斯托克斯公式-环流量与旋度

1、三、环流量与旋度三、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子四、向量微分算子 第十一章 一、斯托克斯一、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式n 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线 右手法则右手法则xyzo),(:yxfz xyD Cn证明证明设设与与平平行行于于z轴轴的的直直线线相相交交不不多多于于一一点点, , 并并取取上上侧侧,

2、,有有向向曲曲线线 C C 为为的的正正向向边边界界曲曲线线 在在xoy的的投投影影. .且且所所围围区区域域xyD. .如图如图思路思路曲面积分曲面积分二重积分二重积分曲线积分曲线积分12dsyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos( 代入上式得代入上式得又又,coscos yfdsfzPyPdxdyyPdzdxzPy cos)( dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)( 即即,),(,dxdyyxfyxPydxdyyPdzdxzPxyD yfzPyPyxfyxPy ),(,1 cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy),(,),(,dxyxfyxPdxdyyPdzdxz

3、Pc ),(,即即根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲线平面有向曲线2,),(dxzyxPdxdyyPdzdxzP 空间有向曲线空间有向曲线,),(dyzyxQdydzzQdxdyxQ 同理可证同理可证,),(dzzyxRdzdxxRdydzyR dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx.故有结论成立故有结论成立. RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一种形式另一种形式cos,cos,cos n其中其中便于记忆形式便于记忆形式StokesStokes公式的实质公式的实质: : 表达

4、了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系. .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形( (当是当是xoy面的平面闭区域时面的平面闭区域时) )例例 1 1 计计算算曲曲线线积积分分ydzxdyzdx , ,其其中中 是是平平面面1 zyx被被三三坐坐标标面面所所截截成成的的三三角角形形的的整整个个边边界界, ,它它的的正正向向与与这这个个三三角角形形上上侧侧的的法法向向量量之之间间符符合合右右手手规规则则. .二、简单的应用二、简单的应用0 xyDxyzn111解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, ,

5、有有dzyxdyzdx dxdydzdxdydz dxdydzdxdydz xyDd3xyo11xyD23 弦都为正，弦都为正，的法向量的三个方向余的法向量的三个方向余由于由于 再由对称性知：再由对称性知：如图如图xyDdzyxdyzdx 例例 2 2 计算曲线积分计算曲线积分dzyxdyxzdxzy)()()(222222 其中其中 是平面是平面23 zyx截立方体截立方体: :10 x, ,10 y, ,10 z的表面所得的截痕的表面所得的截痕, ,若从若从 ox轴的正向看去轴的正向看去, ,取逆时针方向取逆时针方向. .解解取取为为平平面面23 zyx的的上上侧侧被被 所所围围成成的的部

6、部分分. .则则1 , 1 , 131 nzxyo n 即即,31coscoscos dsyxxzzyzyxI 222222313131 dszyx)(34 ds2334 xyDdxdy332.29 )23( zyx上上在在xyD23 yx21 yx例3. 为柱面为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算.ddd2zxzyxyxyIoz2yx解解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222zRyQxPudddd*三、空间曲

7、线积分与路径无关的条件定理定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 内在函数GRQP,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有0dddzRyQxP(2) 对G内任一分段光滑曲线 , zRyQxPddd与路径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有zPxRyRzQxQyP,),(),(000ddd),(zyxzyxzRyQxPzyxu证:) 1 ()4(由斯托克斯公式可知结论成立;)2() 1 (自证) )3()2(设函数 则xu),(),(0ddd1limzyxxzyxxzRyQxPx0limxxzyxuzyxxu),(),(xx

8、xxxPxd1lim0),(lim0zyxxpx),(zyxP同理可证 ),(zyxQyu),(zyxRzu故有zRyQxPudddd)4()3(若(3)成立, 则必有RzuQyuPxu,因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有yxuyP2xQ同理zPxRyRzQ,证毕zyxyxzxzyd)(d)(d)(与路径无关, 并求函数zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: 令yxRxzQzyP,1xQyP,1yRzQyPxR1 积分与路径无关,),(zyxuzyxxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyo),(zyx)0 ,(yx)0

9、, 0 ,(xxxd00因此例4. 验证曲线积分验证曲线积分四、物理意义四、物理意义-环流量与旋度环流量与旋度.),(),(),(),(按所取方向的环流量按所取方向的环流量沿曲线沿曲线称为向量场称为向量场上的曲线积分上的曲线积分中某一封闭的有向曲线中某一封闭的有向曲线则沿场则沿场设向量场设向量场CARdzQdyPdxsdACAkzyxRjzyxQizyxPzyxACC 1. 1. 环流量的定义环流量的定义: :sdRQPzyxkjisdAC 环流量环流量利用利用stokesstokes公式公式, , 有有2. 2. 旋度的定义旋度的定义: :. )(ArotRQPzyxkji为向量场的旋度为向

10、量场的旋度称向量称向量 .)()()(kyPxQjxRzPizQyR RQPzyxkjiArot 旋度旋度ozxyl设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点, 建立坐标系如图,M则),(zyxr 角速度为 ,r), 0, 0(点 M 的线速度为rvvrotzyxkji00)0,(xy0 xykjizyx)2, 0, 0(2(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:斯托克斯公式的又一种形式斯托克斯公式的又一种形式其中其中,coscoscoskjin 的的单单位位法法向向量量为为kjit coscoscos 的的单单位位切切向向量量为为dSyPxQxRzPzQyRcos)(cos)(cos)(

11、dsRQP)coscoscos( 斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 dstAdSnArot dsAdSArottn)(或或其中其中 cos)(cos)(cos)()(yPxQxRzPzQyRnArotArotn coscoscosRQPnAAt Stokes公式的物理解释公式的物理解释: dsAsdArott环流量环流量Mv Lo rv zyxkji321 解解由力学知道点由力学知道点 的线速度为的线速度为M .22,2,2321 观察旋度观察旋度vrot由此可看出旋由此可看出旋度与旋转角速度与旋转角速度的关系度的关系.例例6. 求电场强度 rrqE3zyxkjiErot的旋度 .

12、解解: )0, 0, 0(除原点外)这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.3rxq3ryq3rzqzyxkjiArot的外法向量,计算解解: ) 1,0,0(SIdcosyxyxDdd28232zxy, 4:222zyx例7. 设设),3,2(2zxyA .drotSnAI)cos,cos,(cosn为n*五、向量微分算子定义向量微分算子:kjizyx它又称为( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子. ),() 1(zyxuu 设则kjiuzuyuxuugraduu2ugrad222222zuyuxuuA,),(),(),()2(kzyxRjzyxQizyxP

13、A则zRyQxPAdivARQPkjizyxSAvAnddArot高斯公式与斯托克斯公式可写成:sASAndd)(六、小结六、小结斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式斯托克斯公式 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz dsRQPzyxcoscoscos dstAdSnArot思考与练习,222zyxr设则.)radg(rot;)radg(divrr提示提示:rradgrzryrx,)(rxx2rrrxx,322rxr )(ryy322ryr )(rzz322rzr )0,0,0(r2)radg(rotr三式相加即得)radg(divrrzryrxzyxkji0练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、 20. . 二、二、34a . .三、三、jiArot . . 四、