算法案例1 辗转相除法与更相减损术

1、紐绅中学紐绅中学新课导入新课导入方法：方法： 先用两个公有的质因数连续去除，一先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。有的除数连乘起来。解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 1 2 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。 得：18和24最大公约数是：236 例、求例、求18与与24的最大公约数：的最大公约数：短除法短除法求算出求算出8256和和6105的最大公约数的最大公约数解析解析: 如果按照以上的方法求最大公约数，如果按照以上的方法求最大公约数，会很麻烦，而其工作量也很多。会很麻烦，而其

2、工作量也很多。除了用这种方法外还有没有其它方法？除了用这种方法外还有没有其它方法？辗转相除法（辗转相除法（欧几里得算法欧几里得算法）观察用辗转相除法求观察用辗转相除法求8251和和6105的最大公约数的过程的最大公约数的过程 第一步第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146结论：结论： 8251和和6105的公约数就是的公约数就是6105和和2146的公约数，的公约数，求求8251和和6105的最大公约数，只要求出的最大公约数，只要求出6105和和2146的公约的公约数就可以了。数就可以了。第二步第二步 对对610

3、5和和2146重复第一步的做法重复第一步的做法6105=21462+1813同理同理6105和和2146的最大公约数也是的最大公约数也是2146和和1813的最大公约数。的最大公约数。 完整的过程完整的过程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例例2 用辗转相除法求用辗转相除法求225和和135的的最大公约数。最大公约数。225=1351+90135=901+4590=452+0显然显然37是是148和和37的最大的最大公约数，也就是公约数，也就是8251和和6105的最大公

4、约数的最大公约数 显然显然45是是90和和45的最大公约数，也就是的最大公约数，也就是225和和135的最大公约数的最大公约数 思考思考1：从上面的两个例子可以看出计从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？算的规律是什么？ S1：用大数除以小数：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复：重复S1，直到，直到余数为余数为0算法步骤！算法步骤！用程序框图表示出过程用程序框图表示出过程r=m MOD nm = nn = rr=0?是是否否 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止停止的步骤，这实际上是一的步骤，这

5、实际上是一个个 结构结构。？循环循环辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法（欧几里得算法） 所谓辗转相除法所谓辗转相除法，就是对于给定的两，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时除尽，则这时较小的数较小的数就是原来两个数的就是原来两个数的最大公约数最大公约数。辗转相除法算法步骤：辗转相除法算法步骤：第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数m,n(mn)；第二步：计算第二步：计算m除以除以n

6、所得的余数所得的余数r；第三步：第三步：m=n,n=r；第四步：若第四步：若r0,则则m,n的最大公约数等于的最大公约数等于m； 否则转到第二步；否则转到第二步；第五步：输出最大公约数第五步：输出最大公约数m。程序框图程序框图开始开始输入输入m,n r=m MOD n m=nr=0?是是否否 n=r 输出输出m结束结束程序程序INPUT “m,n=”;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND求求8251和和6105的最大公约数。的最大公约数。148=37 4+0=378251=61051+21466105=2146 2+1813=（2146

7、，1813）2146=1813 1+333=（1813，333）1813=333 5+148=（333，148）333=148 2+37=（148，37） （8251，6105）解：解：=（6105，2146）九章算术九章算术更相减损术更相减损术 算理：算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否任意给定两个正整数；判断他们是否都是都是偶数。若是，则用偶数。若是，则用2 2约简；若不是则执行第二步。约简；若不是则执行第二步

8、。第二步：第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止直到所得的减数和差相等为止，则这个数（等数），则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数最大公约数。例例1、用用更相减损术求更相减损术求98与与63的最大公约数。的最大公约数。解析：解析：由于由于63不是偶数，把不是偶数，把98和和63以大数减以大数减小数，并辗转相减。小数，并辗转相减。按照算法步按照算法步骤来求解！骤来求解！= 7所以，

9、所以，98和和63的的最大公约数最大公约数等于等于7。98-63=35 63-35=28=（35，28）35-28=7=（28，7）28-7=21=（21，7）21-7=14=（14，7）14-7=7=（7，7） （98，63）解：解： =（63，35） 更相减损术更相减损术 所谓更相减损术所谓更相减损术，就是对于给定的两，就是对于给定的两个数，用个数，用较大的数减去较小的数较大的数减去较小的数，然后将，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等差数和较小的数相等，此时

10、，此时相等的两数相等的两数便便为原来两个数的为原来两个数的最大公约数最大公约数。更相减损术算法更相减损术算法描述：描述：第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数a,b(ab);第二步：若第二步：若a不等于不等于b ,则执行第三步；否则转则执行第三步；否则转 到第五步；到第五步；第三步：把第三步：把a-b的差赋予的差赋予r;第四步：如果第四步：如果br, 那么把那么把b赋给赋给a,把把r赋给赋给b;否否 则把则把r赋给赋给a，执行第二步；，执行第二步；第五步：输出最大公约数第五步：输出最大公约数b。算法步骤！算法步骤！a=r开始开始输入输入a,bab?是是否否 输出输出b结束结束 b=ra=

11、br=a-brb?否否是是程序框图程序框图程序程序INPUT “a,b=”;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND 例例2 2、分别用分别用辗转相除法和更相减损术辗转相除法和更相减损术求求168168与与9393的最大公约数的最大公约数. . 168=93168=931+751+75， 93=7593=751+181+18， 75=1875=184+34+3， 18=318=36+6+0 0辗转相除法：辗转相除法：更相减损术更相减损术: : 168-93=75 168-93=75， 93-75=189

12、3-75=18， 75-18=5775-18=57， 57-18=3957-18=39， 39-18=2139-18=21， 21-18=321-18=3， 18-3=1518-3=15， 15-3=1215-3=12， 12-3=912-3=9， 9-3=69-3=6， 6-6-3 3= =3 3. .例例3、求求324、243、135这三个数这三个数的最大公约数。的最大公约数。思路分析：思路分析：求三个数的最大公约数可以求三个数的最大公约数可以先求出先求出两个数的最大公约数两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数大公约数的最大公约数即为所求。即为所求。（1 1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以法以除法为主除法为主，更相减损术以，更相减损术以减法为主减法为主，计算次数，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当上辗转相除法计算次数相对较少，特别