311两角差的余弦公式

1、第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式1.1.理解两角和与差的余弦公式及推导过程；理解两角和与差的余弦公式及推导过程；( (难点）难点）3.3.掌握掌握“变角变角”和和“拆角拆角”的方法的方法. .( (重、难点）重、难点）2.2.掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用公式进行掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用公式进行简单三角函数式的化简、求值；简单三角函数式的化简、求值；( (重点）重点） 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上. .如图所示如图所示, , 在地平面上有一点在地平面上有一点A,A,测得测得

2、A A、C C两点间距离约为两点间距离约为6060米米, ,从从A A观观测电视发射塔的视角测电视发射塔的视角(CAD)(CAD)约为约为4545, CAB=15, CAB=15. .求这求这座电视发射塔的高度座电视发射塔的高度. .BDAC604515CDBDBC,BDABtan60AB60cos15 ,BC60sin15 .cos15?sin15?对于对于3030，4545，6060等特殊角的三角函数值可以直接写等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出出，利用诱导公式还可进一步求出150150，210210，315315等角的三角函数值等角的三角函数值. .我们希望再引

3、进一些公式，能够求更我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据理论依据. .两角差的余弦公式的推导两角差的余弦公式的推导154530 ,cos15coscos=(45 -30 ).(45 -30 )=？若若 为两个任意角为两个任意角, , 则则 成立吗成立吗? ?，cos()coscos 60 ,30 ,30 )coscos30 . 令显然cos ( 6060要获得要获得 的表达式需要哪些已学过的知识？的表达式需要哪些已学过的知识？cos() 涉及涉及 三角的余弦值，可以考虑联系单位圆上三角的余弦

4、值，可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的夹角公式的三角函数线或向量的夹角公式. .PP1OxyA AB BC CM如图，设角如图，设角 为锐角，且为锐角，且， ，1PMxPAOP作轴，cos() OMOB BMOAcosAPsincos cossin sin . 法一（三角函数线）法一（三角函数线）OAcossinOBcossin，, , ,OA OBOA OB cos()cos(). OA OBcoscossinsin . BA1-1yxo在单位圆中在单位圆中cos()coscossinsin . 法二（向量法）法二（向量法）x xy yP PP P1 1M MB BO OA AC Cs

5、incoscoscossin sin+1 11 1法三（几何法）法三（几何法）C - - 差角的余弦公式差角的余弦公式, 对于任意角对于任意角cos() cos cossin sin - - + + 一句话要诀：一句话要诀：“余余正正符合反余余正正符合反”1.例 利用差角余弦公式求cos15的值公式的运用公式的运用 coscoscos45 cos30sin45 sin30解法115（45 -30）=2321222262.4完成本题后，你会求完成本题后，你会求 的值吗？的值吗？coscoscoscos45sin60 sin45解法215（60 -45）=60sin7526sin75cos15.4

6、1232222226.4把非特殊角变为把非特殊角变为特殊角特殊角,把未知角把未知角变为已知角变为已知角.452.sin,(, ),cos,5213cos(). 例 已知是第三象限角，求的值cos(),要计算应作哪分析：些准备？24sin,(, ),5231 sin;5 解：由得cos =-cos()coscossinsin35412() ()51351333.65 （）25cos,1312sin1 cos.13 又由是第三象限角，得利用同角的三角利用同角的三角函数关系式求值函数关系式求值时，要注意角的时，要注意角的范围范围.先求两角的正、余弦值，再代入差角余弦公式求值先求两角的正、余弦值，再代

7、入差角余弦公式求值. .提升总结提升总结3.cos13 cos17sin13 sin17(2)cos160cos50sin160cos40 .例 求值：(1)；(2)cos160cos50sin160cos40cos160cos50sin160sin50cos13cos17sin13sin173cos(13)cos30;2(1)解：3.2=cos(1600 )cos30 coscossinsincos(). 公式的逆用公式的逆用: :13coscos()0,252cos . 例4.已知= ，=- ，, 求coscos (). 提拆想:：角思示13cos0,sin,222 解 由= ，得：3co

8、s()0,5.45 由=- ，得sin( + )=coscos ()cos()cossin()sin314334 3.525210 利用差角公式求值时，常常进行角的分拆与组合利用差角公式求值时，常常进行角的分拆与组合. .即公式的变形应用即公式的变形应用. .1.cos175 cos55sin175 sin55122.cos(21 )cos(24 )sin(21 )sin(24 )22. . .33.().23 3已知cos = ，2，求cos(5223cos()2sin1 cos1 ( ) 3= ，解：，2 ，534，55cos()coscossinsin3331334 3().2210 3

9、4555()(,).2336125cos()sin().313313 解，：0， ，124.(2012cos(),313cos.济南高一检测)已知为锐角，求coscos()33cos()cossin()sin333312153125 3.13213226 cos()coscossinsin 1.1.两角差的余弦公式：两角差的余弦公式：2.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时（或正弦）值时, , 要注意该角所在的象限，从而确定要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号该角的三角函数值符号. .3.3.在差角的余弦公式中，在差角的余弦公式中， 既可以是单角，也可以既可以是单角，也可