理论力学3力系的平衡

1、理论力学课堂教学软件（3）Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology第一篇第一篇 静力学静力学第第3章章 力系的平衡力系的平衡 第一篇第一篇 静力学静力学 3.1 3.1 平衡与平衡条件平衡与平衡条件 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 3.7 3.7 结论与讨论结论与讨论 3.4 3.4 平衡方程的应用平衡方程的应用 3.5 3.5 静定和静不定问题的概念静定和静不定问题的概念 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 第第3章章 力系

2、的平衡力系的平衡 3.1 3.1 平衡与平衡条件平衡与平衡条件 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 平衡：平衡：物体相对惯性参考系物体相对惯性参考系静止静止或作或作等速直线等速直线运动的状运动的状态。态。平衡是运动的一种特殊情形。平衡是运动的一种特殊情形。平衡是相对于确定的参考系而言的平衡是相对于确定的参考系而言的。刚体系统：刚体系统：由若干个刚体组成的系统。由若干个刚体组成的系统。1. 1.平衡的概念平衡的概念 3.1 3.1 平衡与平衡条件平衡与平衡条件 惯性参考系：惯性参考系：固联地球上的参考系。固联地球上的参考系。刚体或刚体系统的平衡与否，取决于作用在其上的力系。刚体或刚体系统的平衡与否

3、，取决于作用在其上的力系。 力系的平衡力系的平衡是刚体和刚体系统平衡刚体和刚体系统平衡的充要条件。“力系平衡力系平衡”条件：条件：力系的力系的主矢主矢和力系和力系对任对任一点一点的的主矩主矩都都等于零。等于零。2. 2.平衡的充要条件平衡的充要条件 3.1 3.1 平衡与平衡条件平衡与平衡条件 力系的平衡：力系的平衡：对刚体不产生任何作用效应的力系。对刚体不产生任何作用效应的力系。如果刚体或刚体系统保持平衡如果刚体或刚体系统保持平衡，则作用在刚体或刚体系统，则作用在刚体或刚体系统的力系如何？的力系如何？FR主矢主矢 MO 对任一点的主矩对任一点的主矩R10FFnii 10FnOOiiMM 3.

4、1 3.1 平衡与平衡条件平衡与平衡条件 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 平衡方程的一般形式平衡方程的一般形式 空间力系的特殊情形空间力系的特殊情形 在直角坐标系中的投影形式为在直角坐标系中的投影形式为 niixRxFF10niiyRyFF10niizRzFF100)(1oinioFxxMM0)(1oinioFyyMM0)(1oinioFzzMM略去下标 i，空间任意力系空间任意力系平衡方程为：平衡方程为：000 xyzFFF000FFFxyzMMM1. 1.平衡方程的一般形式平衡方程的一般形式 3.

5、2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 R10FFnii 10FnOOiiMM即：即：力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对三个轴的矩的代数和也等于零。各力对三个轴的矩的代数和也等于零。上述上述6 6个平衡方程都是互相独立的。个平衡方程都是互相独立的。按力的作用线分布：按力的作用线分布：平面力系平面力系和和空间力系空间力系；按力的作用线关系：按力的作用线关系：汇交力系汇交力系、平行力系平行力系和和任意力系任意力系。力系的分类力系的分类2. 2.空间力系的特殊情形空间力系的特殊情形 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 空间汇

6、交力系：空间汇交力系：所有力的作所有力的作用线都相交于一点的力系。用线都相交于一点的力系。000 xyzFFF 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 由于三个力的投影方程满足，由于三个力的投影方程满足，则三个力矩方程自然满足，则三个力矩方程自然满足，平衡方程减少为：平衡方程减少为： 空间力偶系：空间力偶系：力偶作用面位于力偶作用面位于不同平面的力偶系。不同平面的力偶系。000FFFxyzMMM 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 平衡方程中的三个力的投影式平衡方程中的三个力的投影式自然满足，其平衡方程为：自然满足，其平衡方程为： 空间平行力系：空间平行力系：所有力的作用线所有

7、力的作用线相互平行的力系。相互平行的力系。自然满足。于是自然满足。于是, ,平衡方程为：平衡方程为： 0FzM0zF 00FFxyMM00yxFF, 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 若坐标系的轴与各力平行，则上若坐标系的轴与各力平行，则上述述6 6个平衡方程中个平衡方程中 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 平面力系平衡方程的一般形式平面力系平衡方程的一般形式 平面力系平衡方程的其他形式平面力系平衡方程的其他形式 平面力系：平面力系：所有力的作用线所有力的作用线都位于同一平面

8、的力系。都位于同一平面的力系。自然满足，且自然满足，且0zF 00FFxyMM0FzM0FOMyxzO1. 1.平面力系平衡方程的一般形式平面力系平衡方程的一般形式 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 于是，平面力系平衡于是，平面力系平衡方程的一般形式为：方程的一般形式为： 其中矩心其中矩心O为力系作用面为力系作用面内的任意点。内的任意点。 yxzO 000FoyxMFF上述方程是三个独立方程，最多只能解三个未知力，称上述方程是三个独立方程，最多只能解三个未知力，称为为“一矩式一矩式”平面力系平衡方程。平面力系平衡方程。 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程

9、解：解：对象：对象：刚架整体刚架整体 受力受力：如图如图 方程：方程：求图示刚架的约束力。求图示刚架的约束力。APabqAPqFAyFAxMA#, 0, 0qbFqbFFAxAxx#, 0, 0PFPFFAyAyy #2, 02, 0bqbPaMbqbPaMMAAAF 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 例题例题1 1求图示梁的支座约束力。求图示梁的支座约束力。解：解：对象：对象：梁梁 受力：受力：如图如图 方程：方程：由（1）（2）解得：ABCPabqmABCPqmFBFAyFAx#cos, 0cos, 0qqPFPFFAxAxx 10sin, 0qPFFFBAyy 20s

10、in, 0mbaPaFMBAqF#sinaPbmFAyq#sinabaPmFBq 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 例题例题2 2 Fx = 0 , MA = 0 , MB = 0 。 A、B 连线不垂直于连线不垂直于x 轴轴满足第二式？满足第二式？满足第三式？满足第三式？满足第一式？满足第一式？BAxFR“二矩式二矩式” 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 2. 2.平面力系平衡方程的其他形式平面力系平衡方程的其他形式 BAFRBFRAFRBAxFR MA = 0， MB = 0 , MC = 0。A、B、C 三点不三点不在同一条直线上在同一条直线上CB

11、ACFR“三矩式三矩式” 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 满足第一式？满足第一式？满足第二式？满足第二式？满足第三式？满足第三式？BFRAFRBAFRCBAFR注注 意意1.1.平面问题三种形式的平衡方程：平面问题三种形式的平衡方程：“一矩式一矩式”、 “二二矩式矩式”、 “三矩式三矩式” 。2.2.求解时应根据具体问题而定，只能选择其中的一种求解时应根据具体问题而定，只能选择其中的一种形式，且列三个平衡方程，求解三个未知力。形式，且列三个平衡方程，求解三个未知力。3.3.若列第四个方程，它是不独立的，是前三个的线性若列第四个方程，它是不独立的，是前三个的线性组合。组合。

12、4.4.尽可能地使每一个方程含有一个未知力，避免联立尽可能地使每一个方程含有一个未知力，避免联立求解。求解。 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 1、空间任意力系的平衡条件、空间任意力系的平衡条件,R21OnMFFFF0M0FOR,平衡平衡空间任意力系简化空间任意力系简化0000RzyxFFFF0)(0)(0)(0FFFMzyxOMMM空间任意力系平衡的充分必要条件：空间任意力系平衡的充分必要条件：总结：各类力系的平衡条件总结：各类力系的平衡条件2、其它力系的平衡条件、其它力系的平衡条件空间问题空间问题,000zyxFFF平面问题平面问题,00yxFF,0)(0)(0)(FF

13、FzyxMMM空间问题空间问题平面问题平面问题 0M0RF汇交力系平衡的充分必要条件：汇交力系平衡的充分必要条件：力偶系平衡的充分必要条件力偶系平衡的充分必要条件：0OM总结：各类力系的平衡条件总结：各类力系的平衡条件平行力系平衡的充分必要条件平行力系平衡的充分必要条件：,0)(0)(0FFyxzMMF空间问题空间问题xyzo平面问题平面问题xyo0)(0FOyMF总结：各类力系的平衡条件总结：各类力系的平衡条件平面任意力系平衡的充分必要条件：平面任意力系平衡的充分必要条件：xyO0)(00FOyxMFF0)(0)(0FFBAxMMFA、B 连线与连线与Ox 轴不垂直轴不垂直二矩式二矩式0)(

14、0)(0)(FFFCBAMMMA、B、C三点不共线三点不共线三矩式三矩式总结：各类力系的平衡条件总结：各类力系的平衡条件 3.4 3.4 平衡方程的应用平衡方程的应用 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 图示结构中，图示结构中，A、B、C三处均为铰链约束。横杆三处均为铰链约束。横杆AD在在D处承受处承受集中载荷集中载荷FP，结构各部分尺寸均示于图中，已知，结构各部分尺寸均示于图中，已知FP和和l。试求。试求A、C处约束力。处约束力。FP 3.4 3.4 平衡方程的应用平衡方程的应用 解：解：对象：对象：整体整体 受力：受力：如图如图FAyFAxFPFCB 3.4 3.4 平衡方程的应用平衡方程的

15、应用 方程：方程： 02, 0lFdFMpCBAF 0, 0lFlFMpAyBF0cos, 0CBAxxFFF#22pCBFF#pAyFF#222pCBAxFFF 02, 0lFlFMpAxcF#2pAxFF三矩式？三矩式？ 平面刚架的所有外力的作用平面刚架的所有外力的作用线都位于刚架平面内。线都位于刚架平面内。A处为处为固定端约束。若图中固定端约束。若图中q、FP、M、l等均为已知。等均为已知。试试求：求：A处的约束力。处的约束力。 3.4 3.4 平衡方程的应用平衡方程的应用 解：解：对象：对象：平面刚架平面刚架 受力：受力：如图如图FAyMAqFAx 3.4 3.4 平衡方程的应用平衡方

16、程的应用 方程：方程： , 023, 0lqllFMMMpAAF#232qllFMMpA, 0, 0qlFFAxx#qlFAx, 0, 0pAyyFFF#pAyFF验证所得结果的正确性的方法验证所得结果的正确性的方法可以将作用在平衡对象上的所有力对平面内可以将作用在平衡对象上的所有力对平面内任意点（包括刚架上的点和刚架外的点）取任意点（包括刚架上的点和刚架外的点）取矩。若这些力矩的代数和为零，则表示所得矩。若这些力矩的代数和为零，则表示所得结果是正确的，否则就是不正确的。结果是正确的，否则就是不正确的。 已知：已知：塔式起重机塔式起重机FP=700kN, ,W=200kN ( (最大起重量最大

17、起重量) )，尺寸如图。，尺寸如图。求：求：1.保证满载和空载时不致翻倒，平衡块保证满载和空载时不致翻倒，平衡块FQ=？2.当当FQ=180kN时，时，求满载时轨道求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？给起重机轮子的反力？ 3.4 3.4 平衡方程的应用平衡方程的应用 FQFPAB0AFkN 75QF限制条件：限制条件：解：解：1.求平衡块求平衡块（2）空载时）空载时（W=0）0)(FAM0) 22(2) 26(BPQFFF限制条件为：限制条件为：0BF解得：解得：kN 350QF因此保证空、满载均不倒，因此保证空、满载均不倒，FQ应满足如下关系：应满足如下关系：kN 350kN 75Q解得：

18、解得： 3.4 3.4 平衡方程的应用平衡方程的应用 0FBM021222226QWFFFPAFQFPAB（1）满载时满载时FAFB对象：对象：整个塔吊；整个塔吊；受力：受力：如图；如图；0) 212(42) 26 (PQWFFFB0)(FAM0PQWFFFFBA2.求当求当FQ=180kN，满载，满载W=200kN时，时，FA ,FB为多少为多少解得：解得： 3.4 3.4 平衡方程的应用平衡方程的应用 0yFFQFPABFAFB由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： kN210AFkN870BFzxyOCABD4530W AB、AC、AD三杆由活动三杆由活动铰连接于铰

19、连接于A处，处，B、C、D均为均为固定球铰支座。在固定球铰支座。在A处悬挂重处悬挂重物，重物的重量物，重物的重量W W为已知。为已知。试求：试求：三杆的受力。三杆的受力。6045 3.4 3.4 平衡方程的应用平衡方程的应用 zxyOCABD4530W6045受力：受力：如图如图方程：方程： 1045cos60sin, 0ADABxFFF 2060cos, 0WFFADy 3045cos60sin, 0ADACzFFFzABFADFACF(1)(2)(3)(1)(2)(3)联立，得到联立，得到#2WFAD#26WFAC#26WFAB 3.4 3.4 平衡方程的应用平衡方程的应用 解：解：对象：

20、对象：A铰铰 水力涡轮发电机的主轴。水力推动涡水力涡轮发电机的主轴。水力推动涡轮转动的力偶矩轮转动的力偶矩Mz=1200 N.m。锥齿轮锥齿轮B处处受到的力分解为三个分力：圆周力受到的力分解为三个分力：圆周力Ft，轴，轴向力向力Fa和径向力和径向力Fr。三者大小的比例为。三者大小的比例为Ft : Fa : Fr=1 : 0.32 : 0.17。已知涡轮连同轴和已知涡轮连同轴和锥齿轮的总重量为锥齿轮的总重量为W=12kN，其作用线沿，其作用线沿轴轴Cz；锥齿轮的平均半径；锥齿轮的平均半径OB=0.6m。试求：试求：止推轴承止推轴承C和轴承和轴承A处的约束力。处的约束力。 3.4 3.4 平衡方程

21、的应用平衡方程的应用 解：解：对象：对象： “轴锥齿轮涡轮轴锥齿轮涡轮”组成的系统组成的系统 0)(FzM0tzMFOB得到作用在锥齿轮上的圆周力得到作用在锥齿轮上的圆周力 N2000tF受力：受力： 如图如图 3.4 3.4 平衡方程的应用平衡方程的应用 方程：方程：再由三个力的数值比，得到再由三个力的数值比，得到 N640aFN340rF最后应用空间力系的平衡方程，可以写出最后应用空间力系的平衡方程，可以写出 0zF0aFPFCz 0)(FyMt340AxFF 0)(FxM06 . 043arFFFAy 0yF0rFFFCyAy 0 xF0tFFFCxAx由此解得由此解得 N325AyFN

22、7 .14CyFkN67. 2AxF667NCxF kN6 .12CzF 3.5 3.5 静定和静不定问题的概念静定和静不定问题的概念 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 静定问题：静定问题：平衡问题中，未知力的个数正好等于独立平平衡问题中，未知力的个数正好等于独立平衡方程的数目。相应的结构称为衡方程的数目。相应的结构称为静定结构静定结构。 工程上，为了提高结构的强度和刚度，或者为了满工程上，为了提高结构的强度和刚度，或者为了满足其他工程要求，常常在静定结构上再附加一个或几个足其他工程要求，常常在静定结构上再附加一个或几个约束。约束。 3.5 3.5 静定和静不定问题的概念静定和静不定问题的概念

23、 静不定问题静不定问题（超静定问题）：（超静定问题）：平衡问题中，未知约束力平衡问题中，未知约束力的个数大于独立平衡方程的数目。这类问题称为或相应的个数大于独立平衡方程的数目。这类问题称为或相应的结构称为的结构称为静不定结构静不定结构（超静定结构）（超静定结构）。 静不定次数：静不定次数：静不定问题中，未知量的个数与独立的平静不定问题中，未知量的个数与独立的平衡方程数目衡方程数目之差。之差。关于静不定问题的基本解法将在材料力学中介绍。关于静不定问题的基本解法将在材料力学中介绍。 多余约束：多余约束：与静不定次数对应的约束，对于结构保持静与静不定次数对应的约束，对于结构保持静定是多余的，因而称为

24、多余约束。定是多余的，因而称为多余约束。静定（未知数三个）静定（未知数三个）静不定（未知数四个）静不定（未知数四个） 3.5 3.5 静定和静不定问题的概念静定和静不定问题的概念 FAxFAyFB思考题思考题1：下面结构是静定结构还是静不定结构呢？下面结构是静定结构还是静不定结构呢？BBFAxFAyFAxFAyPPPPFPFPF 3.5 3.5 静定和静不定问题的概念静定和静不定问题的概念 思考题思考题2：判断各图的超静定次数。判断各图的超静定次数。 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 刚体系统刚体系统（rigid multibody syste

25、m）：）： 由两个或两个以由两个或两个以上的刚体所组成的系统。上的刚体所组成的系统。刚体系统平衡问题的特点是：刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考察系统的仅仅考察系统的整体整体或某或某个个局部局部（单个刚体或局部刚体系统），不能确定全部未（单个刚体或局部刚体系统），不能确定全部未知力。知力。 为了解决刚体系统的平衡问题，需将平衡的概念加为了解决刚体系统的平衡问题，需将平衡的概念加以扩展，即：以扩展，即：当整个系统平衡时，系统内每个物体都平当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。衡。 根据这一重要概念，应用平衡方程，即可求解刚体根据这一重要概念，应用平衡方程，即可求解刚体系统的平衡问题。系统的平衡问

26、题。当研究物体系统的平衡时，研究对象当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 例题例题1 1 结构由杆结构由杆AB与与BC在在B处铰接而成。结构处铰接而成。结构A处为固定端，处为固定端，C处为处为辊轴支座。结构在辊轴支座。结构在DE段承受均布载荷作用，载荷集度为段承受均布载荷作用，载荷集度为q；E处作处作用有外加力偶，其力偶矩为用有外加力偶，其力偶矩为M。若。若q、l、M等均为已知，试求等均为已知，试求A、C二处的约束力。二处的约束力。 3.6 3.6 刚体系统平衡

27、问题刚体系统平衡问题 Bu u 分析：分析：静不定问题静不定问题? ? u 平衡条件！平衡条件！yx建立坐标！建立坐标！ 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 解：解：对象：对象：整体整体 受力：受力：图图（a） 方程：方程：（a） , 0 xF#0AxF02, 0RCAyyFlqFF 0422, 0lFMllqMMRCAAF(1)(2)(3) 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 FRCFAxFAyMA对象：对象：杆杆BC受力：受力：图图（b）方程：方程：（b） , 022lFMllqMRCBF#24lMqlFRC(4)将（将（4 4）代入（）代入（2 2），得：），

28、得：#247lMqlFAy(5)将（将（4 4）代入（）代入（3 3），得：），得：#32MqlMA(6) 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 , 0 xF#0AxF02, 0RCAyyFlqFF 0422, 0lFMllqMMRCAAF(1)(2)(3)FRCFBxFByB练习练习1 求图示多跨静定梁的支座约束力。求图示多跨静定梁的支座约束力。CBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBqCDCBAD解：解：对象：对象：CD梁 受力：受力：如右图 方程：方程：对象：对象：整体受力：受力：如右图方程：方程：#0, 0AxxFF 104, 0DBAyyFqFFFF1

29、32BFFq1122AyFFq联立(1)(2)，得 2086442, 0DBAFqFFMF #23, 02333, 0qFqFMDDCF 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 求图示结构固定端的约束力。求图示结构固定端的约束力。CBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx对象：对象：AB梁梁受力：受力：如右图如右图方程：方程：解：解：对象：对象：BC梁梁 受力：受力：如右图如右图 方程：方程：#, 0, 0bMFFMbFMBCC 10, 0BAxxFFFF#, 0, 0qaFqaFFAyAyy 202, 0aFaqabaFMMBAAFBBFF 将将 代入代入(1)(

30、2)，得到，得到#bMFFAx#AM 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 例题例题2 2例题例题3 3图示三铰拱固定铰支座水平方向有没有约束力？图示三铰拱固定铰支座水平方向有没有约束力？解：解：对象：对象：整体整体 受力：受力：如图如图 方程：方程：FAxFAyFCxFCy , 0FAM#2, 02PPFPFaFbaPaFbaPcycy , 0FCM#2, 02PPFPFbaPaFbaPaFAyAy解：解：对象：对象：右半拱右半拱 受力：受力：如图如图 方程：方程：FBxFByFCxFCy , 0FBM#2, 0PFbaaPFaFaFPbcxcycx, 0 xF 10CxAxFF

31、#2PFbaaPFAx代入（代入（1），得），得 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 aa2a2aPbbPPPP图示结构，试求铅直杆图示结构，试求铅直杆AO上的铰链上的铰链A、C和和O所受的力。所受的力。受力：受力：如图如图方程：方程： , 02, 0)(OyBaFMF#0OyF（1 1） 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 解：解：aaaaF对象：整体对象：整体F解：解：对象：对象：整体整体对象：对象：杆杆CD受力：受力：如图如图方程：方程：0, 0)(aFFaMCyEF#CyCyFFF（2 2） 0,2, 0)(aFFaMCxOF#2CxCxFFF（3 3） 3

32、.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 #0OyF（1 1） 解：解：aaaaFO对象：杆对象：杆AB受力：图（受力：图（c）方程：方程：02, 0)(CxOxAaFaFMF（4） 0, 0OxCxAxxFFFF（5） 0, 0OyCyAyyFFFF（6） 将（将（3）代入（）代入（4），得：），得： #FFOx（7） 将（将（3）和（）和（7）代入（）代入（5），得：），得： #FFAx（8） 将（将（1）和（）和（2）代入（）代入（6），得：），得： #FFAy（9） 各杆各杆自重不计，自重不计，在在A、E、F、G处均为处均为铰接，铰接，B处为光滑接触。在处为光滑接触。在C、D两处

33、分两处分别作用力别作用力P1和和P2，且，且P1P2500 N。求：求：F处的约束力。处的约束力。2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2P1P2ADEFGBCFAxFAyFB解：解：对象：对象：整体整体 受力：受力：如右图如右图 方程：方程： NFFPPMBBA1000, 0462, 012F 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 解得：解得：FFxFGyFBFGBFGxFFyFFx对象：对象：杆杆BG受力：受力：如右图如右图方程：方程：P1P2ADEFGBCFAxFAyFB #500, 022, 022NPFFPMFyFyEF , 0224, 0FxFyBGFFFMF#1

34、500NFFxP2DEFFEyFFyFEx对象：对象：杆杆DF受力：受力：如右图如右图方程：方程： 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 构架在构架在H，G，E处为铰链连接，已知处为铰链连接，已知P和和Q，不计构件自重和摩擦。，不计构件自重和摩擦。试求：试求：固定铰支座固定铰支座A和和C的约束力以及杆的约束力以及杆E F上销钉上销钉K的约束力。的约束力。 （a）FAxFCxFAyFCyFTFKFHxFHyHKF（b）FKFDyFDxFCxFCyCGK（c）#4)2( 3QPFCy#467QPFAy#2PFK#46QPFCx#42PQFAx0)(FAM0)(FCM0)(FHM0)(F

35、GM0 xF 10CxAxFFQ 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 练习练习2 2 两根铅直梁两根铅直梁AB、CD与水平梁与水平梁BC铰接，铰接，B、C、D均为光滑铰均为光滑铰链，链，A为固定支座，各梁的长度均为为固定支座，各梁的长度均为l2 m2 m，受力情况如图所示。已，受力情况如图所示。已知水平力知水平力F6 6kN，M4 4 kNm，q3 3 kN/ /m。求固定端。求固定端A及铰链及铰链C的约束力。的约束力。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解：解：对象：对象：BC 受力：受力：如右图如右图 方程：方程： #2, 0, 0kNlMFlFMM

36、CyCyBF 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 FCDFCxFCyFDxFDyABCDF2l/3l/2 Mq0对象：对象：CD受力：受力：如右图如右图方程：方程： #432, 032, 0kNFFlFlFMCxCxDF #6, 0321, 00mkNMlFlFllqMMMACxCyAAF#1, 021, 00kNFFlqFFAxCxAxx对象：对象：ABC受力：受力：如右图如右图方程：方程：Mq0FCxFCyFAyMAFAxBCA#2, 0, 0kNFFFFFCyAyCyAyy 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 三无重杆三无重杆AC、BD、CD如图铰接，如图铰接

37、，B处处为光滑接触，为光滑接触，ABCD为正方形，在为正方形，在CD杆距杆距C三分之一处作用一垂直力三分之一处作用一垂直力P。求：求：铰链铰链 E处的约束力。处的约束力。PlDl2l/3CABEPDCABEFAxFAyFB0, 0AxxFFPFPFFFAyBAyy31, 0, 0 PFlPlFMBBA32, 032, 0F解：解：对象：对象：整体整体 受力：受力：如右图如右图 方程：方程： 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 方法方法1 1：分别以分别以BD和和AC为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。用用FE1、FE2表示的约束力和用表示的约束力和用FEx、FEy表表示的

38、约束反力本质上是同一个力。示的约束反力本质上是同一个力。CAEFAxFAyFExFEyFE2FE1DBEFDxFDyFE2FE1FB #3222, 022, 022PFFlFlFMBEBEDF #32, 022, 011PFlFlFlFMEEAyAxCF 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 下面用不同的方法求铰链下面用不同的方法求铰链 E 的受力。的受力。PDCABEFAxFAyFBEPD2l/3CB方法方法2 2：先以先以DC为研究对象。为研究对象。再以再以BDC为研究对象。为研究对象。类似地，亦可以类似地，亦可以DC为研究对象，求为研究对象，求FDy，再以再以ACD为研究对象

39、求解。为研究对象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy#31, 0, 0PFFFPFFEyBCyEyy #32, 032, 0PFlPlFMCyCyDF #, 0322, 0PFlPlFlFMExEyExCF 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 PDCABEFAxFAyFB方法方法3 3：分别以分别以ACD和和AC为研究对象。为研究对象。联立求解以上两方程即得同样结果。联立求解以上两方程即得同样结果。类似地，亦可以类似地，亦可以BDC和和BD为研究对象，为研究对象，进行求解。进行求解。P2l/3DCAEFExFEyFDxFDyFAxFAyCAEF

40、AxFAyFExFEyFCxFCy 103222, 0lPlFlFlFMEyExAxDF 2022, 0lFlFlFlFMEyExAyAxCF 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 ABCD练习练习3 3 三根等长同重均质杆三根等长同重均质杆( (重重W) )如图在铅垂面内如图在铅垂面内以铰链和绳以铰链和绳EF构成正方形。已知：构成正方形。已知：E、F是是AB、BC中点，中点，AB水平，求绳水平，求绳EF的拉力。的拉力。解法解法1 1：取取AB分析，受力如图。不妨设杆长为分析，受力如图。不妨设杆长为l。再以整体为研究对象，受力如图。再以整体为研究对象，受力如图。ABCDFByFBx

41、ABFAxFAyWFTWWWFAxFAyFDxFDy 1045sin22, 0lFlWlFMTAyBF 203, 0WFFFDyAyy 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 最后以最后以DC为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。联立求解联立求解(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)得：得：42TFWFCyFCxDCFDxFDyW 302, 0lWlFMDyCF联立求解联立求解(4)(4)、(5)(5)、(6)(6)即可的同样结果。即可的同样结果。最后以整体为研究对象，受力如图。最后以整体为研究对象，受力如图。ABCDWWWFAxFAyFDxFDy解法解法2 2：先以先以BC

42、为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。再以再以DC为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。FCxFCyFBxFByBCWFTFCyFCxDCFDxFDyW 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 40245sin, 0lFlFMTCxBF 50, 0CxDxxFFF 6022, 0WllWlFMDxAFABEDax1234EACBD练习练习4 4 编号为编号为1 1、2 2、3 3、4 4的四根杆件组成平面结构，的四根杆件组成平面结构，其中其中A、C、E为光滑铰链，为光滑铰链，B、D为光滑接触，为光滑接触，E为为中点，各杆自重不计。在水平杆中点，各杆自重不计。在水平杆 2

43、2 上作用一铅垂向上作用一铅垂向下的力下的力 F，试证明无论力，试证明无论力 F 的位置的位置 x 如何改变，其如何改变，其竖杆竖杆 1 1 总是受到大小等于总是受到大小等于F 的压力。的压力。F解：解：本题为求二力杆（杆本题为求二力杆（杆1 1）的内力）的内力FA1或或FC1。为。为此先取杆此先取杆2 2、4 4及销钉及销钉A为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。FFA1FEyFExFND1NN()0:()0( )2222EABDMbbbbFFxFFaFb上式中上式中FND和和FNB为未知量，必须先求得；为此再为未知量，必须先求得；为此再分别取整体和杆分别取整体和杆2 2为研究对象。为

44、研究对象。FNB 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 ABFFAyFAxN()0:0CDMFbFxF取整体为研究对象，受力如图。取整体为研究对象，受力如图。FNBxa1234EACBDbNDFxFbN()0:0ABMF bFxF取水平杆取水平杆2为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。NBFxFb代入（代入（a）式得）式得1AFF FA1为负值，说明杆为负值，说明杆1 1受压，且与受压，且与x无关。无关。FFNDFCyFCx 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 F2F1ABCD4.54.53422练习练习5 5 构架尺寸如图所示构架尺寸如图所示( (尺寸单位为尺

45、寸单位为m) )，不计各杆件自重，载荷，不计各杆件自重，载荷F1=120 kN, F2=75 kN。求。求AC及及CD两杆所受的力。两杆所受的力。F2F1ABCFCDFAxFAyFAD解：解：1 1、取三角形、取三角形ABC分析，其中分析，其中A、C处应带有销钉：处应带有销钉：()0:AMF214327.51240:55CDCDFFFF 43145.83kNCDF 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 F2F1ABCD4.54.53422F1BCFBxFByFCAFCD2 2、取、取BC分析，注意在分析，注意在C处应带有销钉。处应带有销钉。()0:BMF122444.5990:51

46、24CDCAFFF 179.19 kNCAF 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 练习练习6 6 求图示三铰刚架的支座约束力。求图示三铰刚架的支座约束力。解：解：对象：整体对象：整体 受力：如图受力：如图 方程：方程：将将(3)(3)代人代人(2)(2)，得：，得：CBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy1142AyFqaF 10, 0BxAxxFFFF 20, 0qaFFFByAyy 3#4321, 0223, 0qaFFaFaqaFaMByByAF 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 对象：对象：AC受力：如图受力：如图方程：方程：()0:0CAxAy

47、MF aF aF1142AxAyFFqaF1124BxFFqa FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF(4)将将FAy代人代人(4)，得，得将FAx代人(1)，得0:0 xAxBxFFFF(1) 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 xyzABCDE3030G均质长方形板均质长方形板ABCDABCD重重G=200NG=200N，用球，用球形铰链形铰链A A和碟形铰链和碟形铰链B B固定在墙上，固定在墙上，并用绳并用绳ECEC维持在水平位置，求绳的维持在水平位置，求绳的拉力和支座的反力。拉力和支座的反力。xyzABCDE3030GAXAYAZTBXBZ解：解：以板为研究对象，

48、受力如图，以板为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。建立如图所示的坐标。030sin30cos:0TXXFBAx030cos:02TYFAy030sin:0GTZZFBAz 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 xyzABCDE3030GAXAYAZTBXBZ解之得：0BBZXNT200NXA6 .86NYA150NZA100030sin:0)(21ABGABZABTMBxF030sin:0)(21ADTADGMyF0:0)(ABXMBzF 3.6 3.6 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 3.7 3.7 结论与讨论结论与讨论第第3章章 力系的平衡力系的平衡 初学者常常不习惯根

49、据约束的性质分析约束力，而是根据不初学者常常不习惯根据约束的性质分析约束力，而是根据不正确的正确的直观直观判断确定约束力。判断确定约束力。 错在哪里？错在哪里？ 受力分析的重要性受力分析的重要性 错在哪里？错在哪里？ 3.7 3.7 结论与讨论结论与讨论 认真理解、掌握并能灵活运用认真理解、掌握并能灵活运用“系统整体平衡，组成系统系统整体平衡，组成系统的每个局部必然平衡的每个局部必然平衡”的重要概念。的重要概念。 要灵活选择研究对象要灵活选择研究对象 注意区分内约束力与外约束力、作用与反作用力。注意区分内约束力与外约束力、作用与反作用力。 分析和处理刚体系统平衡问题要点分析和处理刚体系统平衡问

50、题要点 3.7 3.7 结论与讨论结论与讨论本章作业第第1次次P6869 ：32, 36(a)(q=20kN/m)第第2次次P7072：310，312，315（杆（杆BC的的受受力力FBC）补充习题：见补充习题：见word文档（例题文档（例题46）Nanjing University of Technology附录附录1 1： 习题解答习题解答作业中存在的问题作业中存在的问题2、受力图问题。、受力图问题。1）无受力图、画在原图无受力图、画在原图（原处打（原处打“？”）。）。2）受力图）受力图要完整要完整（画上所有的力，包括不要求解的力）。（画上所有的力，包括不要求解的力）。3）受力要）受力要符

51、合约束特点符合约束特点，不能随意臆造（如柔索约束、滑块滑动的，不能随意臆造（如柔索约束、滑块滑动的双侧约束）。双侧约束）。4）分布荷载要）分布荷载要画在力的作用线上画在力的作用线上。3、方程问题。、方程问题。1）根据受力图列方程，对象要明确，）根据受力图列方程，对象要明确，要让别人能看懂要让别人能看懂。2）根据公式列方程（）根据公式列方程（一矩式一矩式、二矩式、三矩式），要明确写出来，每、二矩式、三矩式），要明确写出来，每一组一组只有三个独立方程只有三个独立方程，然后进一步代入数据写出表达式。，然后进一步代入数据写出表达式。3）区分矢量和标量。区分矢量和标量。方程是方程是矢量方程矢量方程在各个坐标轴上的在各个坐标轴上的投影方程投影方程，为，为代数量（标量）代数量（标量）。4）列方程要会联立，）列方程要会联立，不能简单的写最后结果不能简单的写最后结果。1、对象选择问题。、对象选择问题。一定要一定要明确对象明确对象，根据指定的对象、画对应的受，根据指定的对象、画对应的受力图、列对应的方程，力图、列对应的方程，让别人能看明白让别人能看明白。EDFDDBFF32 图示为一绳索拔桩装置。绳索的图