第八章多元函数积分学3

1、8.3 重积分的应用重积分的应用一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. . d d dyxf),( dyxf),(),(yx 若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应相应地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且在闭区域在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，时，相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示为 的形式，的形式，其中其中 在在 内这个内

2、这个 称为所求量称为所求量U的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为，所求量的积分表达式为 DdyxfU ),(dU设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,Dd 设小区域设小区域,),( dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS .dsdAdAdsszd 则则有有，为为；截截切切平平面面为为柱柱面面，截截曲曲面面轴轴的的小小于于边边界界为为准准线线，母母线线平平行行以以如图，如图， d),(yxMdAxyzs o 二、曲面的面积,面上的投影面上的投影在在为为xoydAd ,cos dAd,11cos22

3、yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .122dzdxAzxDxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求求球球面面2222azyx ，含含在在圆圆柱柱体体axyx 22内内部部的的那那部部分分面面积积.由由对对称称性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222

4、yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面积积dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 例例 2 2 求求由由曲曲面面azyx 22和和222yxaz )0( a所所围围立立体体的的表表面面积积.解解解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy xyz 221yxzz22221 ayax,441222yxa

5、a 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a),(yx 设设xoy平面上有平面上有n个质点，它们分别位于个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别处，质量分别为为nmmm,21则该质点系的则该质点系的重心重心的坐标为的坐标为 niiniiiymxmMMx11， niiniiixmymMMy11三、平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其其中中,),()

6、,( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法类似地，三重积分可计算空间物体的重心坐标类似地，三重积分可计算空间物体的重心坐标(P121)例例 3 3 设平面薄板由设平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，)20( t与与x轴围成，它的面密度轴围成，它的面密度1 ，求形心坐标，求形心坐标解解先求区域先求区域 D的面积的面积 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )( xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(02

7、01xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所所求求形形心心坐坐标标为为 ),(65 a.由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称 ， 设设xoy平面上有平面上有n个质点，它们分别位于个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别处，质量分别为为nmmm,21则该质点系对于则该质点系对于x轴和轴和y轴轴的的转动惯量转动惯量依次为依次为 niiixymI12， niiiyxmI12.四、平面薄片的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的

8、闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量为为薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y类似地，三重积分可计算空间物体的对坐标轴，坐类似地，三重积分可计算空间物体的对坐标轴，坐标面及原点的转动惯量标面及原点的转动惯量(P122)例例 4 4 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别分别 为为a、b，求这三角形对其中任一直角边的，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量转动惯量.解解设设三三角角形形的的两两直直角角边边分分别别在在x轴轴和和y轴轴上上，如如图图aboyx对对y轴轴的的转转动动惯惯量量为为,2dxdyxIDy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同同理理：对对x轴轴的的转转动动惯惯量量为为dxdyyIDx 2 .1213 ab 解解先先求求形形心心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx, hbA 区域面积区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,