映射变换。这个变换需要满足以下两个基本要求： sHa zH 1 的频响应该模拟的频响应该模拟 的频响，即将的频响，即将S平面

28、的平面的虚轴虚轴 映射到映射到Z平面的单位圆平面的单位圆 上。上。 zH sHajje 2 因果稳定的因果稳定的 通过映射后的通过映射后的 仍应该因果仍应该因果稳定，即稳定，即S平面的左半平面平面的左半平面 应该被映像到应该被映像到Z平面单位平面单位圆以内，即圆以内，即 。 sHa zH 0Res1z 由由Ha(s)变换成变换成H(z)有两种常用方法：脉冲响应不变法和有两种常用方法：脉冲响应不变法和双线性变换法。双线性变换法。大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.2IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 用脉冲响应不变法设计数字滤波器，就

29、是设计数字滤波用脉冲响应不变法设计数字滤波器，就是设计数字滤波器的单位采样响应器的单位采样响应h(n)可以完全模仿模拟滤波器单位脉冲响可以完全模仿模拟滤波器单位脉冲响应应ha(t)，即单位脉冲响应不变。用脉冲响应不变法设计数字，即单位脉冲响应不变。用脉冲响应不变法设计数字滤波器的思路如下：滤波器的思路如下： zHnhthsHZTaILTa理想抽样 按滤波器的技术指标设计出模拟滤波器，求出模拟滤波器按滤波器的技术指标设计出模拟滤波器，求出模拟滤波器的系统函数的系统函数Ha(s) ，对，对Ha(s)进行拉氏进行拉氏反反变换，求出变换，求出ha(t)，再对，再对ha(t)进行抽样求出进行抽样求出h(

30、n)，最后对，最后对h(n)进行进行Z变换，求出变换，求出H(z)，从，从而完成而完成Ha(s)到到H(z)的转换。的转换。大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.2IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 为简化分析，设模拟滤波器为简化分析，设模拟滤波器Ha(s) 仅有仅有N N个一阶极点，则个一阶极点，则Ha(s) 可用部分分式的形式表示为可用部分分式的形式表示为Ak为幅度为幅度 NkkkassAsH13-38式中式中sk是是Ha(s) 的极点，对的极点，对Ha(s) 进行反拉氏变换得到对应模拟进行反拉氏变换得到对应模拟滤波器的单位采样响

31、应为：滤波器的单位采样响应为： NktskatueAthk13-39大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.2IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计u(t)为单位阶跃响应，对为单位阶跃响应，对ha(t)进行等间隔抽样，抽样间隔为进行等间隔抽样，抽样间隔为T，得到数字滤波器的单位脉冲响应为：得到数字滤波器的单位脉冲响应为： NknTskanTueAnThnhk13-40对对h(n)进行进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数为：变换，得到数字滤波器的系统函数为： NkNkkkTskzzAzeAnhZTzHk1111113-41式中，式中， 代表代

32、表Z平面的极点。平面的极点。Tskkez 大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.2IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 将式将式3-38与式与式3-41进行比较，可以看出进行比较，可以看出Ha(s)在在S平面上的极点平面上的极点sk映射到映射到H(z)在在Z平面上的极点变成平面上的极点变成 。Tskkez 由极点的映射关系进行推广，可以证明，由极点的映射关系进行推广，可以证明，S平面到平面到Z平面平面的映射关系为的映射关系为sTez 3-42Z变换到拉氏变换的关系为变换到拉氏变换的关系为 sHzHaezsT3-43设设 、 ，则，则js

33、jrez TjTjeere3-44大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.2IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计从而可以得到从而可以得到Ter3-45T3-46从以上两式可以得到：从以上两式可以得到：01r01r01r 上面的关系式说明，上面的关系式说明，S平面的虚轴平面的虚轴 映像到映像到Z平平面单位圆面单位圆 ，S平面的左半平面平面的左半平面 映像到映像到Z平面平面单位圆内单位圆内 ，S平面的右半平面平面的右半平面 映像到映像到Z平面平面单位圆外单位圆外 ，如图，如图3-9所示。这也说明，如果所示。这也说明，如果 因因果稳定，转换后得

34、到的果稳定，转换后得到的 仍然是因果稳定的。仍然是因果稳定的。01r01r01r sHa zH大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.2IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计图图3-9 S平面到平面到Z平面的映射关系平面的映射关系大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.2IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 需要说明的是，需要说明的是， 是一个周期函数，即是一个周期函数，即sTez M为任意整数为任意整数TMjTTjTsTTeeeee)(2 当当 不变，模拟频率不变，模拟频率 变化变化

35、 的整数倍时，的整数倍时，S平面到平面到Z平面的映射值不变，即将平面的映射值不变，即将S平面沿着平面沿着 轴分割成一条条宽轴分割成一条条宽为为 的水平带，的水平带，S平面的每条水平带都按照平面的每条水平带都按照 的映射的映射关系对应着整个关系对应着整个Z平面，如图平面，如图3-10所示。所示。T2jT2sTez 大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.2IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计图图3-10 S平面的每条水平带面都映射着整个平面的每条水平带面都映射着整个Z平面平面大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数

36、字滤波器的原理与设计3.2.2IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 模拟信号模拟信号ha(t)的拉氏变换的拉氏变换ha(s)与与ha(t)的抽样信号的抽样信号hs(t)拉氏拉氏变换变换hs(s)关系如下：关系如下： ksasjksHTsH1式中，式中， 。因此，可得。因此，可得到到Tfss22 ksasezjksHTsHzHsT13-48 式式3-48表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，首先将为数字滤波器时，首先将ha(s)以以 为周期进行周期延拓，然后为周期进行周期延拓，然后再由映射关系再由映射关系 ，映射到，映射到Z平面上。平面

37、上。ssTez 大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.2IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 由式由式3-48还可以得到，数字滤波器频率特性与模拟还可以得到，数字滤波器频率特性与模拟滤波器频率特性为滤波器频率特性为ksajjkjHTeH13-49式式3-49表明数字滤波器的频率特性是模拟滤波器频率特表明数字滤波器的频率特性是模拟滤波器频率特性以性以 为周期进行的周期延拓。为周期进行的周期延拓。s大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.2IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 若模拟滤

38、波器的频率特性是带限的，即若模拟滤波器的频率特性是带限的，即0jHaT则数字滤波器可以无失真的重现模拟滤波器的频率特性。则数字滤波器可以无失真的重现模拟滤波器的频率特性。kajTjHTeH1但实际滤波器不可能都是带限的，因此总会出现混迭现象。但实际滤波器不可能都是带限的，因此总会出现混迭现象。大连理工大学出版社3 3. .2 2IIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.2.2IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计a为非带限的模拟滤波器的频率特性为非带限的模拟滤波器的频率特性b用脉冲响应不变法设计的数字滤波器产生的频率混迭现象用脉冲响应不变法设计的数字滤波器产生的频率混迭现象大连理工

39、大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理 设设FIR数字滤波器的单位采样响应数字滤波器的单位采样响应h(n)为为N点有序长序列点有序长序列（0nN-1），其系统函数为：），其系统函数为： 10NnnznhzH（3-50）频率响应：频率响应： jjjNnjjnjezjeHeeHeeHenhzHeHj10（3-51）其中，其中， 称为频率响应的幅度函数，为数字频称为频率响应的幅度函数，为数字频率率 的实函数，可以取负值；的实函数，可以取负值； 为相位函数。为相位函数。 jeHH 大连理工大学出版社3 3. .3

40、3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理 由式（由式（3.51）可知，）可知，H(z)是一个是一个z-1的的N-1阶多项式，即该阶多项式，即该FIR数字滤波器是数字滤波器是N-1阶的，它在有限阶的，它在有限z平面（平面（0|z| ）上）上没有极点，只有没有极点，只有N-1个零点，其极点全部集中在个零点，其极点全部集中在z平面的原点平面的原点z=0处，为处，为N-1阶重极点，故阶重极点，故FIR数字滤波器必然稳定。稳定和数字滤波器必然稳定。稳定和线性是线性是FIR数字滤波器突出的优点。数字滤波器突出的优点。 若采用与若采用与IIR数字滤

41、波器相同的形式，则数字滤波器相同的形式，则N-1阶阶FIR数字滤数字滤波器的差分方程和系统函数的一般形式可以写成波器的差分方程和系统函数的一般形式可以写成 10Nmmmnxbny（3-52）大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理 101122110.NmmmNNzbzbzbzbbzXzYzH（3-53） 将式将式（3-52）、（）、（3-53）与式（）与式（3-50）比较可知，比较可知，FIR数数字滤波器的差分方程和系统函数的系数正是其单位脉冲响应字滤波器的差分方程和系统函数的系数正是其单位脉冲响应

42、h(n)的序列值，即的序列值，即 （0mN-1），所以其差分方程），所以其差分方程可以写成可以写成 mhbm nxnhmnxmhnyNm*10（3-54） 式式（3-50）和（）和（3-54）是描述是描述N-1阶阶FIR数字滤波器经常数字滤波器经常采用的方式。采用的方式。大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理(1)(1)线性相位特性线性相位特性 设设 为为h(n)的傅立叶变换，的傅立叶变换，h(n)的长度为的长度为N，即，即jeH 10NnnjjenheH（3-55） 当当h(n)为实序列时，可将为

43、实序列时，可将 表示为表示为 jeH jjeHeH（3-56） 式中，式中， 称为幅度特性，称为幅度特性， 称为相位特性。这里称为相位特性。这里 与与 不同，不同， 是幅频特性，而是幅频特性，而 是一个可正、是一个可正、可负的实函数。可负的实函数。 H HjeHjeH H大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理(1)(1)线性相位特性线性相位特性 的线性相位是指的线性相位是指 是是 的线性函数，则的线性函数，则 jeH 0（3-57） （3-58） 式中，式中， 、 为常数。为常数。0 dd 一般称满

44、足式（一般称满足式（3-57）的是第一类线性相位，满足式）的是第一类线性相位，满足式（3-58）的是第二类线性相位。）的是第二类线性相位。 以上两式的群时延都是常数，即以上两式的群时延都是常数，即 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理(1)(1)线性相位特性线性相位特性 第一类线性相位条件是第一类线性相位条件是h(n)为实序列，且关于为实序列，且关于n=(N-1)/2是是偶对称，即偶对称，即 1nNhnh（3-60） 第二类线性相位条件是第二类线性相位条件是h(n)为实序列，且关于为实序列，且关于

45、n=(N-1)/2是是奇对称，即奇对称，即 1nNhnh（3-61） 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理(1)(1)线性相位特性线性相位特性 h(n)对对(N-1)/2偶对称偶对称 系统的频响为系统的频响为 jNnNjezjeHNnnhezHeHj21cos1021其中其中 1021cosNnNnnhH 21N（3-67） （3-68） 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理(1)(1)线性相位特性线

46、性相位特性 h(n)对对(N-1)/2奇对称奇对称 21sin10NnnhHNn 221N（3-73） （3-74） 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 第一类线性相位滤波器第一类线性相位滤波器 1nNhnh，N为奇数。如图为奇数。如图3-12所示为所示为N=7的情况。的情况。 FIR第一类线性相位滤波器的第一类线性相位滤波器的h(n)示意图示意图 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数

47、字滤波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 第一类线性相位滤波器幅度函数为第一类线性相位滤波器幅度函数为 nnaHNncos210（3-77） 其中其中 nNhna212 210Nha大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 第二类线性相位滤波器第二类线性相位滤波器 1nNhnh，N为偶数。如图为偶数。如图3-13所示为所示为N=6的情况。的情况。 图图3-13 FIR第二类线性相位滤波器的第二类线性相位滤波器的h(n)示意图示意图 大连理工大学出版社3 3. .3 3FI

48、R数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 21cos21nnbHNn其中其中 122Nnhnb第二类线性相位滤波器幅度函数为第二类线性相位滤波器幅度函数为 （3-80） 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 第三类线性相位滤波器第三类线性相位滤波器 1nNhnh，N为奇数。如图为奇数。如图3-14所示为所示为N=7的情况。的情况。图图3-14 FIR第三类线性相位滤波器的第三类线性相位滤波

49、器的h(n)示意图示意图 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 nncHNnsin211第三类线性相位滤波器幅度函数为第三类线性相位滤波器幅度函数为 （3-84） 其中其中 nNhnc212大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 第四类线性相位滤波器第四类线性相位滤波器 1nNhnh，N为偶数。如图为偶数。如图3-15所示为所示为N=6的情况。的情

50、况。图图3-15 FIR第四类线性相位滤波器的第四类线性相位滤波器的h(n)示意图示意图 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.1FIR数字滤波器的原理数字滤波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 21sin21nndHNn第三类线性相位滤波器幅度函数为第三类线性相位滤波器幅度函数为其中其中 122Nnhnd（3-87） 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.2FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 窗函数设计基本方法窗函数设计基本方法1 通常希望得到的是理想滤波器，其频响用通常希望

51、得到的是理想滤波器，其频响用 表示，表示，对应的单位脉冲响应为对应的单位脉冲响应为 jdeH deeHnhjnjdd21（n=,-1,0,1,） 理想滤波器的理想滤波器的hd(n)一般是非因果、无限时宽一般是非因果、无限时宽的的IIR系统。系统。FIR数字滤波器的窗函数设计是要用一个因果、有限时宽数字滤波器的窗函数设计是要用一个因果、有限时宽的的h (n)去逼近去逼近hd(n) ，从而使所设计的系统频响，从而使所设计的系统频响 逼逼近近 。 jeHjdeH大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.2FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 窗函

52、数设计基本方法窗函数设计基本方法1以如图以如图3-16所示理想低通为例，其频响特性为所示理想低通为例，其频响特性为 0jajdeeHcc图图3-16 理想低通频响特性理想低通频响特性 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.2FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 窗函数设计基本方法窗函数设计基本方法1所对应的理想低通的单位脉冲响应所对应的理想低通的单位脉冲响应 deenhjnjadcc21ccanSa图图3-17 理想低通的脉冲响应理想低通的脉冲响应 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3

53、.3.2FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 窗函数设计基本方法窗函数设计基本方法1 如图如图3-17所示，是以所示，是以 为中心偶对称、无限长的非因果为中心偶对称、无限长的非因果序列，这是一个物理不可实现的系统。如果用一个有限长因序列，这是一个物理不可实现的系统。如果用一个有限长因果序列去逼近它，最简单的方法是直接截取它的一段作果序列去逼近它，最简单的方法是直接截取它的一段作h(n)。为了保证为了保证h(n)的因果性，取的因果性，取hd(n)的的0 N-1一段，这可以由乘一段，这可以由乘以矩形序列以矩形序列RN(n)实现；为了保证系统的线性相位，实现；为了保证系统的线性相位，h(n)要满要

54、满足偶对称条件，足偶对称条件， 应该是应该是h(n)的对称中心，则取的对称中心，则取 。所以有所以有 21 N 21NnRnhnhNd（3-89） 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.2FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 窗函数设计基本方法窗函数设计基本方法1 从上式所表示的从上式所表示的h(n)与与hd(n)关系，是关系，是hd(n)乘以矩形截短函乘以矩形截短函数，可以认为是通过一个矩形数，可以认为是通过一个矩形“窗窗”看到的看到的hd(n) 。如果。如果hd(n)乘乘以不同形式的截短函数，以不同形式的截短函数，h (n)就是通过

55、不同形式的就是通过不同形式的“窗窗”看到看到的的hd(n) 。这种用。这种用hd(n)乘以不同截短函数设计乘以不同截短函数设计FIR滤波器的方法滤波器的方法即为窗函数设计法。在窗函数设计中即为窗函数设计法。在窗函数设计中h (n)与与hd (n)的关系可记成的关系可记成 nnhnhd其中其中 00nn01nN其他大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.2FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 矩形窗矩形窗 矩形窗函数为矩形窗函数为 01nRnN其他10Nn（3-90） 显然显然 nNn1加矩形窗函数后系统的单位脉冲响应为加矩形窗函数后系统的

56、单位脉冲响应为 0nhnhd其他10Nn（3-91） 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.2FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 矩形窗函数的频率特性矩形窗函数的频率特性 jeW jRNjjjNNnjnjeWeNeeeeW21102sin2sin11（3-92） 其中其中 2sin2sinNWR21 N（3-93） （3-94） 由式（由式（3-93）可见，）可见， 是是 的幅度函数，的幅度函数， 是是 的相位函数。由式（的相位函数。由式（3-94）可见矩形窗函数可以调整）可见矩形窗函数可以调整的参数只有截短长度的参数只有截短长度N。

57、 RWjeWjeW大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.2FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 加矩形窗函数后加矩形窗函数后FIR系统的频响系统的频响 jeH 已知理想滤波器的频响为已知理想滤波器的频响为 （ ），），矩形窗函数的频响为矩形窗函数的频响为 ，加矩形窗函数后，加矩形窗函数后FIR数字滤波器的频响数字滤波器的频响 是二者的卷积，即是二者的卷积，即 jjdeeHcjjRjeeWeWjeHdeWeHeHjjdj21 jRjeHdWecc21其中其中 dWHccR21（3-95） （3-96） 大连理工大学出版社3 3. .3 3

58、FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.2FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计(2) (2) 其他窗其他窗 三角窗或巴特利特（三角窗或巴特利特（Bartlett）窗）窗 12212NnNnn121210NnNNn（3-97） 三角窗可以认为是由两个三角窗可以认为是由两个(N-1)/2矩形窗卷积形成的窗函数。矩形窗卷积形成的窗函数。 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.2FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 升余弦窗或汉宁（升余弦窗或汉宁（Hanning）窗）窗 nRnNnN12cos121（3-98） 利用傅立叶变

59、换的调制特性以及矩形窗的频响，升余弦窗函利用傅立叶变换的调制特性以及矩形窗的频响，升余弦窗函数的幅度函数可以表示为数的幅度函数可以表示为 121225. 05 . 0NWNWWWRRR若若N 1，则上式可改写为，则上式可改写为 NWNWWWRRR2225. 05 . 0由次可知，此时幅度函数为三项频谱之和。由次可知，此时幅度函数为三项频谱之和。 大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.2FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 改进升余弦窗或哈明（改进升余弦窗或哈明（Hamming）窗）窗 nRNnN12cos46. 054. 0（3-101

60、） 与升余弦窗函数相比仅系数作了一定的调整。同样利用与升余弦窗函数相比仅系数作了一定的调整。同样利用傅立叶变换的调制特性以及矩形窗的频响，改进的升余弦窗傅立叶变换的调制特性以及矩形窗的频响，改进的升余弦窗的幅度函数可以表示为的幅度函数可以表示为 121223. 054. 0NWNWWnRRR若若N 1，则，则 NWNWWnRRR2223. 054. 0大连理工大学出版社3 3. .3 3FIR数字滤波器的原理与设计数字滤波器的原理与设计3.3.2FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 二阶升余弦窗或布莱克曼（二阶升余弦窗或布莱克曼（Blackman）窗）窗 其表达式为其表达式为 nRNnNnn