2015届高考数学文二轮专题训练专题六第2讲椭圆、双曲线、抛物线

1、精选优质文档-倾情为你奉上第2讲椭圆、双曲线、抛物线考情解读1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(

2、2a|F1F2|)|PF|PM|，点F不在直线l上，PMl于M标准方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(±a,0)(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(，0)轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b离心率e(0e1)e(e1)e1准线x渐近线y±x热点一圆锥曲线的定义与标准方程例1若椭圆C：1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF2|4则F1PF2等于()A30° B60° C120

3、6; D150°(2)已知抛物线x22py(p>0)的焦点与双曲线x2y2的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P到x轴的距离为m，P到直线l：2xy40的距离为n，则mn的最小值为_思维启迪(1)PF1F2中利用余弦定理求F1PF2；(2)根据抛物线定义得m|PF|1.再利用数形结合求最值答案(1)C(2)1解析(1)由题意得a3，c，所以|PF1|2.在F2PF1中，由余弦定理可得cosF2PF1.又因为cosF2PF1(0°，180°)，所以F2PF1120°.(2)易知x22py(p>0)的焦点为F(0,1)，故p2，因此抛物线方程为x

4、24y.根据抛物线的定义可知m|PF|1，设|PH|n(H为点P到直线l所作垂线的垂足)，因此mn|PF|1|PH|.易知当F，P，H三点共线时mn最小，因此其最小值为|FH|111.思维升华(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化(2)注意数形结合，画出合理草图(1)已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1 B

5、.1C.1 D.1(2)如图，过抛物线y22px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29xBy26xCy23xDy2x答案(1)D(2)C解析(1)椭圆的离心率为，a2b.椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为x±y0，渐近线x±y0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b4，b25，a24b220.椭圆C的方程为1.(2)如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知，|A

6、F|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130°，A1AF60°.连接A1F，则A1AF为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于N，则|NF|A1F1|AA1|AF|，即p，抛物线方程为y23x，故选C.热点二圆锥曲线的几何性质例2(1)已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，若F1PF2，则e等于()A. B. C. D3(2)设F1，F2分别是椭圆1 (a>b>0)的左，右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离

7、心率的取值范围是()A. B.C. D.思维启迪(1)在F1F2P中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点P坐标为(，y)，考察y存在的条件答案(1)C(2)D解析(1)设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，|PF1|m，|PF2|n，且不妨设m>n，由mn2a1，mn2a2得ma1a2，na1a2.又F1PF2，4c2m2n2mna3a，4，即4，解得e，故选C.(2)设P，线段F1P的中点Q的坐标为，当存在时，则，kQF2，由1，得y2，y20，但注意到b22c20，即2c2b2>0，即3c2a2>0，即e2>，故<

8、e<1.当不存在时，b22c20，y0，此时F2为中点，即c2c，得e，综上，得e<1，即所求的椭圆离心率的取值范围是.思维升华解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等已知O为坐标原点，双曲线1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若()·0，则双曲线的离心率e为()A2 B3 C. D.(2)(2014·课标全国)已知F为双

9、曲线C：x2my23m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B3 C.m D3m答案(1)C(2)A解析(1)设OF的中点为C，则2，由题意得，2·0，ACOF，AOAF，又OAF90°，AOF45°，即双曲线的渐近线的倾斜角为45°，tan 45°1，则双曲线的离心率e ，故选C.(2)双曲线C的标准方程为1(m>0)，其渐近线方程为y± x±x，即y±x，不妨选取右焦点F(，0)到其中一条渐近线xy0的距离求解，得d.故选A.热点三直线与圆锥曲线例3过椭圆1(a>b&g

10、t;0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知.(1)求椭圆的离心率；(2)设动直线ykxm与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q，若x轴上存在一定点M(1,0)，使得PMQM，求椭圆的方程思维启迪(1)根据和点B在椭圆上列关于a、b的方程；(2)联立直线ykxm与椭圆方程，利用0，·0求解解(1)A(a,0)，设直线方程为y2(xa)，B(x1，y1)，令x0，则y2a，C(0,2a)，(x1a，y1)，(x1,2ay1)，x1a(x1)，y1(2ay1)，整理得x1a，y1a，点B在椭圆上，()2()2·1，即1e2，e.

11、(2)，可设b23t，a24t，椭圆的方程为3x24y212t0，由，得(34k2)x28kmx4m212t0，动直线ykxm与椭圆有且只有一个公共点P，0，即64k2m24(34k2)(4m212t)0，整理得m23t4k2t，设P(x1，y1)则有x1，y1kx1m，P(，)，又M(1,0)，Q(4,4km)，x轴上存在一定点M(1,0)，使得PMQM，(1，)·(3，(4km)0恒成立，整理得34k2m2.34k23t4k2t恒成立，故t1.椭圆的方程为1.思维升华待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦

12、长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解已知椭圆C：1(a>b>0)的焦距为2，且过点(1，)，右焦点为F2.设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点(1)求椭圆C的方程；(2)求·的取值范围解(1)因为焦距为2，所以a2b21.因为椭圆C过点(1，)，所以1.故a22，b21.所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意，当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x，此时P(，0)，Q(，0)，得·1.当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k(k0)，M(，m)(m0)，A(x1，y1)，B(x2

13、，y2)，由得(x1x2)2(y1y2)·0，则14mk0，故4mk1.此时，直线PQ的斜率为k14m，直线PQ的方程为ym4m(x)即y4mxm.联立消去y，整理得(32m21)x216m2x2m220.设P(x3，y3)，Q(x4，y4)所以x3x4，x3x4.于是·(x31)(x41)y3y4x3x4(x3x4)1(4mx3m)(4mx4m)(4m21)(x3x4)(16m21)x3x4m211m2.由于M(，m)在椭圆的内部，故0<m2<，令t32m21,1<t<29，则·.又1<t<29，所以1<·&l

14、t;.综上，·的取值范围为1，)1对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础2椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2By21，其中A、B是不等的常数，A>B>0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B>A>0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB<0时表示双曲线3求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a，c，计算e；(2)根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求.4通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径

15、长是2p，过抛物线焦点的弦中通径最短椭圆上点到焦点的最长距离为ac，最短距离为ac.5抛物线焦点弦性质：已知AB是抛物线y22px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2；(2)|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)；(3)SAOB；(4)为定值；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切真题感悟1(2014·湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B.C3 D2答案A解析设|PF1|r1，|PF2|r2(r1>r2)，|

16、F1F2|2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2rr2r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由得.令m，当时，mmax，()max，即的最大值为.2(2014·辽宁)已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B.C. D.答案D解析抛物线y22px的准线为直线x，而点A(2,3)在准线上，所以2，即p4，从而C：y28x，焦点为F(2,0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14×(2k3)

17、0，所以k2或k.因为切点在第一象限，所以k.将k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为.押题精练1已知圆x2y2上点E处的一条切线l过双曲线1(a>0，b>0)的左焦点F，且与双曲线的右支交于点P，若()，则双曲线的离心率是_答案解析如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH，由题意可知|OE|，由()，可知E为FP的中点由双曲线的性质，可知O为FH的中点，所以OEPH，且|OE|PH|，故|PH|2|OE|.由双曲线的定义，可知|PF|PH|2a(P在双曲线的右支上)，所以|PF|2a|PH|.因为直线l与圆相切，所以PFOE.又

18、OEPH，所以PFPH.在PFH中，|FH|2|PH|2|PF|2，即(2c)2()2()2，整理得，即e.2设椭圆1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)若|AP|OA|，证明：直线OP的斜率k满足|k|>.(1)解设点P的坐标为(x0，y0)，y00.由题意，有1.由A(a,0)，B(a,0)，得kAP，kBP.由kAP· kBP，可得xa22y，代入并整理得(a22b2)y0.由于y00，故a22b2.于是e2，所以椭圆的离心率e.(2)证明方法一依题意，直线

19、OP的方程为ykx，设点P的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理，得x，由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00.而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k224.又a>b>0，故(1k2)2>4k24，即k21>4，因此k2>3，所以|k|>.方法二依题意，直线OP的方程为ykx，可设点P的坐标为(x0，kx0)由点P在椭圆上，有1.因为a>b>0，kx00，所以<1，即(1k2)x<a2.由|AP|OA|及A(a,0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)

20、x2ax00，于是x0.代入，得(1k2)<a2，解得k2>3，所以|k|>.(推荐时间：60分钟)一、选择题1已知椭圆1(0<b<2)，左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是()A1 B. C. D.答案D解析由椭圆的方程，可知长半轴长a2；由椭圆的定义，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即3，可求得b23，即b.2已知双曲线1(a>0，b>0)以及双曲线1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线1的离

21、心率为()A2或 B.或C2或 D.或答案A解析由题意，可知双曲线1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则或.则e 或2.故选A.3已知双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是yx，可设双曲线的方程为x2(>0)因为双曲线1(a>0，b>0)的一个焦点在抛物线y224x的准线上，所以F(6,0)是双曲线的左焦点，即336，9，所以双曲线的方程为1.故选B.4已知椭圆1 (a>b

22、>0)，A(4,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且·0，|2|，则其焦距为()A. B.C. D.答案C解析由题意，可知|，且a4，又|2|，所以，|2|.故|.又·0，所以.故OAC为等腰直角三角形，|2.不妨设点C在第一象限，则点C的坐标为(2,2)，代入椭圆的方程，得1，解得b2.所以c2a2b242，c.故其焦距为2c.5设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案D解析由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y(x)，即4x4y30.方

23、法一联立抛物线方程，化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|××6.方法二联立方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOAB|AB|·h.6椭圆M：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且1·2的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A， B，C(，1) D，1)答案B解析设P(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，则(cx，y)，(cx，y)，·x2y2c2.又x2y

24、2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2y2)maxa2，所以(·)maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，所以e.故选B.二、填空题7(2014·北京)设双曲线C经过点(2,2)，且与x21具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_答案1y±2x解析设双曲线C的方程为x2，将点(2,2)代入上式，得3，C的方程为1，其渐近线方程为y±2x.8已知点P(0,2)，抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，线段PF与抛物线C的交点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若PQF90°，则p_.答案解析由抛物线的定义可得

25、|MQ|MF|，F(，0)，又PQQF，故M为线段PF的中点，所以M(，1)，把M(，1)，代入抛物线y22px(p>0)得，12p×，解得p，故答案为.9抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线1的右焦点重合，过点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为_答案11解析因为双曲线1的右焦点坐标是(3,0)所以3，所以p6.即抛物线的标准方程为y212x.设过点P(2,0)且斜率为1的直线l的方程为yx2，联立y212x消去y可得x216x40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x216，所以弦AB的中点到抛物线准线的距离为

26、11.故填11.10已知F1，F2是双曲线1(a>0，b>0)的左，右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若|OA| b，则该双曲线的离心率为_答案解析延长F2A交PF1于B点，则|PB|PF2|，依题意可得|BF1|PF1|PF2|2a.又因为点A是BF2的中点所以得到|OA|BF1|，所以ba.所以ca.所以离心率为.三、解答题11已知曲线C上的动点P(x，y)满足到定点A(1,0)的距离与到定点B(1,0)的距离之比为.(1)求曲线C的方程；(2)过点M(1,2)的直线l与曲线C交于两点M、N，若|MN|4，求直线l的方程解(1)由题意得|PA|PB|故化简得：x2y26x10(或(x3)2y28)即为所求(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1.将x1代入方程x2y2