矩阵的初等变换

1、1一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换第四节矩阵的初等变换 第二二章 二、初等矩阵二、初等矩阵2下列三种变换称为方程组的三种（1）两个方程互换位置；（2）用一个非零数 k 乘某个方程；（3）某个方程的常数倍加到另一个方程上去。初等变换初等变换324412422321321321xxxxxxxxx解解以下用注意方程组的初等变换与方程组的系数和常数组成引例引例 解非齐次线性方程组 32442121422321321321xxxxxxxxx241412114212A的增广矩阵增广矩阵A 之间的联系。分别代表第一、第二、第三个方程，(1)(2)(3)4 32442121422321321321xxxx

2、xxxxx212411214142A互换（1）与（2）的位置得24442212321321321xxxxxxxxx 24144212121121rr（2）（1）2，（3）（1）4243223123232321xxxxxxx 243022301211131242rrrr（3）（2）54222312332321xxxxxx42002230121123rr（阶梯形方程组）（行阶梯形矩阵）消元过程结束，（3）（-1/2）222312332321xxxxxx 210022301211)21(3r（1）（3）2，（2）+（3）226333221xxxx 210060303011323122rrrr以下过程

3、称为“回代过程”。6(2) (-1/3)2233221xxxx210020103011)31(2r(1) (2)221321xxx21002010100121rr(行最简阶梯形)回代过程结束。原方程组的解为：. 2, 2, 1321xxx7定义定义3、下列三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换1.对调矩阵的任意两行元素，记作jirr 2.用数 k)0( k乘矩阵的某行所有元素，记作kri3.用数 k 乘矩阵中某行的每个元素后加到另一行的对应元素上去, 记作jikrr (第j行元素乘以数 k 后加到第i行对应元素上去)一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换8将定义中的“行”换成“列”,就得到矩阵的

4、初等列变换的定义,矩阵的初等行变换与初等列变换,如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵 B,则称矩阵 A 与 B 等价,记作13290201083814211329020114210838如下面两个矩阵等价：21rr 统称为矩阵的初等初等将“r”换成“c”,就得到列变换的表示方法.定义定义4变换变换。.BA9行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵300041000601079320000017000051000209110每个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵, 进而化为行最简阶梯形矩阵。例例 4 设46333340122112126000A试用初等行变换将A化为

5、行阶梯形，进而化为行最简阶梯形矩阵。定理定理 111解解 21rrA 221r46333340122112126000A46333340122600021121141332rrrr463333401213000211212369012230130002112112 32343rrrr34rr继续使用初等行变换，将B化为行最简阶梯形矩阵13000130001223021121B000001300012230211212369012230130002112113 000001000122302112131313rB 31322rrrr 000001000010012131913237312r 00

6、000100001000131913291931221rr注注：矩阵的初等变换是可逆的BAjirrjirrBAkkri)0( kri1BAjikrr jikrr0000010000230012131313714如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵 B,则称矩阵 A 与 B 等价,记作, ().ABAB利用初等变换的可逆性， 可得矩阵等价的性质如下：性质性质1、反身性; AA2、对称性 如果; ABBA则3、传递性 如果CB BA则; CA由定义4：15二、初等矩阵二、初等矩阵初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了充分发挥其作用， 有必要对它进一步探讨。先看几个矩阵相乘的例子：设333231

7、232221131211aaaaaaaaaA100001010. 1333231232221131211aaaaaaaaa333231131211232221aaaaaaaaa1610000001. 2k333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaakakakaaaa331332123111232221131211akaakaakaaaaaaa10010001. 3k333231232221131211aaaaaaaaa17矩阵的初等变换与矩阵的乘法运算有着密切的联系，可以把矩阵的初等变换转换为矩阵的乘法，下面建立初等方阵初等方阵的概念。上面三

8、个等式说明了分别用三个三阶方阵左乘A的结果，相当于对A分别作了三种初等行变换。 可见18),( jiEEjirr = 行第行第ji1101111011(1) 1、初等方阵的定义、初等方阵的定义为互换阵互换阵),(jiE19（2）行第ik1111=（3）)(,(kjiEEjikrr jik1111=)( kiEEkri0k)( kiE为倍乘阵倍乘阵为倍加阵倍加阵)(,(kjiE20=E(2, 4) 例如1000010000100001E=0001100000100100r2r4=E(2, 4) 1000010000100001E =0001100000100100c2c4初等矩阵：1.初等变换E

9、(i, j)jirr jicc 21 E(3(4) 例如例如1000010000100001E 00401000010000014 r3 E(3(4) 1000010000100001E 00401000100000014 c3初等矩阵E(i(k)2. 2. 初等变换初等变换ikcikr22初等矩阵：E(i, j (k)= E(2,4(k) 例如1000010000100001E =010k100000100001r2+kr4 E(2 ,4(k)1000010000100001E 010k100001000001c2kc4 3. 初等变换ijckcijrkr23 2、初等方阵的性质、初等方阵的

10、性质用初等方阵左（右）（右）乘 A， 相当于对 A 作初等行（列）（列）变换得到的矩阵，即BAjirr AkiEB)(AkjiEB)(,(对A作初等列变换， 只须把 ir，jr换成jcic，( , )BE i j ABAkriBAjikrr 对应的初等方阵分别为),(jiE，)( kiE， ( ,).E i j k24例例1333231232221131211100210001aaaaaaaaa333231332332223121131211222aaaaaaaaaaaa= 313233212223111213333231232221131211aaaaaaaaaBaaaaaaaaa?B001010100BBAjicc )( kiAEB ( , ( )BAE i j k( , )BAE i jBAkciBAjikcc 25作业作业P100 1 226若矩阵具有如下特点：（1）每个台阶上只有一行；（2）每个台阶的第一个数不等于零；（3）台阶左下方的元素全为零。具有以上三个特点的矩阵称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵。0000100020307532A500042103623B5 5、行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵、