概率课件34随机变量的函数

1、随机变量的函数随机变量的函数May-223.4 随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布 问题的由来问题的由来 很多实际问题中需要研究很多实际问题中需要研究以随机变量为自以随机变量为自变量的函数变量的函数. 一般，若一般，若(X1 , X2 , Xn)是已知联合分布是已知联合分布的的n维随机变量，则维随机变量，则),(21nXXXhY 仍是随机变量，其中仍是随机变量，其中随机变量的函数随机变量的函数May-22.),(21元连续函数元连续函数是是nxxxhn问题问题如何确定随机变量如何确定随机变量Y的分布？的分布？ 基本思路基本思路 希望通过希望通过(X1 ,X2 ,Xn)的的已知已知分布

2、去确定分布去确定Y 的分布的分布.例例3.4.1例例3.4.2一一. .离散型随机变量的函数及其分布律离散型随机变量的函数及其分布律,.2 , 1, ipxXPii 离散型离散型随机变量随机变量X 的分布律为的分布律为随机变量的函数随机变量的函数May-22Y =g( X ) 是随机变量是随机变量, 则则 ()jjP YyP g Xy)(jiijyxgxS 其中其中,.2 , 1, jxXPjiSxi满足满足 g( xi ) =yj 的全体的全体 xi 构成构成的集合的集合随机变量的函数随机变量的函数May-22Z =G( X ,Y ) 是随机变量是随机变量, , 则则),(kkzYXGPzZ

3、P ),(),(kjijikzyxGyxT 其中其中,.2 , 1,),( kyYxXPkjiTyxji例例 3.4.3二维离散型二维离散型随机变量随机变量(X , Y )的联合分布律为的联合分布律为,.2 , 1, ipyYxXPijji随机变量的函数随机变量的函数May-22 定理定理3.4.1 设随机变量设随机变量(X , Y )是离散型随机变是离散型随机变量量, X , Y相互独立相互独立,其分布律分别为其分布律分别为,.2 , 1 , 0)( kkpkXP,.2 , 1 , 0)( rrqrYP则则X+Y 的分布律为的分布律为例例3.4.4 ,.2 , 1 ,)()(0 mkmqkp

4、mYXPmk离散卷离散卷积公式积公式随机变量的函数随机变量的函数May-22结论结论 若若X1, X2 ,Xn相互独立相互独立, ,且且Xi B(1, p)则则 X1+ X2+.+ Xn B(n, p) 反之若反之若 X B(n, p) , 则存在则存在相互独立相互独立的的Xi B(1, p)，使使 X =X1+ X2+.+ Xn一般一般 1）随机变量随机变量X1，X2， ,X n相互独立相互独立；2）具有相同类型的分布具有相同类型的分布； 若若 nkkXY1随机变量的函数随机变量的函数May-22 二项分布具有可加性二项分布具有可加性 泊松分布具有可加性泊松分布具有可加性的分布除参数变化的分

5、布除参数变化, ,而分布类型不变而分布类型不变, ,称分布称分布具有具有可加性可加性. .教材教材P82页例页例3.4.3随机变量的函数随机变量的函数May-22 )()()()(yxgxXYdxxfyXgPyF ., 0;)(),()(其他其他的连续点的连续点yfxFyfYYY二、连续型随机变量的函数及其概率密度二、连续型随机变量的函数及其概率密度 1. 设设X 是连续型随机变量是连续型随机变量, ,若若Y= g(X)也是连也是连续型随机变量，则续型随机变量，则例例3.4.5例例3.4.6随机变量的函数随机变量的函数May-22总结总结 从分布函数定义出发从分布函数定义出发FY (y) =

6、PYy = P g(X)y 求解的关键求解的关键 解决问题解决问题的出发点的出发点将将g(X)y 转换为关于转换为关于 X 的不等式的不等式 当当g(x) 为单调递增函数为单调递增函数时时yx= g 1(y) g(X)y = Xg 1(y) 从而从而 FY (y) = FX g 1(y) 随机变量的函数随机变量的函数May-22当当 g(x) 为单调递减函数为单调递减函数 g(X)y = Xg 1(y) 有有 FY (y) = 1FX g 1(y) 定理定理:设随机变量设随机变量X 具有概率密度具有概率密度fX(x) - x0 (或或g(x)0 ) 则则Y= g(X)是连续型随机变量是连续型随

7、机变量,其概率密度为其概率密度为 .)()(),(),(max(,)(),(min(0)( 的的反反函函数数是是其其中中其其他他xgyyhxbgagbgagyyhyhfyfXY ，随机变量的函数随机变量的函数May-22 2.求二维连续型随机变量求二维连续型随机变量(X , Y) 的函数的函数Z = G (X , Y )的概率密度的概率密度 fz ( z )，一般方法一般方法1）先求出先求出 Z 的分布函数的分布函数 FZ ( Z )；2）对对FZ ( Z )微分得到微分得到 fz ( z )；FZ (z) = P Zz = P G( X, Y )z ),(: ),(),(zyxGyxdxdy

8、yxf例例3.4.7例例3.4.8随机变量的函数随机变量的函数May-22三三. .几种特殊函数的分布几种特殊函数的分布1. Z1 = max (X,Y )， Z2 = min (X ,Y ),max()(1zYXPzFZ ),(,zzFzYzXP 若若 X 与与 Y 相互独立相互独立, ,有有)()()(1zFzFzFYXZ 又若又若 X 与与 Y 有有相同分布相同分布, ,即分布函数都为即分布函数都为F(x), 则则2)()(1zFzFZ 从而从而)()(2)(1zfzFzfZ 随机变量的函数随机变量的函数May-22),min()(2zYzXPzYXPzFZ 或或,zYzXPzYPzXP

9、 思考思考 已推得已推得若若 X 与与Y 相互独立且具有相同分布相互独立且具有相同分布 )(2zfZ见教材见教材P86页例页例3.4.9 ，随机系统的串并联随机系统的串并联.)()(1 2zfzF 随机变量的函数随机变量的函数May-222. .Z = X + Y 的分布的分布 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y)(zYXPzFZ dxdyyxfzyx ),(dydxyxfyz ),(x+y = zxyo做积分变量变换做积分变量变换, ,令令 x = uy随机变量的函数随机变量的函数May-22dyduyyufz ),( zdudyyyuf),(dydxy

10、xfzFyzZ ),()(x = uy由连续型随机变量定义由连续型随机变量定义duufzFzzZ )()(得到公式得到公式dyyyzfzfz ),()(随机变量的函数随机变量的函数May-22类似可得类似可得 )(zfzdxxzxf ),(若随机变量若随机变量X, Y 相互独立，相互独立，则则 )(zfzdyyfyzfYX)()( )(zfzdxxzfxfYX)()( 卷积卷积公式公式 例例 3.4.9正态分布的可加性正态分布的可加性见例见例3.4.11随机变量的函数随机变量的函数May-22解题步骤：解题步骤： 1）在在 XOZ平面上作出平面上作出 f (x , zx) 的非的非零区域零区域

11、 G；2）从区域从区域 G 中确定中确定 f z ( z )非零区间非零区间; ; 3）在在f z ( z )非零区间内，逐段确定非零区间内，逐段确定f z ( z )的表达式；的表达式；4）写出写出 f z ( z )的完整表达式的完整表达式. . 例例 3.4.10随机变量的函数随机变量的函数May-223. .Z = X /Y 的分布的分布 设随机变量设随机变量(X, Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y) zYXPzZF /xyozyx dyyyzfyzfz ),()(证证 . 0,; 0,/yyzxyyzxzyx dxdyzyxyxf /,随机变量的函数随机变量的函数May

12、-22做积分变量变换做积分变量变换, ,令令 x = yu , ,有有 例例 3.4.11dydxyxfdydxyxfzFzyzyZ 00),(),()(dyyyzfyxfz ),()( . 0,; 0,/yyzxyyzxzyxxyozyx 随机变量的函数随机变量的函数May-22 问题问题1 炮击某一目标炮击某一目标O , 已知弹着点已知弹着点(X ,Y )服从二维正态分布服从二维正态分布. 点点( X ,Y ) 与目标与目标O 的距离的距离 22YXZ 服从什么分布服从什么分布? 问题问题2 由统计物理学由统计物理学,气体分子运动速率服气体分子运动速率服从马克斯维尔分布从马克斯维尔分布.

13、. 0, 0;0, 0,)(22324xxexfxx分子运动动能分子运动动能 服从什么分布服从什么分布? ?221mv 随机变量的函数随机变量的函数May-22例例3.4.1 设随机变量设随机变量 X 具有分布律具有分布律求求: Y = 2X 以及以及 Z = sin X 的分布律。的分布律。 解解. 首先由首先由 X 的可能取值确定的可能取值确定 Y 及及 Z 的取的取值值:Y = 2XXZ = sin X1 0 1 0随机变量的函数随机变量的函数May-22得到随机变量函数得到随机变量函数 Y 及及 Z 的分布律为的分布律为:Y PY = yj Z 1 0 1PZ = zk 随机变量的函数

14、随机变量的函数May-22 例例3.4.2 设连续型随机变量设连续型随机变量 X 具有分布具有分布函数函数FX(x)，试求，试求Y=X2 的分布函数的分布函数.)(2yXPyYPyFY 000yyXyPy 0)()(00yyFyFyXX随机变量的函数随机变量的函数May-22 例例3.4.3 设设(X ,Y)的联合分布律为的联合分布律为X Y0103/103/1013/101/10 试求试求 1) sin X, 2) X +Y, 3) XY, 4) Max (X,Y)的分布律的分布律.解解:由由(X ,Y)的分布律得的分布律得随机变量的函数随机变量的函数May-22 P3/103/103/10

15、1/10(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1) X01sin X0 sin1X+Y0112 XY0001Max (X,Y)0111随机变量的函数随机变量的函数May-22sinX0sin1P0.60.4X+Y012P0.30.60.1XY01P0.90.1Max (X,Y)01P0.30.7随机变量的函数随机变量的函数May-22 例例3.4.4 设设X ,Y相互独立相互独立,且且XB(n1, p) , YB(n2, p) 则则 ),.,1 , 0(,)1 (111nkppCkXPknkkn 证证),.,1 , 0(,)1(222nrppCrYPrnrrn mkkmnkmkmnkn

16、kknppCppC02211)1 ()1 (X+YB(n1+ n2 , p) mkkmqkpmYXP0)()(随机变量的函数随机变量的函数May-22),.1 , 0(,)1 (212121nnmCppmnnmnnm 二项分布具有可加性二项分布具有可加性 mkkmnknmnnmCCpp02121)1 (求和为求和为mnnC21 mkkmnkmkmnknkknppCppC02211)1()1(随机变量的函数随机变量的函数May-22例例3.4.5 设设XN(0, 1) , 求求Y=X2 的概率密度的概率密度解解, 0)(, 02 yXPyFyY当当,)(, 02yXyPyXPyFyY 当当y y

17、y=x2随机变量的函数随机变量的函数May-22)()(yFyfYY yydxex2221 yXyP )()(22)(22)(21 yeyeyy22121yey . 0,;0,)(22121yoyeyyfyY称称Y 服从自由度服从自由度为为1的的2分布分布随机变量的函数随机变量的函数May-22 例例3.4.6 已知随机变量已知随机变量 X 的概率密度为连续的概率密度为连续函数函数 fX (x) , 求求: Y = a X+ b (a0) 的概率密度的概率密度 fY ( y)。 解解 当当a0 时时,)(ybaXPyFY 当当a0 时时,)(ybaXPyFY 对对 y 求导得到求导得到)(ab

18、yFabyXPX )(1abyFabyXPX 随机变量的函数随机变量的函数May-22)(1)()(abyXfayFyfYY 特别当特别当 XN( , 2), 则则X的线性函数的线性函数Y = a X+ b (a0) 服从正态分布服从正态分布 N(a +b, a 2 2).)(1)(abyXYfayf 222)(21 abyea证证随机变量的函数随机变量的函数May-22Rxeaabay ,212222)(222)(21 abyea即即Y N(a +b, a 2 2).特别特别 XYba则则取取,1标准化标准化变换变换随机变量的函数随机变量的函数May-22 有有Y 服从标准正态分布服从标准正

19、态分布 N(0, 1)，其概率密，其概率密度为度为结论结论: 正态分布的线性函数仍然正态分布的线性函数仍然 服从正态分布服从正态分布; Rxexx ,21)(22 随机变量的函数随机变量的函数May-22 例例3.4.7 设随机变量设随机变量X 的概率密度为的概率密度为令令Y=X2, F(x, y)为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的联合分的联合分布函数布函数.() 求求Y 的概率密度的概率密度fY(y);() 1,10;21( ),02;40,Xxfxx 其其他他。)4 ,21( F随机变量的函数随机变量的函数May-22分析分析 该题本质上是求一个随机变量的函数该题本质上是求一个随机变

20、量的函数分布和概率计算问题。分布和概率计算问题。解解 （I） 设设X的分布函数为的分布函数为 yXyP 1）当）当 y0, FY(y)=0;2）当）当 0y1, )(2yXPyYPyFY 00113( )244yYyFydxdxy 141随机变量的函数随机变量的函数May-223）当）当 1y4, 4）当）当 4y, FY(y)=1;3,01;81( )( ),14;80,.YYyyfyFyyy 其其他他最后最后0101111( )2442yYFydxdxy 随机变量的函数随机变量的函数May-22（II） )4 ,21( F211,4,422P XYP XX 11, 22 222P XXPX

21、 2114121dx随机变量的函数随机变量的函数May-22 例例3.4.8 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y )的联合概率密度的联合概率密度为为: ., 0;0,2),()2(其它其它yxeyxfyx求随机变量求随机变量Z=X+2Y的分布函数和概率密度的分布函数和概率密度.解解 FZ(z)=PZ z = PX+2Y z zyxdxdyyxf2),(f(x,y)的的非零区域非零区域xyx+2y=z随机变量的函数随机变量的函数May-22xyx+2y=zf(x,y)的的非非0区域区域 ;0, 0z. 0,200)2(2 zdxdyezyxxz . 0,1; 0. 0zzeezzz . 0,;0, 0)()(zzezzFzfzZZ zyxdxdyyxf2),(随机变量的函数随机变量的函数May-22 例例3.4.9 设随机变量设随机变量X, Y 相互独立相互独立,均服从区均服从区间间(0, 1) 上的均匀分布上的均匀分布, 求求: