第6章 IIR数字滤波器的设计

1、 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计2/72第6章 IIR数字滤波器的设计n6.1 6.1 滤波器的基本概念滤波器的基本概念n6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计n6.3 6.3 用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器n6.4 6.4 数字高通、带通和带阻数字高通、带通和带阻IIRIIR滤波器的设计滤波器的设计第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计3/726.1 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念6.1.1 6.1.1 滤波器的分类滤波

2、器的分类n经典滤波器经典滤波器 假定输入信号假定输入信号x(n)中的有用成份和希望去除中的有用成份和希望去除的成分各自占有不同的频带，这样，当的成分各自占有不同的频带，这样，当x(n)通过通过一个线性系统（即滤波器）后可将与欲去除的成一个线性系统（即滤波器）后可将与欲去除的成份有效地去除。份有效地去除。()()()jjjY eX eH e( )( )( )( ) ()ny nx nh nh m x nm第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计4/72 （1）频率变量以数字频率）频率变量以数字频率 表示，表示，=T ， 为模拟角频率，为模拟角频率，T为抽样时间间隔；为抽样时间

3、间隔； （2）以数字抽样频率）以数字抽样频率 为周期；为周期； （3）频率特性只限于）频率特性只限于 范围，这是范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。一半。22sasaf T/2sa可分为可分为低通、高通、带通、带阻低通、高通、带通、带阻特点第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计5/72数字滤波器的理想幅频特性第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计6/726.1.2 6.1.2 滤波器的技术指标滤波器的技术指标通带容限：通带容限：阻带容限：阻带容限：通带截止频率：通带截止频率：阻带截止

4、频率：阻带截止频率：通带通带最大最大衰减：衰减：阻带阻带最小最小衰减：衰减：0()20lg20lg()()ppjjpjH eH eH e 0()20lg20lg()()ststjjstjH eH eH e 12pstpst低通第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计7/72（1 1）给出所需要的滤波器的技术指标；）给出所需要的滤波器的技术指标；（2 2）设计一个）设计一个H(z)使其逼近所需要的技术指标；使其逼近所需要的技术指标；（3 3）实现所设计的）实现所设计的H(z)。6.1.3 6.1.3 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤其中步骤（其中步骤（2 2）是本章和下一章所

5、讨论的主要内容。）是本章和下一章所讨论的主要内容。1. 1. 数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计8/72)()(zHsHa（2 2）根据转换后技术指标设计模拟低通滤波器的）根据转换后技术指标设计模拟低通滤波器的)(sHa2.IIR2.IIR数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤巴特沃思模拟滤波器和切比雪夫模拟滤波器巴特沃思模拟滤波器和切比雪夫模拟滤波器 （1 1）按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标为模拟低通滤波器的技术指标 若所设计的是高通、带通或带阻

6、滤波器，那么需要若所设计的是高通、带通或带阻滤波器，那么需要对步骤（对步骤（1 1）进行改动：将高通、带通或带阻数字滤波）进行改动：将高通、带通或带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标。器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标。（3 3）按一定的规则）按一定的规则抽样响应不变法和双线性变换法抽样响应不变法和双线性变换法第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计9/726.2 6.2 模拟低通滤波器的设计模拟低通滤波器的设计n为了从模拟滤波器设计为了从模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器，即需要把数数字滤波器，即需要把数字滤波器的指标转变成模拟原型滤波器的指标，再

7、字滤波器的指标转变成模拟原型滤波器的指标，再设计一个满足技术指标的模拟原型滤波器。设计一个满足技术指标的模拟原型滤波器。 n常用的模拟低通原型滤波器有常用的模拟低通原型滤波器有巴特沃思巴特沃思(Butterworth)(Butterworth)滤波器、切比雪夫滤波器、切比雪夫( (ChebyshevChebyshev) )滤波器、椭圆滤波器、椭圆(Ellipse)(Ellipse)滤波器、贝塞尔滤波器、贝塞尔(Bessel)(Bessel)滤波器滤波器等。等。n特点：特点：严格的设计公式，现成的设计图表供设计人员严格的设计公式，现成的设计图表供设计人员使用。使用。第第6 6章章 IIRIIR数

8、字滤波器的设计数字滤波器的设计10/72 1.1.幅度平方函数幅度平方函数模拟滤波器的系统函数：模拟滤波器的系统函数： 模拟滤波器的频率响应：模拟滤波器的频率响应：模拟滤波器的幅频特性：模拟滤波器的幅频特性：2*()()()aaaHjHjHj)()(*jHjHaa2()()()( )()aaaaas jH jHjHjH s Hs )(sHa)( jHa)( jHa6.2.1 6.2.1 由幅度平方函数来确定系统函数由幅度平方函数来确定系统函数 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计11/722. 2. 系统函数的零极点分布特点系统函数的零极点分布特点（1 1） 的极点（零

9、点）的极点（零点） 的极点（零点）的极点（零点）( )()aaHs Hs( )()aaHsHs *11*11,s sss-（3 3）由于滤波器是稳定的，所以）由于滤波器是稳定的，所以 的极点一定在的极点一定在左半平面左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此要求，可取任一半对称零点为无此要求，可取任一半对称零点为 的零点。的零点。 ( )aH s( )ah t( )aH s( )aH s 的极点（零点）的极点（零点）呈呈象限对称象限对称（2 2）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为 是实数时的是实数时的 的零极点以

10、共轭对存在；的零极点以共轭对存在；第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计12/72 (1) (1) 由由 可确定出可确定出 ， (2)(2)根据零极点可确定出根据零极点可确定出 ，稳定可实现，稳定可实现的滤波器的极点一定在的滤波器的极点一定在s s平面的左边，零点根据与平面的左边，零点根据与 对称关系取其中一个。对称关系取其中一个。 (3)(3)按低频或高频特性确定增益常数。按低频或高频特性确定增益常数。 3.3.由由 确定确定 的方法的方法2(aHj）2)(sHa)(sHa)( sHa2(aH j）)(sHa第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计1

11、3/726.2.2 6.2.2 巴特沃思模拟低通滤波器的设计巴特沃思模拟低通滤波器的设计 5 . 0)(2cajH707. 0)(cajH( 0)20 lg3(aacHjdBHj ）1. 1. 幅度平方函数幅度平方函数NcajH22)(11)(第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计14/722.2. 系统函数系统函数全极点型全极点型NcaajssHsH2)(11)()(NkejsNkjccNk2,.2 , 1,)() 1(2122121极点极点巴特沃斯圆巴特沃斯圆第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计15/72取取 左半平面的极点为左半平面的极点为

12、的极点的极点)()(sHsHaa12122,1,2,.kjNkcsekN )(sHaNkkassksH10)()(由低频特性决定由低频特性决定系统函数系统函数第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计16/72 如果将系统函数的如果将系统函数的 , , 用滤波器的截止频率用滤波器的截止频率 去除，这样对应的截止频率变为去除，这样对应的截止频率变为1rad/s1rad/s，即所谓归一，即所谓归一化，相应的系统函数称作归一化的系统函数记作化，相应的系统函数称作归一化的系统函数记作s( )( )|canassHsH s( )anHsc( )( )|caanssHsHs1221( )

13、( )|ccaassHsHs 在系统函数形式不变的情况下，如果需要将截止在系统函数形式不变的情况下，如果需要将截止频率为频率为 的滤波器的滤波器 ，转变成截止频率为，转变成截止频率为 的滤波器的滤波器1( )aHs1c2c2( )aHs3.3. 系统函数的归一化系统函数的归一化第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计17/724. 4. 滤波器的阶数和截止频率的确定滤波器的阶数和截止频率的确定已知巴特沃思模拟滤波器的指标已知巴特沃思模拟滤波器的指标/102101ppcN 2/10101ststcN ( 0)20 lg20 lg()()HjHjHj N的推导的推导2110lg

14、1 (/)pNpc 2110lg1 (/)stNstc 1010lg(101) (101)lg()pststpN完成完成第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计18/72N的推导2210lg 1 (/)10lg 1 (/)NppcNststc 1010lg(101) (101)lg()pststpN210210101 ()101 ()pstpNcNstc 210210101()101()pstpNcNstc 10210101()101stpNstp返回第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计19/726.2.3 6.2.3 切比雪夫模拟低通滤波器的设计切

15、比雪夫模拟低通滤波器的设计n巴特沃思滤波器的幅度特性无论在通带与阻带都巴特沃思滤波器的幅度特性无论在通带与阻带都随频随频率变化而单调变化率变化而单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，因而如果在通带边缘满足指标，则在阻带内肯定会有富裕量，也就会超过指标的要求，则在阻带内肯定会有富裕量，也就会超过指标的要求，因而并不经济；因而并不经济；n解决办法：将指标的精度均匀地分布在通带内，或均解决办法：将指标的精度均匀地分布在通带内，或均匀地分布在阻带内，或同时均匀地分布在通带与阻带匀地分布在阻带内，或同时均匀地分布在通带与阻带内，这时就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均内，这时就可设计出阶数较低的滤波器

16、。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性等波纹特性的逼近函数的逼近函数来完成。来完成。第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计20/72n切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器的幅度特性就在一个频带中（通的幅度特性就在一个频带中（通带或阻带）具有这种等波纹特性。带或阻带）具有这种等波纹特性。n（1 1）切比雪夫）切比雪夫型：在通带中是等波纹的，在阻型：在通带中是等波纹的，在阻带内是单调的；带内是单调的；n（2 2）切比雪夫）切比雪夫型：在通带内是单调的，在阻带型：在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的。内是等波纹的。第第6 6章章 IIRIIR数字滤波

17、器的设计数字滤波器的设计21/721.1.切比雪夫切比雪夫型低通滤波器的逼近型低通滤波器的逼近n幅度平方函数幅度平方函数2221()1(/)aNpHjC 1)()(2)(11NxCxxCxCNNN221()1(/)aNpHjC n幅度频响函数幅度频响函数cos(arccos( )1()( )ch( arcch( )1NNxxCxNxx通带第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计22/72切比雪夫切比雪夫型低通滤波器的幅频特性型低通滤波器的幅频特性第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计23/72（1 1）通带宽度）通带宽度 （给定给定）（2 2） 是与通

18、带波纹是与通带波纹 有关的一个参数有关的一个参数（3 3）滤波器阶数）滤波器阶数N ：通带内最大值和最小值的总数：通带内最大值和最小值的总数 由阻带衰减确定由阻带衰减确定22maxmax2minmin()()10lg20lg10lg(1)()()aapaaHjHjHjHj/102101p2221()1(/)aNpHjC pp切比雪夫切比雪夫型低通滤波器的三个参数型低通滤波器的三个参数第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计24/72221()astHjA阻带衰减确定滤波器阶数阻带衰减确定滤波器阶数20lgstA0.12arcch101arcch1arcch()arcch()

19、ststcstcAN222211()1(/)astNstpHjCA带入带入2()aHj221()charcch()1ststNppCNA带入带入( )NCx第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计25/7220.111charcch111charcch101ststppANN 11charcch( )cpN 当当 即为即为3dB3dB截止频率截止频率 2A 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计26/722.2.切比雪夫切比雪夫型低通滤波器的逼近型低通滤波器的逼近幅度平方函数幅度平方函数22221()(/)1(/)aNpNstHjCC 第第6 6章章

20、IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计27/726.2.4 6.2.4 椭圆模拟低通滤波器的设计椭圆模拟低通滤波器的设计 n幅度平方函数幅度平方函数2221()1(/)aNpHjC ( )NCx雅可比（雅可比（JacobianJacobian）椭圆函数）椭圆函数n幅频特性幅频特性第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计28/72椭圆滤波器的特点椭圆滤波器的特点n在通带和阻带内都具有等波纹的幅度响应特性在通带和阻带内都具有等波纹的幅度响应特性n对于给定的指标，椭圆滤波器的阶数最小对于给定的指标，椭圆滤波器的阶数最小 n阶数相同的不同类型中，椭圆滤波器的过渡带最陡阶数相同

21、的不同类型中，椭圆滤波器的过渡带最陡n与切比雪夫与切比雪夫型滤波器相似型滤波器相似 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计29/72椭圆滤波器的参数椭圆滤波器的参数210lg(1)p/102101ppp2121( )( 1)()( 1)K k KkNK k Kk（1 1）通带宽度）通带宽度（2 2） 是与通带波纹是与通带波纹 有关的一个参数有关的一个参数（3 3）滤波器阶数）滤波器阶数N/pstk 21/1kA/2022( )1sindK xx第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计30/726.2.5 6.2.5 贝塞尔模拟低通滤波器的设计贝塞尔模拟

22、低通滤波器的设计 n系统函数系统函数n特点特点（1 1）具有在通带内逼近线性相位特性具有在通带内逼近线性相位特性 （2 2）全极点系统）全极点系统 001011( )( )aNNNNddHsBsbb sbss212( )(21)( )( )NNNBsNBss Bs(2)!,0,1,12!()!kNkNkbkNkNk第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计31/72 由归一化系统函数由归一化系统函数 得得 ，只需将，只需将s s代代入入 即可。即可。 归一化低通滤波器的系统函数归一化低通滤波器的系统函数02012( ).anNNdHsaa sa sa s( )anHs( )a

23、H s/cs 6.2.6 6.2.6 归一化原型滤波器设计数据归一化原型滤波器设计数据 巴特沃斯滤波器和巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的切比雪夫滤波器的多项式系数多项式系数可见表可见表6.2.16.2.1和表和表6.2.26.2.2第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计32/726.2.7 6.2.7 常用模拟滤波器比较常用模拟滤波器比较n工程应用中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数和工程应用中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数和相位特性的具体要求。相位特性的具体要求。n如果仅就满足滤波器幅频指标而言，如果仅就满足滤波器幅频指标而言，椭圆滤波器椭圆滤波器的的性价比最高，应用较

24、为广泛。性价比最高，应用较为广泛。 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计33/726.3 6.3 用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器 ( )( )ah th n冲激函数：( )( )aHsH z系统函数：sz即： 平面（域）平面（域）()()()jaHjH eH j 频响特性：或第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计34/72转换关系的两点要求转换关系的两点要求n(1) (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。因此转换关系应是仍是因果稳定的。因此转换关系应是s

25、 s平面的平面的左半平面映射到左半平面映射到z z平面的单位圆内部。平面的单位圆内部。 n(2) (2) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频率响应，也就是频率响应，也就是s s平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到z z平面的平面的单位圆上。单位圆上。方法：方法：n抽样响应不变法抽样响应不变法n双线性变换法双线性变换法第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计35/726.3.1 6.3.1 抽样响应不变法抽样响应不变法转换思想：转换思想：( )( ) ,( )( ) ,( )( )aaaaHsL h tHsL h tH zZ h n( )(

26、)( )|( )aat nTah nh nTh th t12( )( )()sTaaz ekH zHsHsjkTT1.1.变换原理变换原理如果如果变换关系式变换关系式第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计36/72频率响应特性频率响应特性频率映射关系频率映射关系T 响应映射关系响应映射关系12()()jakkH eHjTT1()()jaH eHjTT()0,2staHjT 如果是如果是带限的带限的第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计37/72混叠失真混叠失真n任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，

27、变换后就会产生周期延拓分量的频格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真谱交叠，即产生频率响应的混叠失真 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计38/72特点特点n频率的线性关系频率的线性关系n时域模仿特性好时域模仿特性好 n频率响应的混叠失真频率响应的混叠失真 n适用于滤波器非零带宽小于采样频率一半的情适用于滤波器非零带宽小于采样频率一半的情况；不适用于高通、带阻和截止特性不好拖尾况；不适用于高通、带阻和截止特性不好拖尾太长的低通、带通太长的低通、带通第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计39/72一般方法一般方法 先

28、先再对再对 抽样，使抽样，使最后最后 这个过程比较复杂这个过程比较复杂( )( )H zZ h n)()(nThnha1( )( )aah tLH s( )( )aH sH z)(tha2.2.转换关系转换关系第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计40/72系统函数系统函数NkkkassAsH1)(方法的简化（方法的简化（对于单阶极点情况对于单阶极点情况）)()()(11tueAsHLthNktskaak单位抽样响应单位抽样响应)()()()()(11nueAnueAnThnhNknTskNknTskakk抽样抽样第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设

29、计41/721( )()( )kNs Tnkkh nAeu nNkkkassAsH1)(对比式：对比式：TsTskkkezzzess1111对应关系式对应关系式：求求Z Z变换变换11( )1kNks TkAH zez第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计42/72 由于数字滤波器的频响与由于数字滤波器的频响与T T成反比，当成反比，当T T很小时，很小时，数字滤波器的增益过高，为此做如下修正：数字滤波器的增益过高，为此做如下修正：111( )( )1kNNkkas TkkkATAHsH zssez2()()(),jaakkH eHjHjTT( )()ah nTh nT修

30、正修正第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计43/726.3.2 6.3.2 双线性变换法双线性变换法 n针对抽样响应不变法的混叠失真现象，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到 之间，再用 转换到z平面上T/sTez 1.1.变换原理变换原理第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计44/72频率压缩频率压缩 设设 经过非线性频率压缩后用经过非线性频率压缩后用 表示，这里用正切变换实现频率压缩：表示，这里用正切变换实现频率压缩：( ),aHs sj 111),( jssHa11tan2T 1111j/2-j/21j/2-j/2111ee

31、sin()2j211cos()ee22TTTTTT 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计45/72转换关系转换关系几种平面的映射几种平面的映射1111/2-/21/2-/21th2jTjTjTjTeejjTee 1111zsz11szsTsez111111th21s Ts TessTe11,sjsj 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计46/72待定系数的引入待定系数的引入 为了使滤波器的某一频率与数字滤波器的任一为了使滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应的关系，可以引入待定系数频率有对应的关系，可以引入待定系数c c 11tan2cT

32、11111th21s Ts TescsTce1111zsczcszcsn实现频率压缩：实现频率压缩：n实现实现s平面压缩：平面压缩：n转换到转换到z平面：平面：第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计47/722.2.常数常数c c的确定的确定n考虑当考虑当很小时，很小时， 即即 此时滤波器的低频特性得到很好的近似此时滤波器的低频特性得到很好的近似， 不适合于不适合于高通、带通滤波器高通、带通滤波器的设计的设计n考虑滤波器的截止频率考虑滤波器的截止频率 可以较准确的控制模拟截止频率的位置可以较准确的控制模拟截止频率的位置 11tan2cT 2cT1ccT 11tantan2

33、2ccccTc 12Tc cot2ccc 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计48/723. 3. 逼近情况逼近情况js由由cjzcj 122 222czc（1 1）当）当 时，时， ；这就是说，；这就是说，s s平面的平面的 轴映射轴映射z z平面的单位圆上。平面的单位圆上。（2 2）当）当 时，则有时，则有 ；这表明；这表明s s左半平面左半平面映射到映射到z z平面的单位圆内。两者均是稳定的。平面的单位圆内。两者均是稳定的。（3 3）当）当 时，则有时，则有 ；这表明；这表明s s右半平面右半平面映射到映射到z z平面的单位圆外。平面的单位圆外。0j01z1z1z

34、 0第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计49/72,jsjze 由由jcjecj 2arctanctan2c 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计50/72逼近情况的结论逼近情况的结论n模拟滤波器模拟滤波器Ha(s)中最大和最小值将保留在数字滤波器中最大和最小值将保留在数字滤波器中，因此模拟滤波器的通带或阻带变换成数字滤波器中，因此模拟滤波器的通带或阻带变换成数字滤波器的通带或阻带。的通带或阻带。n如果模拟滤波器是稳定的，则通过双线性变换后所得如果模拟滤波器是稳定的，则通过双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。的数字滤波器也一定是稳定的。n

35、由于由于s s平面的整个平面的整个j轴映射为轴映射为z z平面上的单位圆，因此平面上的单位圆，因此双线性变换法确实消除了冲激响应不变法所存在的混双线性变换法确实消除了冲激响应不变法所存在的混叠误差，所以逼近是良好的。叠误差，所以逼近是良好的。n在在和和间存在着严重的非线性。间存在着严重的非线性。第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计51/724.4.模拟滤波器的数字化模拟滤波器的数字化n系统函数系统函数1111111( )( )1aazs czzH zHsHcztan()2()()tan()2jaacH eHjHjcn频率响应频率响应第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器

36、的设计数字滤波器的设计52/725.5.优缺点优缺点n优点：优点：消除了抽样响应不消除了抽样响应不变法所固有的混叠误差变法所固有的混叠误差 n缺点：缺点：和和间存在着严间存在着严重的非线性重的非线性第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计53/726.6.双线性变换的表格设计双线性变换的表格设计n数字系统函数数字系统函数NNNNNkkkNkkkasBsBsBBsAsAsAAsBsAsH.)(221022100011112112)()(11zzTHsHzHazzTsaNNNNNkkkNkkkzbzbzbbzazazaazbzazH.)(221102211000n模拟系统函数：

37、模拟系统函数：n关系式：关系式：n查查书表书表6.3.16.3.1可得对应的系数可得对应的系数第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计54/726.4 6.4 数字高通、带通和带阻数字高通、带通和带阻IIRIIR滤波器的设计滤波器的设计映射关系映射关系见表见表6.4.16.4.1映射关系映射关系见表见表6.4.26.4.2第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计55/726.4.1 6.4.1 模拟频带法模拟频带法n设计步骤设计步骤（1 1）确定技术指标：确定技术指标：所需设计的数字滤波器所需设计的数字滤波器（2 2）转换技术指标：转换技术指标：数字滤波

38、器数字滤波器模拟滤波器模拟滤波器 （3 3）转换技术指标：转换技术指标：模拟滤波器模拟滤波器模拟低通滤波器模拟低通滤波器 按模拟频带的变换公式（按模拟频带的变换公式（6.4.16.4.1，6.4.66.4.6，6.4.106.4.10）（4 4）设计：设计：归一化模拟低通滤波器；归一化模拟低通滤波器；（5 5）系统函数变换：系统函数变换：模拟低通滤波器模拟低通滤波器模拟滤波器模拟滤波器 按频带法转换公式（按频带法转换公式（6.4.46.4.4，6.4.86.4.8，6.4.126.4.12）（6 6）数字化：数字化：模拟滤波器模拟滤波器数字滤波器数字滤波器（双线性变换法（双线性变换法) )2t

39、an2T 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计56/721.1.由模拟低通到模拟高通的变换由模拟低通到模拟高通的变换n频率变换关系式频率变换关系式1/:0pst :0stp 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计57/721.1.由模拟低通到模拟高通的变换由模拟低通到模拟高通的变换n频率变换关系式频率变换关系式1/1/()()HLHjHj1/( )( )HLpqHqHp( )( )( )ccsHHLqpsHsHqHpn频率特性关系频率特性关系n归一化系统函数归一化系统函数n系统函数系统函数第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计

40、58/722.2.由模拟低通到模拟带通的变换由模拟低通到模拟带通的变换n频率变换关系式频率变换关系式220n归一化截止频率归一化截止频率22202121ppppp012pp 21ppB / B 通带中心频率通带中心频率通带带宽通带带宽归一化频率归一化频率第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计59/722.2.由模拟低通到模拟带通的变换由模拟低通到模拟带通的变换n频率变换关系式频率变换关系式22021221()( )( )ppppsBpLpsHsHpn系统函数系统函数220qpq21221()ppppsps 将将 ， 代入，得复平面对应关系代入，得复平面对应关系pjqj去归

41、一化，将去归一化，将 代入上式，得代入上式，得sqB第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计60/723.3.由模拟低通到模拟带阻的变换由模拟低通到模拟带阻的变换n频率变换关系式频率变换关系式220n归一化截止频率归一化截止频率211ppp012pp 21ppB / B 阻带中心频率阻带中心频率阻带带宽阻带带宽归一化频率归一化频率第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计61/723.3.由模拟低通到模拟带阻的变换由模拟低通到模拟带阻的变换21222012()( )( )( )ppppssBBsLLppssHsHpHpn复平面转化复平面转化n系统函数系统函

42、数21222012()ppppssBpss 第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计62/72模拟频带法双线性变换的转换关系模拟频带法双线性变换的转换关系第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计63/726.4.2 6.4.2 数字频带法数字频带法n单位圆变换到单位圆单位圆变换到单位圆 低通原型滤波器低通原型滤波器所设计滤波器所设计滤波器( )LHu( ) ( )LH zHG z( )uG zn稳定、最小相位系统稳定、最小相位系统 n有理函数有理函数 要求：要求：arg()()jjjjG eeG ee1( )11( )11( )1zG zzG zzG z

43、第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计64/72频率变换函数频率变换函数n这就是各种滤波器所需要的频率变换函数。根据辐这就是各种滤波器所需要的频率变换函数。根据辐角原理，角原理，z z平面中的单位圆按反时针方向绕单位圆平面中的单位圆按反时针方向绕单位圆一周，相当于一周，相当于u u平面上绕了平面上绕了N N周，这样才能映射出周，这样才能映射出N N个通带的滤波器。个通带的滤波器。 一般形式一般形式( ),11zG zz1( ),11NkkkkzG zz 1111.( )( )1.()NNNNNNzd zdD zG zd zd zz D z 下式满足上述条件下式满足上述条件第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计65/721.1.数字低通到数字低通的变换数字低通到数字低通的变换映射其自身单位圆只一次，映射其自身单位圆只一次，N=1 ( )11zdzG zdzz11ccjjuzee sin2sin2cccc变换条件变换条件 变换关系变换关系 系数系数 截止频率关系截止频率关系 1cccjjjeee：原型滤波器的截止频率：原型滤波器的截止频率：设计滤波器的截止频率：设计滤波器的截止频率cc第第6 6章章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计66/722.2.数字低通到数字高通的变换数字低通到数字高通的变换映射其自身单位圆只一次，