高中数学函数解题技巧方法总结(高考)-学生版

1、高中数学函数知识点总结一、.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否一样？定义域、对应法那么、值域 一样函数的判断方法：表达式一样；定义域一致(两点必须同时具备)二、.求函数的定义域有哪些常见类型？:x 4 x例：函数y 2的定义域是lg x 3函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数或式大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数y tanx x R,且x k ,k2当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的围，再取他们 的交集，就得到函数的定义域。三、.如何求复合函数的定义域？女口：函数f (x

2、)的定义域是 a，b， b a 0,那么函数F(x) f (x) f ( x)的定义域是。复合函数定义域的求法：y f (x)的定义域为m,n，求y f g(x)的定义域，可由m g(x) n解出x的围，即为y f g(x)的定义域。例假设函数y f(x)的定义域为1,2，那么f(log2X)的定义域为。2四、函数值域的求法1直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。1例求函数y=-的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。例、求函数y=x2-2x+5，x -1，2的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数分子或分母中有一个是二次都可通用，但这类题型有时也可以用

3、其他方 法进展化简，不必拘泥在判别式上面a. yb.聖型：直接用不等式性质k+x2bx-2xc.d.例:mx nxl+x2型,先化简，再用均值不等式11x+_x2x-2x mx n2x mx n型x nmxn型通常用判别式法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉x2 x 1例: y(x+1)丄 12 11x 1(x+1)2(x+1)+14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x 4例求函数y=4值域。5x 65、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单 调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求

4、函数 y= 1， y 2sin 1， y 2sin 1的值域。ex 11 sin1 cos6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个容例求函数y= 2x 5 log3 x 1 2< x< 10的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。例求函数y=x+ x 1的值域。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：点Px.y丨在圆x2

5、+y2=1 上,(1) 丄的取值范围x 2(2) y-2 x的取值范围解: 令丄 k,那么y k(x 2),是一条过(-2,0)的直线.x 2dR(d为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2x b,即y 2x b 0,也是直线d d R例求函数 y=J(x 2)2+J(x 8)2 的值域。例求函数y= x2 6x 13 + x2 4x 5的值域9、不等式法利用根本不等式a+b>270b，a+b+c>33、；'abca， b，c r，求函数的最值，其题型特征解析 式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方 等技巧。例：2(一 (

6、xx10)x2(3-2x)(0<x<1.=) 2x(应用公式abc ( _b )3 时,3=x x (3-2x)(应用公式x2x+3-2x33x x_a+b+c 33 abc时，注意使 3者的乘积变成常数)应注意使 3者之和变成常数)10.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例求函数y=2的值域x 20时,1 x 2 1、二 120 y 1y x 2、x 22x 20时，y=0多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法，函数单调性法和根本不等式法，然后才考虑用其他各种

7、特殊方法。五、.如何用定义证明函数的单调性？取值、作差、判正负判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得Xi,X2，找出f(X i),f(x 2)之间的大小关系可以变形为求 f(") f(X2)的正负号或者 f (xj 与 1 的关系x X2f(X2)参照图象： 假设函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有一样的单调性； 特例：奇函数 假设函数f(x)的图象关于直线x二a对称，那么函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的 单调性。特例：偶函数利用单调函数的性质： 函数f(x)与f(x) + c(c是常数)是同向

8、变化的 函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c>0时，它们是同向变化的；当cv0时，它们是反向变化的。 如果函数fi(x)，f2(x)同向变化，那么函数fi(x) + f2(x)和它们同向变化；函数相加 如果正值函数fi(x)，f2(x)同向变化，那么函数fi(x)f 2(x)和它们同向变化；如果负值函数 fi(2)与 f 2(x)同向变化，那么函数f i(x)f 2(X)和它们反向变化；函数相乘 函数f(x)与沽在f(x)的同号区间里反向变化。 假设函数 u=© (x) ， x a，B 与函数 y = F(u)， u © ( a )，© ( B )或

9、 u © ( B ), © ( a )同向 变化，那么在a, B 上复合函数y= F © (X)是递增的；假设函数u=© (X),X a, B 与函数y= F(u)， u © ( a )，© ( B )或u © ( B )，© ( a )反向变化，那么在a，B 上复合函数y = F © (x)是 递减的。同增异减f(g )g(X)fg(x)f(x)+g( X)f(x)*g(x)都是 正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减如：求y log r x2 2x的单调区间2六、.如何利用导数判断函数的单调性？在区

10、间a, b内，假设总有f'(x)0那么f(x)为增函数。(在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性)，反之也对，假设 f'(x)0呢？女口 ：a 0，函数f(x) x3 ax在 1，上是单调增函数，那么a的最大值是七、函数f(x)具有奇偶性的必要非充分条件是什么？f(x)定义域关于原点对称假设f( x) f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称假设f( x) f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称注意如下结论：1在公共定义域：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇 函数的乘积是奇函数。(2)假设f(x)是奇函数且定义域中有原点，

11、那么f(0)0。如：假设f (x)2x匚为奇函数,1a2x4x 1又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x (0，1)时，f(x)求f(x)在1，1上的解析式八. 判断函数奇偶性的方法1、疋义域法一个函数是奇偶函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇偶函数的必要条件.假设函数的定义域不关于原点对称，那么函数为非奇非偶函数 2、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f( x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)励f(x)f(-x)f(x)-f(-x)=O 偶函数偶函数奇函数3、复合函数奇偶性f(g)g

12、(x)fg(x)f(x)+g( x)f(x)*g( x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶：偶偶偶偶九、你熟悉周期函数的定义吗？(假设存在实数T(T 0)，在定义域内总有f x T f(x)，那么f(x)为周期函数，T是一个周期。女口：假设 f x af (x)，贝U我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反响过来，这时说这个函数周期 2t.推导：J tJXfJ 20)0 f(x) f(x 2t)，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x). 其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直 线对称

13、，对称轴可以由括号的2个数字相加再除以2得到。 比方，f(x)=f(2a-x), 或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。如：f (x) f (2a x)f (x) f(2b x)f (2a x) f(2b x)2a x,那么2b x t 2b 2a, f(t)f (t 2b 2a)又如：假设f (x)图象有两条对称轴x a, x bf(b x)即f (a x) f (a x), f (b x)即 f (x) f (x 2b 2a)所以，函数f (x)以2|b a|为周期(因不知道a,b的大小关系, 为保守起见，我加了一个绝对值十.你掌握常用的图象变换了吗？f (x)与

14、f ( x)的图象关于y轴对称 联想点x,y,(-x,y)f (x)与f(x)的图象关于x轴对称联想点x,y,(x,-y)f(x)与f( x)的图象关于原点对称 联想点x,y,(-x,-y)f(x)与f Tx)的图象关于 直线y x对称 联想点x,y,(y,x)f (x)与f (2a x)的图象关于 直线xa对称 联想点x,y,(2a-x,y)f(x)与f(2a x)的图象关于 点(a, 0)对称 联想点x,y : ,(2a-x,0)y f (x a) b y f (x a) b将y f(x)图象 左移a(a 0)个单位y f(x a)上移b(b 0)个单位右移a(a 0)个单位 y f(x

15、a)下移b(b 0)个单位注意如下“翻折变换：f (x)| f (x) |把x轴下方的图像翻到上面f (x) f (| x |)把y轴右方的图像翻到上面如：f(x) log2 x 1作出y log2 x 1及y log? x 1的图象y=log 2x你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?x(k为斜率，b为直线与y轴的交点)(2)反比例函数：kkyk 0推广为y bk 0是中心O'( a， b)xx a(1) 一次函数：y kx b k 0的双曲线22(3)二次函数 y ax bx c a 04ac b24a图象为抛物线顶点坐标为b 4ac b22a 4a，对称轴xb2a开口方向：a 0,

16、向上，函数ymin4ac4aa 0，向下，ymax4ac b24a根的关系:2aXiX2b,Xi aX2C,|XiaX2I£|a|二次函数的几种表达形式:f (x) ax2 bx c(一般式)f (x) a(x m)2 n(顶点式，(m，n)为顶点f (x) a(x xj(x x2)(x1, x2是方程的 2个根)f (x) a(x xj(x x2) h(函数经过点(x-i, h)(x2, h)应用：“三个二次二次函数、二次方程、二次不等式的关系二次方程ax2 bx c 0，0时，两根x1> x2为二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的两个交点，也是二次不等式ax2 bx

17、c 0( 0)解集的端点值 求闭区间m n上的最值。区间在对称轴左边n区间在对称轴右边m区间在对称轴2边nb)f max f (m), f min 2a) f max f (n), f min 2am2af(n)f(m)max(f (m), f (n)七.4ac b2 f min, f max4a也可以比较m,n和对称轴的关系，距离越远，值越大 只讨论a 0的情况 求区间定动，对称轴动定的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。如：二次方程ax2 bx c 0的两根都大于k0b2ak一根大于k，一根小于kf(k) 0在区间m，n)内有2根0bn2a在区间m，n)内有1根f(m) 0f( n) 0

18、f (m) f (n)04指数函数:a 0，(5)对数函数y logaX a0, a由图象记性质!注意底数的限定！k(6)“对勾函数 y x k 0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？均值不等式一定要注意等号成 立的条件15.你在根本运算上常出现错误吗？指数运算：a01 (a 0)，a1 -(a 0) apman n am (a 0)，a丄(a 0)n m对数运算：lOga(MN)loga M logaN M0, N 0MaN aMlOg a N， log a n M丄 loga M n对数恒等式：alog对数换底公式：loga blog logcalogbnlog a

19、b m. 1loga x logxa16.如何解抽象函数问题？赋值法、结构变换法如：(1)x R，f(x)满足 f (xy)f(x)f(y)，证明f (x)为奇函数。(先令x y 0f(0) 0再令yX,)(2) x R, f(x)满足f(xy) f (x) f(y)，证明 f(x)是偶函数(先令x y t f ( t)( t) f(t t) f( t) f( t) f(t) f(t)-f( t) f(t)(3) 证明单调性：f(x2) f x2 x1 x2对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、代 y=x，2、令x=0或1来求出f(0)或f(1)3、求奇偶性，令y=x ；求单

20、调性：令x+y=xi几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的抽象函数fx= kxkM 0 fx± y= fx土 fy2. 幕函数型的抽象函数fx= xa fxy= fxf y ； f - =111y f(y)3. 指数函数型的抽象函数fx= ax fx + y= fxfy； fx y=f(y)4. 对数函数型的抽象函数fx= lo gaxa>0 且 aM 1fx y= fx + fy； f -= fx fy y5. 三角函数型的抽象函数fx= tgxfx + y=3 宾1 f(x)f(y)fx= cot xfx+ y= f (x)f (y)_1f (x) f(y)例1函数f x对

21、任意实数x、y均有f x+ y= f x + f y，且当x>0时，f (x)>0，f( 1) = 2求f(x)在区间2,1上的值域.分析：先证明函数fx在R上是增函数注意到fX2= f X2 xJ+ X1 = fX2 x+ f X1；再根据区间求其值域.例 2 函数 fx对任意实数 x、y 均有 fx + y +2 = fx +fy,且当 x>0 时，f(x)>2，f(3)=5 ,求不等式f a2-2a- 2<3的解.分析：先证明函数fx在R上是增函数仿例1；再求出f 1= 3;最后脱去函数符号例 3 函数 fx对任意实数 x、y 都有 fxy= fxf y，且

22、 f 1= 1, f27= 9, 当 OW xv 1 时，fx 0 , 1.1判断fx的奇偶性；2判断f x在O,+x 上的单调性，并给出证明；3假设a>0且fa+ 1w 3.9，求a的取值围.分析：1令y = 1 ；2利用 fxj竺X2 X2= f冬f X2；X23OW a< 2.例4设函数fx的定义域是 x,+x，满足条件：存在X1工X2,使得fxj工fX2； 对任何x和y, fx+ y= fxfy成立.求：1 f 0；对任意值x，判断fx值的符号.分析：1令 x= y= 0；2令 y = x工0.例5是否存在函数fx，使以下三个条件：fx>0,x N；f a+ b= f

23、afb，a、 b N；f2= 4.同时成立？假设存在，求出fx的解析式，假设不存在，说明理由.分析：先猜出fx= 2X;再用数学归纳法证明.X y=f x+f y:, f 3例6设fx是定义在0,+x上的单调增函数，满足 =1,求：(1) f1；(2) 假设fx+ fx 8W 2,求x的取值围. 分析：1利用3= 1X 3；2利用函数的单调性和关系式.例7设函数y= fx的反函数是y = gx.如果fab= fa+ fb，那么g a+ b= ga gb是否正确，试说明理由.分析：设 fa= m fb= n,那么 ga, gn= b, 进而 m+ n = f a + fb= fab= f g m

24、 gn.例8函数fx的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：X1、X2是定义域中的数时，有X1 X2f(Xjf(X2)1f(X2) f(X1) f a= 1a>0, a是定义域中的一个数； 当 0v xv 2a 时，fxv 0.试问：(1) fx的奇偶性如何？说明理由；(2) 在0, 4a上，fx的单调性如何？说明理由.分析：1利用 f X1 X2 = f X1 X2，判定 fX是奇函数;(3)先证明fx在0, 2a上是增函数，再证明其在2a, 4a上也是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的根本初

25、等函数.因此，针对不同的函数要进展适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例 9 函数 f xx 工 0满足 f xy= fx+ f y，(1) 求证：f 1= f一 1= 0;(2) 求证：fx为偶函数；1(3) 假设fx在0，+x上是增函数，解不等式fx+ fx- w 0.2分析：函数模型为：fx= logjx| a>0(1) 先令 x = y = 1，再令 x = y = 1 ；(2) 令 y = 1 ；(3) 由fx为偶函数，那么fx= f|x|.例10函数fx对一切实数x、y满足f0工0，fx+ y= fx fy，且当xv 0时，f x> 1，求证：(1)

26、当 x >0 时，0v fxv 1；(2) fx在x R上是减函数.分析：1先令x = y = 0得f0= 1，再令y = x ；(3) 受指数函数单调性的启发：由 fx+ y= fxfy可得 fx y= f(x)，f (y)进而由 X1< X2，有 f(x1)= fX1 X2> 1.f(X2)练习题：1. : fX+ y= fX+ fy对任意实数x、y都成立，那么Af0= 0 Bf0= 1Cf0= 0或1D以上都不对2. 假设对任意实数x、y总有fxy= fx+ f y，那么以下各式中错误的选项是1Af 1= 0 Bf= f xxCf -= fx一 fyDfxn= nfxn Ny3. 函数 fx对一切实数 x、y 满足：f0工0，fx+ y= fxfy，且当 xv0 时，fx>1,那么当x>0时，fx的取值围是A 1，+x b x，1C0，1 D 1，+x4. 函数fx定义域关于原点对称，且对定义域不同的 X1、X2都有fX1 X2=丄凶，那么 fX为1 f(Xjf(X2)A奇函数非偶函数B偶函数非奇函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非