高中数列知识点总结归纳

1、如:a1， a3， a5，a7，a3， a8，a13， a18，一、等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an am d(n 2)或 an 1 an d(n 1)。2、等差数列的通项公式：an ai (n 1)d ；说明：等差数列通常可称为 AP数列的单调性：d 0为递增数列, d 0为常数列，d 0为递减数列。3、等差中项的概念：A叫做a与b的等差中项。其定义：如果a， A， b成等差数列，那么 中A乎a，A，b成等差数列4、等差数列的前n和

2、的求和公式：Sn n(a1 an) na1。2 25、等差数列的性质：1在等差数列an中，从第2项起，每一项为哪一项它相邻二项的等差中项;AP，2在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是am (n m)d，3丨在等差数列 an中，对任意m ， n N ， and(m n)；n m4丨在等差数列an中，假设m，n，p， q N且m n p q，那么 am an ap aq ；说明：设数列an是等差数列，且公差为d，I假设项数为偶数，设共有2n项，那么S奇S偶nd ; 乞 至;S偶 an 1U假设项数为奇数，设共有2n 1项，那么S偶S奇an a中；鱼 。S禺n 16、数列最值1a10，d 0

3、时，Sn有最大值；a10，d 0时，&有最小值；2Sn最值的求法：假设 Sn，可用二次函数最值的求法n N；a 0假设an，那么Sn最值时n的值nN丨可如下确定n 或an 10an 0。an 10二、等比数列1.等比数列定义一般地，如果一个数列从第二.项起.，每一项与它的前一项的比等于同一个常.数，那么这个数列就叫做等比数列, 字母q表示(q 0)，即：a* i : a*这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用q(q 0)数列对于数列12 3都是等常数 q、等比“从第二项起0)。比数列，它们的公比依次是2, 5，-。注意:2说明：l1由等比数列的通项公式可以知道：当公比 d 1时该数列既

4、是等比数数列的公比和项都不为零2.等比数列通项公式为：a* ai qn1(a! q列也是等差数列；2等比数列的通项公式知:假设a*为等比数列，那么也nm n3. 等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比 中项两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项。4. 等比数列前n项和公式一般地，设等比数列ai, a2,a3,|, a*,卅的前n项和是Sn印a?玄3川an，当 q 1时，Sn勺1山 或Sn旦一也；当q=1时，Sn nai错位相减法。2注意求和1 q1 q说明：1a1, q, n,Sn和a1, a* ,q, S*各三个可求第四个;公式中是qn，通项公

5、式中是qn 1不要混淆；3应用求和公式时q 1，必要时应讨论q 1的情况5. 等比数列的性质 等比数列任意两项间的关系：如果 a*是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m n，公比为q，那么有a* amqn m ； 对于等比数列a*，假设n m u v ,那么a* am au av，也就是：a1 ana1ana2an 1 a3an 2，如以下图：a1，a2,a3，an2,an1，an。a2 an 1假设数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，k N*，那么Sk , S2k Sk，% S?k 成等比数列。如以下图所示：S3ka1a2a3SkS2k Ska2k a2k 1S3k S2ka3

6、k三、数列前n项和1 .数列求通项与和1数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=Sn 12求通项常用方法 作新数列法。作等差数列与等比数列； 累差叠加法。最根本的形式是：ai=(an an1)+(an1+an2)+(a2 a1)+a1 ； 归纳、猜测法。3数列前n项和1 重要公式：1+2+n二n(n+1)；12+22+ +n 2=1 n(n+1)(2 n+1)；613+23+ +n3=(1+2+ +n)2= - n2(n+1)2;4 等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd ； 等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm =Sm+qmSn ； 裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即 an=f

7、(n+1) f(n),然后累加抵消掉中间 的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：an1(An B)(A n C)An J、1=丄n(n 1) n 、n n! =(n+1)! n!、 Cn-1【Cn一 Cn-1、 = 等。n 1(n 1)! n! (n 1)! 错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。an bn Cn ,其中0是等差数列，Cn是等比数列，记Snb1C1b2C2bn 1Cn1bn Cn，贝U qSnb©bn GbnCn1， 并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。数列求

8、通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用适宜方法。 通项分解法：an bn Cn2 递归数列数列的连续假设干项满足的等量关系an+k=f(an+k1 ,an+k2,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列2n 1即为递归数列。递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：1归纳、猜测、数学归纳法证明。2迭代法。3代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。4作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。=D一、高中数列根本公式：1、一般数列的通项an与前n项和S的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=

9、ai+(n-1)da n=ak+(n-k)d(其中ai为首项、ak为的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。3、等差数列的前n项和公式：s=叫_S n=n(n-QT 当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为 0;当d=0时刊工0，S=nai是关于n的正 比例式。4、 等比数列的通项公式：a n= ai qn-ian= ak qn-k(其中ai为首项、ak为的第k项，anM0)5、 等比数列的前n项和公式：当q=i时，S=n ai(是关于n的正比例式);当ql时,S=1 V三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、 等差数列an的任意连续 m项的和构成的数列 Sm

10、 SSm S3叶S2m- S 3m、仍为 等差数列。2、 等差数歹U an中，假设m+n=p+q那么°十 _些古叫3、等比数歹U a n中，假设m+n=p+q4、 等比数列an的任意连续m项的和构成的数列 Sm SkSm S3mrS2m Sm - S 3m、仍为 等比数列。5、 两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、a n-b n仍为等差数列。6、两个等比数列a n与b n的积、商、倒数组成的数列a Q bn、&为等比数列。7、等差数列a n的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。8等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。9、 三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d ;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d10、 三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq ;四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,aq