(完整版)直线与方程知识点总结

1、直线与方程知识点总结一、直线基本知识1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点： . 与 x 轴相交 ;.x 轴正向 ;. 直线向上方向 . 直线与 x 轴平行或重合时 , 规定它的倾斜角为 00. 倾斜角 的范围 001800. 090 ,k 0 ；90180 ,k 0（2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为 900的直线斜率不存在。经过两点 P1（x1,y1）,P2（x2,y2）（x1 x2 ）的直线的斜率公式是 k y2 y1（ x1 x2） x2 x1 每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线

2、平行对于两条不重合的直线 l1,l2，其斜率分别为 k1, k2 ，则有 l1/l2 k1 k2。特别地，当直线 l1,l 2的斜率都不存在时， l 1与l 2的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线 l1,l2斜率存在，设为 k1, k2 ，则 l1 l2 k1gk2 1注：两条直线 l1,l2垂直的充要条件是斜率之积为 -1 ，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为-1 ，可以得出两直线垂直， 反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为 -1。如果 l1,l2中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时， l1与l2 互相垂直。二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条

3、件局限性点斜式y y1 k(x x1)（x1, y1）为直线上一定点， k 为斜率不包括垂直于 x 轴 的直线斜截式y kx bk 为斜率， b 是直线在 y 轴上的截距不包括垂直于 x 轴 的直线两点式y y1 x x1 y2 y1 x2 x1（其中 x1 x2, y1 y2）(x1,y1),(x2,y2) 是直 线 上 两定点不包括垂直于 x 轴 和 y 轴的直线截距式xy1aba 是直线在 x 轴上的非零 截距， b 是直线在 y 轴上 的非零截距不包括垂直于 x 轴 和 y 轴或过原点的 直线一般式Ax By C 0 (其中 A, B不同时为 0)A， B ，C 为系数无限制，可表示任

4、 何位置的直线注：过两点 P1(x1, y1),P2(x2, y2) 的直线是否一定可用两点式方程表示？(不一定。 (1) 若 x1 x2且y1 y2 ，直线垂直于 x 轴，方程为 x x1；(2)若 x1 x2且y1 y2 ，直线垂直于 y 轴，方程为 y y1；(3) (3)若 x1 x2且y1 y2 ，直线方程可用两点式表示)x1 x22y1 y222、线段的中点坐标公式x 若两点 P1(x1, y1), P2( x2 , y2 ) ，且线段 P1,P2的中点 M 的坐标为 (x,y)，则y3. 过定点的直线系斜率为 k且过定点 ( x0 , y0 )的直线系方程为 y y0 k(x x

5、0) ； 过 两 条 直 线 l1: A1x B1y C1 0 , l2 : A2x B2y C2 0 的交 点 的 直 线系 方程 为A1x B1y C1 (A2x B2y C2) 0( 为参数)，其中直线 l 2不在直线系中 .三、直线的交点坐标与距离公式1. 两条直线的交点设两条直线的方程是 l1: A1x B1y C1 0, l2 :A2x B2y C2 0两条直线的交点坐标就是方程组 A1x B1y C1 0 的解，A2x B2y C2 0 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2. 几种距离(1

6、) 两点间的距离平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2, y2) 间的距离公式 P1P2(x2 x1)2 (y2 y1)2特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x,y) 的距离 OPx2 y2(2) 点到直线的距离点P(x0,y0)到直线l:Ax By C 0的距离d Ax0 2By0 2CA2 B2(3) 两条平行线间的距离 两条平行线 l1:Ax By C1 0, l2:Ax By C2 0间的距离 d C2 C1A2 B2 (注意： 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能 套用公式计算。)补充：1、直线的

7、倾斜角与斜率(1) 直线的倾斜角(2) 已知斜率 k 的范围，求倾斜角 的范围时，若 k 为正数，则 的范围为 (0, ) 2的子集，且 k=tan 为增函数； 若 k 为负数，则 的范围为 ( , ) 的子集，且 k=tan 为增 2函数。若 k 的范围有正有负，则可所范围按大于等于 0 或小于 0 分为两部分，针对每一部 分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。2 、利用斜率证明三点共线的方法：已知 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),若 x1 x2 x3或kAB kAC ，则有 A、B、C三点共线。注：斜率变化分成两段， 900是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。3.

8、两条直线位置关系的判定：已知 l1 : Ax By C1 0,l2 :AxBy C2 0 ，则：1) l1 l2A1A2 B1B202)l1/l2A1B2 -A2B10,A1C2A2C1 0;3) l1与l 2重合A1B2- A2B1 0,A1C2 A2C1 0;4)l1与 l2相交A1B2 A2B1 0如果 A2B2C2 0 时，则：(1) l1 l21 ?A211 2B1B2(2) l1 /l2B1C1(A2,B2,C2不为 0)；1 2A2B2C2(3) l1 与l2重合A1B1C1(A2,B2,C2不为 0)A2B2C2 2 2 2(4) l1 与 l2 相交A1B1(A2,B2不为

9、0)A2B24. 有关对称问题常见的对称问题：(1)中心对称若点 M(x1,y1)及N(x2,y2)关于 P( a,b)对称，则由中点坐标公式得x 2a x1 y 2b y1直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出 它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利 用 l1 /l2 ，由点斜式得到所求直线方程。(2)轴对称点关于直线的对称若两点 P1 ( x1, y1 )与P2 ( x2 , y2 )关于直线 l:Ax By C 0对称，则线段 P1P2的中点在对称轴 l 上，而且连接 P1P2的直线垂直于对称轴 l 上，由方程组A

10、(x1 x2 ) B(y1 y2) C 0 2 2x2y2 y1 ?( A) 1y2x2 x1B可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标 (x2,y2) (其中 A 0,x1 x2 ) 直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴 相交；二是已知直线与对称轴平行。注：曲线、直线关于一直线 y x b对称的解法： y换x ，x换y . 例：曲线 f(x, y) 0关于直线 y x 2对称曲线方程是 f (y 2,x 2) 0曲线C:f(x,y) 0关于点 (a,b)的对称曲线方程是 f(2a x,2b y) 05. 两条直线的交角直线 l1到l

11、 2的角(方向角)；直线 l1到l 2的角，是指直线 l1绕交点依逆时针方向旋转到与 l 2重合时所转动的角 ，它的范围是 (0, )，当90 时 tank2 k11 k1k2两条相交直线 l 1与l 2的夹角：两条相交直线 l 1与l 2的夹角，是指由 l1与l2 相交所成 的四个角中最小的正角 ，又称为 l1和l 2所成的角，它的取值范围是 0, ，当 90 ，则 k2 k1有 tan .1 k1k 26. 直线 l 上一动点 P到两个定点 A、B的距离“最值问题”：(1) 在直线 l上求一点 P，使 PA PB 取得最小值， 若点 A、 B 位于直线 l 的同侧时，作点 A (或点 B

12、)关于 l 的对称点 A/ 或 B/ , 连接 A/B(或AB/ )交l于P，则点 P即为所求点 . 若点 A、B位于直线的异侧时，连接 AB交于l点P，则 P为所求点。 可简记为“同侧对称异侧连” . 即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点 位于直线的异侧时，直接连接两点即可 .(2)在直线 l上求一点 P使 PA PB取得最大值，方法与( 1)恰好相反，即“异侧对称同侧连” 若点 A、B位于直线 l的同侧时，连接 AB交于l 点P ，则P为所求点。 若点 A、B 位于直线的异侧时，作点A (或点 B )关于 l 的对称点 A/ 或 B/ ,连接 A/B(或AB/ )交l于P，则

13、点 P即为所求点 .22(3) PA2 PB 2的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴” 。7. 直线过定点问题： 含有一个未知参数，y (a 1)x 2a 1 y a(x 2) x 1(1)令 x 2 0 x 2，将 x 2代入 (1)式，得 y 3， 从而该直线过定点 ( 2,3) 含有两个未知参数m(3x y) n( x 2y 1) 0(3m n)x (m 2n)y n 0173 xy10y y2 xx 3从而该直线必过定点 （ 1,3）778. 点到几种特殊直线的距离 （1）点P（x0,y0）到x轴的距离 d |y0|。（2）点P（x0,y0）到y轴的距离 d |x0|.（3）点 P（x0,y0）到与 x 轴平行的直线 y=a的距离 d |y0 a|。（4）点 P（x0,y0）到与 y 轴平行的直线 x=b的距离 d |x0 a|.9. 与已知直线平行的直线系有：（1）平行于直线 Ax By C 0的直线可表示为 Ax By C/ 0（C/ C）（2）平行于直线 y kx b的所有直线为 y kx b/（b/ b）10. 易错辨析：（1） 讨论斜率的存在性： 解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：