第14章_电流第一部分

1、第第14章章第第14章主要内容章主要内容14.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义14.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质14.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换14.4 动态电路的复频域模型（运算电路）动态电路的复频域模型（运算电路）14.5 利用复频域法分析动态电路利用复频域法分析动态电路第第14章基本要求章基本要求1.了解拉普拉斯变换的基本概念以及了解拉普拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换；常见函数的拉普拉斯正变换；2. 利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行

2、拉普拉斯反变换；函数进行拉普拉斯反变换；3. 掌握利用拉普拉斯正反变换求解线性掌握利用拉普拉斯正反变换求解线性动态电路的复频域分析法。动态电路的复频域分析法。 第第14章章 第一讲：拉普拉斯变换的定义、第一讲：拉普拉斯变换的定义、基本性质及拉普拉斯反变换基本性质及拉普拉斯反变换 在高等数学中，为了把复杂的计算转化在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法，为较简单的计算，往往采用变换的方法，拉拉普拉斯变换普拉斯变换(简称拉氏变换简称拉氏变换)就是其中的一种。就是其中的一种。 拉氏变换拉氏变换是分析和求解常系数线性微分是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。用拉普拉斯

3、变换分析综合方程的常用方法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统线性系统(如线性电路如线性电路)的运动过程，在工程上的运动过程，在工程上有着广泛的应用。有着广泛的应用。拉普拉斯变换拉普拉斯变换本章与其它章节的联系及特点本章与其它章节的联系及特点1 本章讲述基于拉氏变换的动态电路的分析方法，称本章讲述基于拉氏变换的动态电路的分析方法，称为为运算法运算法；主要解决一般动态电路、特别是高阶动；主要解决一般动态电路、特别是高阶动态电路的分析问题；态电路的分析问题；2 是变换域分析方法（相量法）思想的延续，把时域是变换域分析方法（相量法）思想的延续，把时域问题变换为复频域问题。问题变换为复频域问题。3 具有两

4、个特点：一是把时间域的高阶微分方程变换具有两个特点：一是把时间域的高阶微分方程变换关为复频域的代数方程；二是将电流和电压的初始值关为复频域的代数方程；二是将电流和电压的初始值自动引入代数方程中，在变换处理过程中，初始条件自动引入代数方程中，在变换处理过程中，初始条件成为变换的一部分，所以成为变换的一部分，所以比求解时域微分方程更有规比求解时域微分方程更有规律性，这也是应用广泛的一个原因。律性，这也是应用广泛的一个原因。 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，是一种数学积分变换，其核心是把时间函数其核心是把时间函数 f(t) 与复变函数与复变函数 F(s) 联联系起来，把时域问题通过数

5、学变换转变为复系起来，把时域问题通过数学变换转变为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称电路分析称为电路的复频域分析法，又称运运算法算法。复复频域分析法（运算法）频域分析法（运算法） 对于一阶电路，根据基尔霍夫定律和元件的对于一阶电路，根据基尔霍夫定律和元件的VCR列出微分方程，根据换路后动态元件的初值求列出微分方程，根据换路后动态元件的初值求解微分方程。对于含有多个动态元件的复杂电路，解微分方程。对于含有多个动态元件的复杂电路，用经典的微分方

6、程法来求解比较困难（各阶导数在用经典的微分方程法来求解比较困难（各阶导数在t=0+时刻的值难以确定）。时刻的值难以确定）。拉氏变换法拉氏变换法是一种数学上是一种数学上的积分变换方法，可将时域的高阶微分方程变换为的积分变换方法，可将时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。频域的代数方程来求解。优点：不需要确定积分常数，适用于优点：不需要确定积分常数，适用于高阶复杂的动态电路。高阶复杂的动态电路。一些常用的变换一些常用的变换对数变换对数变换ABBAABBAlglglg 乘法运算变换乘法运算变换为加法运算为加法运算相量法相量法IIIiii2121 相量正弦量时域的正弦运算时域的正弦运算变换为复

7、数运算变换为复数运算拉氏变换拉氏变换F(s)( (频域象函数频域象函数) )对应对应f(t)( (时域原函数时域原函数) )14-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义定义式：设有一定义式：设有一个定义在个定义在0,)区间的时区间的时间函数间函数f(t)，其拉普拉斯变换式定义为：其拉普拉斯变换式定义为： tdetfsFt s0)()(其中，其中，s=+j 是复参变量，称为复频率。是复参变量，称为复频率。F(s)称为称为f(t)的象函数，的象函数， f(t)称为称为F(s)的原函的原函数；数；拉普拉斯变换拉普拉斯变换简称为拉氏变换。简称为拉氏变换。积分变换积分变换 0 )()(dtetfsFs

8、t 上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st称为收敛因子收敛因子，收敛因子中的s=+j是一个复数形式的频率，称为，其实部恒为正，虚部既可为正、为负，也可为零。上式左边的，是的拉氏变换， F(s)也叫做f(t)的。记作)()(tfLsFF(s)= f (t) 0 )()(dtetfsFst 式中式中L 是一个算子，表示对括号内的是一个算子，表示对括号内的函数进行拉氏变换。电路分析中所遇到的电函数进行拉氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时间的函数，因此其拉氏压、电流一般均为时间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。变换都是存在的。)(

9、)(tfLsFsdesFjtfjcjcts)(21)(c为正的有限常数。为正的有限常数。拉氏变换和拉氏反变换可简记如下拉氏变换和拉氏反变换可简记如下F(s)=Lf(t) ； f(t)=L-1F(s)如果复频域函数如果复频域函数F(s) 已知，要求出与它对应的已知，要求出与它对应的时域函数时域函数f(t) ，又要用到，又要用到拉氏反拉氏反(逆逆)变换变换，即：，即： 式中式中L-1 也是一个算子，表示对括号内也是一个算子，表示对括号内的象函数进行拉氏反变换。的象函数进行拉氏反变换。 在拉氏变换中，一个时域函数在拉氏变换中，一个时域函数f(t)唯一地对唯一地对应一个复频域函数应一个复频域函数F(s

10、)；反过来，一个复频；反过来，一个复频域函数域函数F(s)唯一地对应一个时域函数唯一地对应一个时域函数f(t)，即，即不同的原函数和不同的象函数之间有着一一不同的原函数和不同的象函数之间有着一一对应的关系对应的关系，称为，称为。在拉氏变换或反变换的过程中，在拉氏变换或反变换的过程中，而而如电压原函数为如电压原函数为，对应象函数为，对应象函数为。拉氏变换和拉氏反变换可简记如下拉氏变换和拉氏反变换可简记如下F(s)=Lf(t) ； f(t)=L-1F(s)一、阶跃函数一、阶跃函数1、单位阶跃函数、单位阶跃函数 (t)= 0 ，t02、阶跃函数、阶跃函数 f (t)=K(t)= 0 ， t0 单位阶

11、跃函数有时用单位阶跃函数有时用1(t)表示。表示。几种常见的函数几种常见的函数3、延迟阶跃函数、延迟阶跃函数 f (t)=K(tt0)= 0 ， t t0几种常见的函数几种常见的函数二、冲激函数二、冲激函数2、单位冲激函数、单位冲激函数0( )00ttt00( )1t dt 00100tPtt 1、单位脉冲函数、单位脉冲函数冲激函数的两个主要性质冲激函数的两个主要性质（1）ttdtt)()()()(tdttd( ) ( )(0) ( )f ttft( ) ( )(0)( )(0)f tt dtft dtf（2）筛分性质）筛分性质001)( dtt例例1：利用定义求解下列：利用定义求解下列 常用

12、函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换 dteeeLstatat 00)(1 taseasas 1 )()(0dtetfsFst)()(. 1ttf )()(. 2tetfat )()(. 3ttf 0)()(dtettLst 00)( dtt = 1 01stes 0)()(dtettLst 0dtests1 (t)s1 e-at=s+a1 (t)114-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质1、线性性质、线性性质 af1(t)bf2(t)=a f1(t)b f2(t) =aF1(s)bF2(s)说明：说明：若干个原函数的线性组合的若干个原函数的线性组合的象函数，等于各个原函数的象函数的

13、线象函数，等于各个原函数的象函数的线性组合。性组合。例例2：求：求sint 的象函数的象函数 。jeettjtj2sin2121tjtjejejLtnisL21tjtjeLeLj)jsjs(j 11212222221ssjj e-at=s+a1tjtetjsincos)2(costjtjeettnisL2、时域导数、时域导数性质性质 :设设Lf (t)=F(s)，则有则有)0()()0()()(fsFsftfLstftddLf(t)的二阶导数的象函数，可重复利用微分定理的二阶导数的象函数，可重复利用微分定理 =ssLf(t)-f(0-) f (0-) =s2 F(s)-sf(0-) f (0-

14、) )0()()(22ftftddLStftddL)0()()(fsFstfL时域导数性质时域导数性质f(t)的的n阶导数的象函数应为阶导数的象函数应为 )0()0()0()0()( )() 1(0)2(21nnnnnnnfsfsfsfstfLstftddL)(sin(1)cos() 1:tdtdLtL解例例3：应用导数性质求下列函数的象函数。：应用导数性质求下列函数的象函数。).()()2);cos()()1ttfttf )()()2tdtdt由于)0(122ss22ss)()(tdtdLtLstL1)(01ss1)0()()(fsFstftddL)cos( tL3.频域导数性质频域导数性质

15、dssdFttfL)()(则：)()(sFtfL设：)1(sdsd)(4ttL：例21s)1(asdsd5atteL：例2)(1as4、积分、积分性质性质 :设设Lf (t)=F(s)，则有则有)(1)(1)(0sFstfLstdtfLt20111)(1)()(ssstLstdtLttLt例例6：3202111)(1)()(2sssttLstdttLttLt5.时域延迟性质时域延迟性质f(t) (t)ttf(t-t0) (t-t0)t0)()()(000sFettttfLst则：0)()()(00ttfttsFtfL时，当设：此性质表明此性质表明f (t)推迟推迟t0出现，则象函数应乘以出现，

16、则象函数应乘以一个时延因子一个时延因子 。0tse 例例7 求图示矩形脉冲的象函数求图示矩形脉冲的象函数1Ttf(t)()()(Ttttf sTesssF11)(TTf(t)()()(Tttttf 221)(sessFsT)()()(000sFettttfLst0-1积分积分 )(t )( t )( tt )( ttn 1 1 S2s1 1! nsn )(sintt )(costt )(e t-t )(sine t-tt )(et-ttn 22s22sSs122)(s1)(!nsn小结：小结：)()()(000sFettttfLst微分微分回顾回顾常用信号的象函数常用信号的象函数原函数原函数象

17、函数象函数原函数原函数象函数象函数1s t ttsintcos ttesintetcostettte11s22s22ss22s22ss21s21s(1)利用定义利用定义dsesFjtfstjcjc)(21)(2)对对F(s)进行部分分式展开进行部分分式展开)()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn 14-3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 利用拉普拉斯反变换进行系统分析时，常利用拉普拉斯反变换进行系统分析时，常常需要从象函数常需要从象函数F(s)中求出原函数中求出原函数f(t)，这就要，这就要用到拉氏反变换。求解反变换的方法如下：用到拉氏反变换。求解反变换的方

18、法如下：利用拉氏变换表，将象函数F(s)展开为简单分式之和，再逐项求出其拉氏反变换的方法。nnnnmmmmbsbsbsbasasasasDsNsF11101110)()()( 其中其中m和和n为正整数，且为正整数，且nm。 把把F(s)分解成若干简单项之和，需要对分母分解成若干简单项之和，需要对分母多项式作因式分解，求出多项式作因式分解，求出D(s)的根。的根。D(s)的根可的根可以是单根、共轭复根和重根以是单根、共轭复根和重根3种情况，下面逐一种情况，下面逐一讨论。讨论。nn2211)(ssksskssksF 1)()(11sssFssk2)()(22sssFssknssnnsFssk)()

19、(1D(s)有有n个单根个单根同理可得同理可得 设设n个单根分别为个单根分别为s1、s2、sn ，于是，于是F2(s)可以展开为可以展开为式中式中k1、k2、k3、kn 为待定系数。这些系数可以按为待定系数。这些系数可以按下述方法确定，即把上式两边同乘以下述方法确定，即把上式两边同乘以 (s-s1)，得，得令令s=s1，则等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得，则等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得)()()(sDsNsFnnssksskssksF 2211)()(1ss )(1ss )(1ss )(1ss nn2211)(ssksskssksF 1D(s)有有n个单根个单根)()(1s

20、FLtf 待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为：tsntstsnekekek2121nn22111sskssksskL iississiisDsssNsFssk)()()()()()()(limsDsNsssNissi)()(iisDsN不定式不定式00 另外把分部展开公式两边同乘另外把分部展开公式两边同乘以以(s-si),再令再令ssi，然后引用数学中的罗比塔法则，可得：然后引用数学中的罗比塔法则，可得：nnnnmmmmbsbsbsbasasasasDsNsF11101110)()()(tsntstsnekekeksFLtf21211)()( 待定

21、系数确定之后，对应的原函数求解公式为待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为：6554)(:2ssssF例3221sksk21354sssk3725432sssktteetf3273)(3723)(sssF065)(2sssD：令解3, 221ss则)()()(sDsNsF)3)(2(54sss1)()(11sssFssk2) 3)(2(54)2(sssss6554)(:2ssssF例tteetf3273)(52)(ssD065)(2sssD：令解3, 221ss则35254)()(211ssssssDsNk75254)()(322ssssssDsNk)()()(sDsNsF32)(21sks

22、ksF3221sksk例例。的原函数的原函数求求)(10712)(23tfsssssF 解：令解：令D(s)=0，则则 s1 = 0，s2=2，s3=5 10143)(2 sssD1 . 01014312)()(0211sssssssDsNktteetf526 . 05 . 01 . 0)( 332211)(ssksskssksF5 . 01014312)()(2222sssssssDsNk6 . 01014312)()(5233sssssssDsNk有共轭复根，设0)(. 2sDmnjs2, 1)()()()()()(sQjsjssNsDsNsF)()(21sQsPjskjskjsjssDs

23、NsFjsk)()()()(1jsjssDsNsFjsk)()()()(2tjtjekektf)(2)(1)(k1、k2也是一对共轭复根也是一对共轭复根111211 jjekkekk ，则，则设设tjtjekektf)(2)(1)()cos(211tekttjtjtjtjeeekeeek1111)()(111tjtjteeek有共轭复根，设0)(. 2sDmnjs2, 1)()()()()()(sQjsjssNsDsNsF)()(21sQsPjskjsk)cos(2)(11tektft共轭复根中的共轭复根中的s1虚部一定是正的！虚部一定是正的！。的原函数求例)(523)(2tfssssF21,

24、 0)(1jssD则解：令 4525 . 0223)()(21211jSjssssDsNk)452cos(2)(1tektft 4525 . 0223)()(21212jSjssssDsNk2211)(sskssksF)452cos(2tet212js 设设s1为为D(s)的二重根的二重根，则则F(s)可分解为：可分解为：2111112)()(sskssksF1112121)()()(kksssFss1)()(2111sssFssk1)()(2112sssFssdsdk由上式把由上式把k11单独分离出来，可得：单独分离出来，可得：再对式子中再对式子中s进行一次求导，让进行一次求导，让k12也单

25、独分离出来，得：也单独分离出来，得：重根有，设nsDmn0)(. 3 )()()(21sssNsF21)()(sFss12k 如果如果D(s)具有多重根时，利用上述方法可以具有多重根时，利用上述方法可以得到各系数，即：得到各系数，即：1 )()()!1(11111ssqqqqsFssdsdqk222211) 1() 1(sksksk2) 1(4sss例：4) 1(4)0(021sssssk3) 1(4) 1(12222sssssk1221)() 1(ssFsdsdk441sssdsdttteetf 344)(2222131321211) 1() 1() 1()(sksksksksksF11)() 1(12131