CH73区间估计

1、 财经频道主持人访问经济学专家，明年的GDP预计增长多少？如果专家回答增长6.6%，这是点估计。如果专家回答GDP预计大约增长在6%到7%之间，这是区间估计。相对点估计，区间估计考虑到了可能出现的误差。 估计某湖泊中鱼的数量在区间4500,5500比估计有5000条鱼更有实用价值； 高考刚刚结束，估计总分在区间520,530比估计考了530分更有意义； 估计明年的收入在区间45000,50000比估计收入47000更有意义。 本节将要介绍区间估计的一种，它是由奈曼(Neymann)于1934年提出的置信区间。置信区间的概念121212( ; ), (01), ,(,)(,) nnnXF xXX

2、XXXXXXX定义：设总体的分布函数含有一个未知参数对于给定值若由样本确定的两个统计量和满足( , )1, 1. 则称随机区间是 的置信水平为的置信区间和分别称为置信水平为的双侧置信区间的置信下限和置信上限1,P 关于定义的说明关于定义的说明(1),( , ). 被估计的参数虽然未知 但它是一个常数 没有随机性 而区间是随机的1 : P 因此表达式的本质是. ) ,(1 ,1) ,( 的概率落入随机区间的概率落入随机区间以以而不能说参数而不能说参数的真值的真值的概率包含着参数的概率包含着参数以以随机区间随机区间 1212(2) (,)(,)1 : nnPXXXXXX 还可以描述为若反复抽样多次

3、若反复抽样多次( (各次得到的样本容量相等各次得到的样本容量相等, ,都是都是n) ), ,( 间间每个样本值确定一个区每个样本值确定一个区在这样多的区间中在这样多的区间中, , .%100,)%1(100 不不包包含含的的约约占占真真值值的的约约占占包包含含 , 的的真真值值的的真真值值或或不不包包含含每每个个这这样样的的区区间间或或包包含含 例如例如 , 1000 0.01, 次次反复抽样反复抽样若若 .10 1000 个个真值的约为真值的约为个区间中不包含个区间中不包含则得到的则得到的 (3)置信区间是对未知参数的一种区间形式的估计， 区间的长度意味着误差， 在相同的置信水平下，区间越长

4、，误差越大，估计的精度越低，反之精度越高。(4)置信度与估计精度的关系。置信度 越大，置信区间 包含 的真值的概率就越大，但区间 的长度就越大, 对未知参数 的估计精度就越差。对参数的估计精度越高，即置信区间的长度越小，则包含真值的概率就越低，即置信度越小。一般准则是，在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度，即使得区间长度较小。如果把点估计比做用鱼叉在水中叉鱼，那么置信区间就是用渔网捕鱼。同鱼叉类似，用渔网捕鱼首先要定位，即需要预先估计鱼 的位置(统计上就是先找个点估计 ); 然后以预估的位置为中心将网撒开（统计上就是以 为中心，得到区间 1212=, , ，或当然任何人都无法保证每次撒网都能

5、捕到鱼，实际上若能做到捕到鱼的可能性达到极高就够了，比如撒下100网，大约有95网都能捕到鱼也是很好的。换句话说根据样本找到的区间 不一定会包含参数 的真值，但是当根据不同的样本得到大量的区间，平均来看100个中有95个都能够包含参数 即95%P那么这样的区间显然也是有价值。2. 求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤( (共共3 3步步) ). )(,);,(:, )1(2121 包括包括赖于任何未知参数赖于任何未知参数的分布已知且不依的分布已知且不依并且并且其中仅包含待估参数其中仅包含待估参数的函数的函数寻求一个样本寻求一个样本ZXXXZZXXXnn .1);,( ,1 )2(21 bX

6、XXZaPban使使出两个常数出两个常数定定对于给定的置信度对于给定的置信度.1),( ,),(, ),( , );,()3(212121的置信区间的置信区间信度为信度为的一个置的一个置就是就是那么那么都是统计量都是统计量其中其中等式等式得到等价的不得到等价的不若能从若能从 nnnXXXXXXbXXXZa.,1,区间估计精度降低区间估计精度降低可信程度增大可信程度增大长度增大长度增大置信区间置信区间增大增大置信水平置信水平固定固定样本容量样本容量 n.,1区间估计精度提高区间估计精度提高可信程度不变可信程度不变长度减小长度减小置信区间置信区间增大增大样本容量样本容量固定固定置信水平置信水平n

7、解解.1 , , ,),(,2221的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为求求为未知为未知为已知为已知其中其中本本的样的样是来自正态总体是来自正态总体设设 NXXXn , X即找的点估计 (0,1),/XZNn例例1 1视待估参数 为水中待捕的一条鱼。 (1)定位：先确定鱼的大致位置，0H 0H (2)撒网：以预先确定的位置 为中心，把网撒下去，即可以得到一个以 为中心的区间。XX为确定这个区间，考虑下面分布 ,1/2/ znXP,1 2/2/ znXznXP即即 分位点的定义知分位点的定义知由标准正态分布的上由标准正态分布的上 ., 1 2/2/ znXznX的置信区间的置信区间的一个

8、置信水平为的一个置信水平为于是得于是得这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成.2/ znX其置信区间的长度为其置信区间的长度为. 22/ zn 1 16, 1, 0.05,n如果在例 中取,96. 1 025. 02/ zz 查表可得查表可得.1.961610.95 X的置信区间的置信区间得一个置信水平为得一个置信水平为由一个样本值算得样本均值的观察值由一个样本值算得样本均值的观察值,20. 5 x则置信区间为则置信区间为),49. 020. 5( . )69. 5,71. 4(即即 .1 :的置信区间是不唯一的的置信区间是不唯一的置信水平为置信水平为注意注意 1 0.05,在例 中如果给定

9、 ,95. 0/ 01. 004. 0 znXzP 则又有则又有,95. 0 04. 001. 0 znXznXP 即即 .0.95, 04. 001. 0的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为也是也是故故 znXznX其置信区间的长度为其置信区间的长度为. )(01. 004. 0zzn 比较两个置信区间的长度比较两个置信区间的长度, 4.08)(01. 004. 02nzznL ,3.922025. 01nznL . 21LL 显然显然置信区间短表示估计的精度高置信区间短表示估计的精度高. .说明说明: : 对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴

10、对称的情况对称的情况, , 易证取易证取a和和b关于原点对称时关于原点对称时, ,能使置信能使置信区间长度最小区间长度最小. .今抽今抽 9 件测量其长度件测量其长度, , 得数据如下得数据如下( (单位单位:mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 解解, 122/2/ znXznX的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为得得根据例根据例,333.147,96. 1,05. 0,4,9025. 0知知由由 xzn .149.946) (144.720,0.95的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为 ),16,( NX 服从正态分

11、布服从正态分布设某工件的长度设某工件的长度. 95 的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为试求参数试求参数 例例2 2单个正态总体均值或方差的置信区间和单侧置信限.,),(, ,12221本方差本方差分别是样本均值和样分别是样本均值和样的样本的样本总体总体为为并设并设设给定置信水平为设给定置信水平为SXNXXXn ,)1(2为已知为已知 1 的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 .2/ znX 的置信区间的置信区间均值均值 1. 包糖机某日开工包了包糖机某日开工包了12包糖包糖, ,称得质量称得质量( (单位单位: :克克) )分别为分别为506, ,500, ,495,

12、 ,488, ,504, ,486, ,505, ,513, ,521, ,520, ,512, ,485. . 假设重量服从正态分布假设重量服从正态分布, ,且标且标解解,12,10 n ,92.502 x计算得计算得,10. 0)1(时时当当 05. 02/ zz 查表得查表得. )0.05 0.10 (1 10, 和和分别取分别取区间区间置信置信的的试求糖包的平均质量试求糖包的平均质量准差为准差为,95. 021 ,645. 1例例1 2/ znx645. 1121092.502 ,67.507 2/ znx645. 1121092.502 ,17.498 90% 的置信区间为的置信区间

13、为的置信水平为的置信水平为即即 ).67.507,17.498(,05. 0)2(时时当当 ,975. 021 025. 02/zz 95%的置信区间为的置信区间为的置信水平为的置信水平为同理可得同理可得 ).58.508,26.497(.,1 ;,1 ,置信区间也较小置信区间也较小较小时较小时当置信水平当置信水平置信区间也较大置信区间也较大较大时较大时当置信水平当置信水平从此例可以看出从此例可以看出 ,96. 1查表得查表得 ,)2(2为未知为未知 , , 2/接使用此区间接使用此区间不能直不能直中含有未知参数中含有未知参数由于区间由于区间 znX , , 222 替换替换可用可用的无偏估计

14、的无偏估计是是但因为但因为SSS 1 的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为 .)1(2/ ntnSX 推导过程如下推导过程如下: :,1)1()1( 2/2/ ntnSXntnSXP即即 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得于是得 .)1(2/ ntnSX ),1(/ ntnSX 已知已知 ,1)1(/)1( 2/2/ ntnSXntP则则解解 有一大批糖果有一大批糖果, ,现从中随机地取现从中随机地取16袋袋, , 称得质称得质量量( (克克) )如下如下: : 496509502506496493505514512497510504503499508506设袋装糖果的

15、质量服从正态分布设袋装糖果的质量服从正态分布, , 试求总体均值试求总体均值,151 0.05, n : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )15(025. 0t,2022. 6,75.503 sx计算得计算得 . 0.95 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为 ,1315. 2例例2 5%9 的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为得得 1315. 2162022. 675.503).1 .507, 4 .500(即即就是说估计袋装糖果质量的均值在就是说估计袋装糖果质量的均值在500.4克与克与507.1克之间克之间, , 这个估计的可信程度为这个估计的可信程度为95%. .

16、).( 61. 621315. 2162022. 6 克克其误差不大于其误差不大于 , 的近似值的近似值为为若依此区间内任一值作若依此区间内任一值作 这个误差的可信度为这个误差的可信度为95%. . 95% , ),(的置信区间的置信区间的的试求糖包质量试求糖包质量 2N解解 ,12, n未知未知此时此时 ,92.502 0.05, x ,35.12 s : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )11(025. 0t,85. 7201. 21235.12)1( 2/ ntns 于是于是 5%9 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为得得 ).77.510,07.495(,201. 2例例

17、3( (续例续例1)1)如果只假设糖包的质量服从正态分布如果只假设糖包的质量服从正态分布推导过程如下推导过程如下: :22 , S取的无偏估计),1()1(222 nSn (2)撒网：撒网： 1 2的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为方差方差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn 2的置信区间的置信区间方差方差 2.(1)定位： 1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得方差于是得方差 ,1)1()1()1( 22/2222/1 nSnnP则则 ,1)1()1()1()1( 22/12222/2 nSnnSnP即即 .)1()1(,)1()1(22/1

18、222/2 nSnnSn 习惯上仍取对称的分位点习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间来确定置信区间( (如图如图).). 1 的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为标准差标准差 .)1(1,)1(122/122/ nSnnSn 进一步可得进一步可得: : ( (续例续例2) ) 求例求例2中总体标准差中总体标准差 的置信度为的置信度为0.95 的置信区间的置信区间. .解解,151 0.975,21 0.025,2 n : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025. 0 ,2022. 6 s计算得计算得 )15(2975. 0 代入公式得标准差的置信区间代入公式得

19、标准差的置信区间).60. 9,58. 4( ,488.27,262. 6例例4 4解解,111 0.975,21 0.025,2 n );64.453,97.78().30.21,87. 8( . 0.95 1 2的置信区间的置信区间信度为信度为置置的的和标准差和标准差中总体方差中总体方差求例求例 2的置信区间的置信区间方差方差 的置信区间的置信区间标准差标准差 例例5 5 (续例续例1):)1(2分布表可知分布表可知查查 n ,816. 3)11(2975. 0 ,920.21)11(2025. 0 上述置信区间中置信限都是双侧的，但上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们

20、关心的只是参数在对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限一个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时，可将置信上限取这时，可将置信上限取为为+，而只着眼于置信下，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间叫单侧置信区间.单侧置信区间的概念一、基本概念一、基本概念二、典型例题二、典型例题一、基本概念1. 单侧置信区间的定义单侧置信区间的定义,1, ),(, )10( 2121 PXXXXXXnn满足满足对于任意对于任意确定的统计

21、量确定的统计量若由样本若由样本对于给定值对于给定值.1,1) ,(信下限信下限的单侧置的单侧置的置信水平为的置信水平为称为称为侧置信区间侧置信区间的单的单的置信水平为的置信水平为是是则称随机区间则称随机区间 ,1 , ),( 21 PXXXn满足满足对于任意对于任意又如果统计量又如果统计量.1 ,1), (上限上限的单侧置信的单侧置信的置信水平为的置信水平为称为称为侧置信区间侧置信区间的单的单的置信水平为的置信水平为是是则称随机区间则称随机区间 2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间正态总体均值与方差的单侧置信区间 , )( , 2均为未知均为未知方差是方差是的均值是的均值是设正态总体设正态总

22、体 X , , 21是一个样本是一个样本nXXX, )1(/ ntnSX 由由,1)1(/ ntnSXP有有,1)1( ntnSXP即即,),1( ntnSX 1 的置信下限的置信下限的置信水平为的置信水平为 ).1( ntnSX ),1()1( 222 nSn 又根据又根据,1)1()1( 2122 nSnP有有 1的单侧置信区间的单侧置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得 12的单侧置信区间的单侧置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得 ,)1()1(, 0212 nSn 12的单侧置信上限的单侧置信上限的置信水平为的置信水平为 .)1()1(2122 nSn ,

23、1)1()1( 2122 nSnP即即二、典型例题 设从一批灯泡中设从一批灯泡中, , 随机地取随机地取5只作寿命试验只作寿命试验, ,测得寿命测得寿命( (以小时计以小时计) )为为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布, , 求灯泡寿命平均求灯泡寿命平均值的置信水平为值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限的单侧置信下限. .解解, 5 n,1160 x,95. 01 ,1318. 2)4()1(05. 0 tnt ,99502 s .950的置信下限的置信下限的置信水平为的置信水平为 .1065)1( ntnsx 例例1

24、两个正态总体均值或方差的置信区间和单侧置信限., ., ,),(,),( ,12221212122221211212121的样本方差的样本方差分别是第一、二个总体分别是第一、二个总体的样本均值的样本均值分别是第一、二个总体分别是第一、二个总体独立独立与与的样本的样本总体总体为第二个为第二个的样本的样本第一个总体第一个总体为为并设并设设给定置信水平为设给定置信水平为SSYXYYYXXXNYYYNXXXnnnn 讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题. .均为已知均为已知和和2221)1( 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .222

25、1212/ nnzYX , , , 21的无偏估计的无偏估计分别是分别是因为因为 YX推导过程如下推导过程如下: : , 21的无偏估计的无偏估计是是所以所以 YX 21的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 1. , 的独立性及的独立性及由由YX,1211 nNX ,2222 nNY , 22212121 nnNYX 可知可知 , )1,0( 22212121NnnYX 或或 121的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得 .2221212/ nnzYX ,)2(2221均为未知均为未知和和 , )50(21则有则有即可即可实用上实用上都很大都很大和和只要只

26、要 nn 1 21的近似置信区间的近似置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .2221212/ nSnSzYX , ,)3(222221为未知为未知但但 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .11)2(21212/ nnSnntYXw .,2)1()1( 2212222112wwwSSnnSnSnS 其中其中随机地取随机地取型子弹型子弹10发发, , 得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为例例1为比较为比较, 两种型号步枪子弹的枪口速度两种型号步枪子弹的枪口速度, ,),s/m(5001 x),s/m(10. 1 1 s标准差标准差随机地取随机地取型子弹型子弹20发

27、发, , 得枪口速度平均值为得枪口速度平均值为),s/m(4962 x),s/m(20. 1 2 s标准差标准差假设两总体都可认为近似假设两总体都可认为近似地服从正态分布地服从正态分布, ,且由生产过程可认为它们的方差且由生产过程可认为它们的方差相等相等, , 求两总体均值差求两总体均值差 .950 21的置的置的置信度为的置信度为 信区间信区间. .解解 由题意由题意, , 两总体样本独立且方差相等两总体样本独立且方差相等( (但未知但未知),), 0.025,2 ,20,1021 nn,28221 nn : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt,0484. 2)28(025. 0 t,2

28、820. 11910. 19 222 ws,1688. 12 wwSs .950 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 201101)28(025. 021tSxxw),93. 04( ).93. 4,07. 3( 即所求置信区间为即所求置信区间为解解 由题意由题意, , 两总体样本独立且方差相等两总体样本独立且方差相等( (但未知但未知),),例例2为提高某一化学生产过程的得率为提高某一化学生产过程的得率, , 试图用试图用一种新的催化剂一种新的催化剂, , 为慎重起见为慎重起见, , 在试验工厂先行在试验工厂先行81 n.73.911 x,75.932 x体都可

29、认为近似地服从正态分布体都可认为近似地服从正态分布, , 且方差相等且方差相等, ,求求两总体均值差两总体均值差 . .950 21信区间信区间的置的置的置信水平为的置信水平为 试验试验. . 设采用原来的催化剂进行了设采用原来的催化剂进行了次试验次试验, ,得到得率的平均值得到得率的平均值,89. 3 21 s样本方差样本方差又采用新的催化剂进行了又采用新的催化剂进行了82 n次试验次试验, ,得到得率得到得率的平均值的平均值,02. 4 22 s样本方差样本方差假设两总假设两总,3.962)1()1( 212222112 nnSnSnsw且且 .950 21的置信区间的置信区间的一个置信水

30、平为的一个置信水平为于是得于是得 8181)14(025. 021tsxxw),13. 202. 2( ).11. 0,15. 4( 即所求置信区间为即所求置信区间为 . , 21为未知的情况为未知的情况仅讨论总体均值仅讨论总体均值 1 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS推导过程如下推导过程如下: : ),1()1( 1221211 nSn 由于由于 ),1()1(2222222 nSn 2221的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 2. , )1( )1( 222222

31、1211相互独立相互独立与与且由假设知且由假设知 SnSn 根据根据F分布的定义分布的定义, , 知知 ),1, 1(2122222121 nnFSS 22222121 SS即即 )1()1()1()1(222222121211 nSnnSn ),1, 1(21 nnF,1 )1, 1()1, 1(212/22222121212/1 nnFSSnnFP ,1)1, 1(1)1, 1(1212/122212221212/2221 nnFSSnnFSSP 1 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS 解解,181 n,