2020年九年级数学中考三轮压轴专题每日一练：《圆的综合》

1、三轮压轴专题每日一练：圆的综合1 如图，矩形ABCD中，AB6，AD8动点E，F 同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1 个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作O交射线BD于点M，设运动的时间为t（ 1 ）当点E 在线段AD上时，用关于t 的代数式表示DE， DM（ 2）在整个运动过程中，连结CM，当t 为何值时，CDM为等腰三角形圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t 的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长2如图，AB是O的直径，C为O上一点，P是半径OB上一动点（不与O， B重合），过点 P 作射线 l AB，分别交弦BC，于 D， E两点，

2、过点C的切线交射线1 于点F（ 1 ）求证：FC FD（ 2）当E 是 的中点时，若BAC 60°，判断以O， B， E， C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；若 ，且AB 30，则OP3如图1，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点E，BD平分ABE交AC于F，交O于点D，且BDECBE（ 1 ）求证：BC是O的切线；（2）如图2，延长ED交直线AB于点 P，若PA AO， DE 2，求的值及 AO的长4如图：AB是O的直径，C、 G是O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F（ 1 ）求证：CD是

3、O的切线；（ 2）若EDDB，求证：3OF 2DF；（ 3）在（2）的条件下，连接AD，若CD 3，求AD的长DEFG的一边DG在直径AB上，另一5如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形边 DE过ABC的内切圆圆心I ，且点 E 在半圆弧上C 对边为c），1 ）若设ABC的三边为a， b， c（其中A对边为a，B对边为b，试用含a， b， c 的代数式表示AD， BD的长6规定三角形的三条内角平分线的交点叫三角形的内心2）证明：正方形DEFG的面积和ABC的面积相等1 ） 已知I 为三角形ABC的内心，连接 AI 交三角形ABC的外接圆于点D， 如图所示，连接 BD和 CD，求证：B

4、D CD ID2）已知三角形ABC， AD平分BAC且与它的外接圆交于点D，在线段AD上有一点I 满足 BD ID 试问点I 是否是三角形ABC的内心？若是加以证明；若不是，说明理由7如图，在RtABC中，BAC90°，D是BC边上的一点，过A，B，D三点的O交 AC于点E，作直径AF，连结FD并延长交AC于点G，且FGBE，连结BE，BF（ 1 ）求证：AB BD；（ 2）若BD 2CD， AC 5，求O的直径长8如图，在O中，AB是直径，CD是弦，ABCD于点E，BFOC，连接BC和CF，CF交AB于点G1 ）求证：OCFBCD；2）若CD 8， tan OCF，求 O半径的长9

5、如图，ABC是O的内接三角形，AB AC，点P是 的中点，连接PA、 PB、 PC1 ）如图 1 ，若BPC 60°，求ACP；2）如图2，若BC 48， AB 40，求AP的长10已知，ABC内接于O， AC为O的直径，点D为优弧BC的中点（ 1 ）如图1 ，连接OD，求证：AB OD；（2）如图2，过点D作DEAC，垂足为E若AE3，BC8，求O的半径11 如图，AB为O的直径，CD是弦，ABCD于点E，OFAC于点F，BEOF（ 1 ）求证：AFOCEB；（ 2）若BE 4， CD 8 ，求：O的半径；求图中阴影部分的面积12如图，O的直径AB 26， P是 AB上（不与点A、

6、 B重合）的任一点，点D 为O上的两点，若APDBPC，则称CPD为直径AB的“回旋角”1 ）若BPCDPC 60°，则CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；2）若的长为，求“回旋角”CPD的度数；3）若直径AB的“回旋角”为120°，且PCD的周长为24+13 ，直接写出AP的长13已知：ABC内接于O，连接CO并延长交AB于点E，交O于点D，满足BEC 3ACD（ 1 ）如图 1 ，求证：AB AC；（ 2）如图 2，连接BD，点F 为弧BD上一点，连接CF，弧CF弧BD，过点A作AGCD，垂足为点G，求证：CF+DG CG；（ 3）如图3，在（2）的条件下，点H

7、为AC上一点，分别连接DH，OH，OHDH，过点C作CPAC，交O于点P，OH：CP1：，CF12，连接PF，求PF的长14如图，在正方形ABCD中，AB 4，动点P从点A出发，以每秒2 个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B 停止连接DP交AC于点E，以DP为直径作O交AC于点F，连接DF、 PF（ 1 ）求证：DPF为等腰直角三角形；（ 2）若点P的运动时间t 秒当 t 为何值时，点E 恰好为AC的一个三等分点； 将 EFP 沿 PF 翻 折 ， 得 到 QFP， 当 点 Q 恰 好 落 在 BC 上 时 ， 求 t15已知：AB为O的直径，点C， D在O上， ，连接AD， OC1

8、 ）如图 1 ，求证：AD OC；2）如图 2，过点 C作 CE AB于点E，求证：AD 2OE；3）如图3，在（2）的条件下，点F在OC上，且OFBE，连接DF并延长交O于点G，过点G作CHAD于点H，连接CH，若CFG135°，CE3，求CH的长参考答案1 如图，矩形ABCD中，AB6，AD8动点E，F 同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1 个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作O交射线BD于点M，设运动的时间为t1 ）当点E 在线段AD上时，用关于t 的代数式表示DE， DM2）在整个运动过程中，连结CM，当t 为何值时，CDM为等腰三角形圆心

9、O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t 的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长MEED AD AE 8 tEF为O的直径，EMF 90°EMD 90°MD ED?cos MDE2）a、如图2 所示：连接MC6,解得tb、如图3所示：当MaMD0寸，连接MG过点M作MISLCQ垂足为N. DN=NC. MNLCDBCLCDBC/ MN为BD的中点.式 8-t)5=5,解得t =7_. MD=5,即C作 CGL DM. CM=CD CGLMD. .GD=-MD= 25.DG CD 3'CD "BD _5'318 DG=TCD= r-. b

10、d2(8-t) 18 5" 5 ,解得：t = - 1 (舍去)d、如图5 所示：当CD DM时，连接EM AE t ， AD 8， DE t 8 EF为 O的直径， EM DM DM ED?cos EDM 6，解得：t综上所述，当t 或 t 或 t 时，DCM为等腰三角形当t 0 时，圆心O在 AB边上如图 6 所示：当圆心O在 CD边上时，过点E 作 EH CD交 BD的延长线与点HHE CD， OF OE，DF DHDH， DF 10 t，解得： t sin ADB sin EDH， O为 EF的中点，D为 FH的中点，取 AB的中点N，连接ON，过点O作 OM AB于点M，四

11、边形MADO为矩形， MA DO， MO AD 8， AN 3， MN 3， NO在此范围内圆心运动的路径长为综上所述，在整个运动过程中圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，t 的取值范围为0 t ，在此范围内圆心运动的路径长为2如图，AB是O的直径，C为O上一点，P是半径OB上一动点（不与O， B重合），过点P 作射线l AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线1 于点F（ 1 ）求证：FC FD（ 2）当E 是的中点时，若BAC 60°，判断以O， B， E， C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；若 ，且AB 30，则OP1 ）证明：连接OCCF是O的切线

12、，OC CF，OCF 90°，OCB+ DCF 90°，OC OB，OCB OBC，PD AB，BPD 90°，OBC+ BDP 90°，BDP DCF，BDP CDF，DCF CDF，FC FD；2）如图2，连接OC， OE， BE， CE，以O， B， E， C为顶点的四边形是菱形理由如下： AB是直径，ACB 90°，BAC 60°，BOC 120°，点E是 的中点，BOE COE 60°， OB OE OC，BOE， OCE均为等边三角形， OB BE CE OC四边形BOCE是菱形；，设AC 3k， BC

13、 4k（ k> 0），由勾股定理得AC2+BC2AB2，即（3k）2+（4k）2302，解得k6， AC 18， BC 24，点E是的中点， OE BC， BH CH 12，SOBEOE×BHOB×PE，即15×1215PE，解得：PE12，由勾股定理得OP 9故答案为：93如图1，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点E，BD平分ABE交AC于F，交O于点 D，且BDECBE（ 1 ）求证：BC是 O的切线；2）如图2，延长ED交直线AB于点P，若PAAO，DE2，求的值及AO的长1 ）证明：如图1 中，连接BEAB是直径，AEB 90°，A+

14、ABE 90°，ADEBC，ABE+ EBC 90°，ABC 90°，AB BC，BC是O的切线；2）如图 2 中，连接OD、 BEBD平分ABE，D 是 的中点，OD AE，AE BE，BE OD，PA OA OB，OP 2OB， 2， 2，PD 2DE 4，PDBPAE，PD?PE PA?PB，4如图：AB是O的直径，C、 G是O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点CD BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F（ 1 ）求证：CD是O的切线；（ 2）若EDDB，求证：3OF 2DF；（ 3）在（2）的条件下，连接AD，若CD 3，求AD

15、的长C 的直线AC CG，ABC CBG，OC OB，OCB OBC，OCB CBG，OC BG，CD BG，OC CD，CD是O的切线；2）解：如图1，CD BG，BDE 90°，EDDB，tan EE 30°，EBD COE 60°，OC OE，OC OA AE，OC BD，EOC EBD， ，OC BD，COF BDF，3OF 2DF；3）解：如图2，过A作 AH DE于 H，E 30°EBD 60°，CBD EBD 30°，CD 3，BD 3 ， DE 9， BE 6 ，AE BE 2，AH，EH 3，DH 9 3 6，5如图

16、，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边 DE过ABC的内切圆圆心I ，且点E 在半圆弧上（ 1 ）若设ABC的三边为a，b，c（其中A对边为a，B对边为b，C对边为 c），试用含a， b， c 的代数式表示AD， BD的长（ 2）证明：正方形DEFG的面积和ABC的面积相等解：（1 ）如图，设圆I 与 AC切于点M，与BC切于点N，6规定三角形的三条内角平分线的交点叫三角形的内心AD AM， CM CN， BN BD，AD+AM AB+BC+CA CM CN BN BD a+b+c 2a b+c a，2）连接AE、 BEAB是直径，AEBACB 90

17、°，c1 2 a2+b2，DEFG是正方形，ED AB，DE2 AD?BD×abDEFG的面积和ABC的面积相等BD CD ID1 ）证明：连接BI， I 是ABC的内心，BADDAC，ABI CBI，弧BD弧DC， BD DC，BIDABI+ BAD，IBDCBI+ DBC，CADBADDBC，DBIBID， BD DI， BD CD ID（ 2）答：I 是三角形ABC的内心证明：连接BI ，BIDABI+ BAD，IBDCBI+ DBC， BD ID，BIDIBD，AD平分BAC，BAD CAD DBC，ABICBIBIDBAI，ABICBI，即 I 在ABC的平分线上

18、，即 I 是BAC何ABC的平分线的交点， I 也在ACB的角平分线上，即 I 是三角形ABC的内心7如图，在RtABC中，BAC90°，D是BC边上的一点，过A，B，D三点的O交 AC于点E，作直径AF，连结FD并延长交AC于点G，且FGBE，连结BE，BF（ 1 ）求证：AB BD；（ 2）若BD 2CD， AC 5，求O的直径长解：（1 ）如图，连接EF、 EDAF为直径，ABFAEF 90°，BAC 90°，ABFE是矩形，AB EF， AE BF，DF BE，BF DE，BFDE是等腰梯形，BD EF， AB BD（ 2）设CD x，则AB BD 2CD

19、 2x， BC 3x在 Rt ABC中：AB2+AC2 BC2，（2x） 2+52（3x） 2，解得x1， x2（舍）， CD， AB BD 2 ，设 BF AE DE y，则CE 5 y，在 Rt CED中：DE2+CD2 CE2， y2+5（5 y） 2，解得y 2， BF DE AE 2， AF 2 ，即O的直径长为2 8如图，在O中，AB是直径，CD是弦，ABCD于点E，BFOC，连接BC和CF，CF交AB于点G（ 1 ）求证：OCFBCD；（ 2）若CD 8， tan OCF，求 O半径的长，BCD BFC，BF OCOCF BFC，OCF BCD；2）解：AB CD，CE CD 4

20、，OCF BCD tan OCF tan BCD， CE 4， BE 2，设 OC OB x，则OE x 2，在 Rt OCE中，由勾股定理得：x2（x 2） 2+42，解得：x 5，即O半径的长为59如图，ABC是O的内接三角形，AB AC，点P是 的中点，连接PA、 PB、 PC（ 1 ）如图 1 ，若BPC 60°，求ACP；2）如图2，若BC 48， AB 40，求AP的长解：（1 ）BPC 60°BAC 60°， AB AC，ABC为等边三角形，ACBABC 60°，APCABC 60°，而点 P是 的中点，ACP ACB 30 &#

21、176;；（ 2）连接OP， OB， AO并延长交BC于 D，AB AC，AD BC，BD CD BC 24，AB 40，AD 32，OD 32 AO，OB OA，OB2 OD2+BD2，OB2（32 OB） 2+242，OB 25，P 是的中点，OP AB， AE BEAB 20，OE 15，PE 25 15 10，PA 10 10已知，ABC内接于O， AC为O的直径，点D为优弧BC的中点（ 1 ）如图1 ，连接OD，求证：AB OD；（2）如图2，过点D作DEAC，垂足为E若AE3，BC8，求O的半径1 ）如图1，延长DO交 BC于 F，D为优弧BC的中点，DF BC，AC为O的直径，A

22、B BC，AB OD；2）连接DO并延长交BC于 F，D为优弧BC的中点，DF CB，CF BC 4，DE AC，DEO OFC 90°，DOE COF， OC OD，DOE COF（ AAS），OF OE OA 3，OC2 OF2+CF2，OC2（OC 3） 2+42，BE OF11 如图，AB为O的直径，CD是弦，ABCD于点E，OFAC于点F，1 ）求证：AFOCEB；2）若BE 4， CD 8 ，求： O的半径；求图中阴影部分的面积1 ）证明：AB 为 O 的直径，AB CD，BC BD，ADCB，OF AC，AFO CEB，BE OF，AFO CEB（ AAS）（ 2） A

23、B 为 O 的直径，AB CD， CE CD 4设OC r，则OEr4，r 2（ r 4）2+（4）2 r 8连结OD OE 4OC，OCE 30°，COB 60°，COD 120 °，AFOCEB，S AFO S BCE，S 阴 S 扇形 OCD S OCD×4D 为O12如图，O的直径AB 26， P是 AB上（不与点A、 B重合）的任一点，点上的两点，若APDBPC，则称CPD为直径AB的“回旋角”1 ）若BPCDPC 60°，则CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；2）若的长为，求“回旋角”CPD的度数；AP的长3）若直径AB的“

24、回旋角”为120°，且PCD的周长为24+13 ，直接写出解：CPD是直径AB的“回旋角”，理由：CPDBPC 60°，APD 180°CPDBPC 180°60°60°60，BPCAPD，CPD是直径AB的“回旋角”；（ 2）如图1 ，AB 26， OC OD OA 13，设COD n°， 的长为， n 45，COD 45°，作 CE AB交O于 E，连接PE，BPC OPE，CPD为直径AB的“回旋角”，APDBPC，OPE APD，APD+ CPD+ BPC 180°，OPE+ CPD+ BPC 1

25、80°，D， P， E 三点共线，CED COD 22.5 °，OPE 90°22.5 ° 67.5APDBPC 67.5 °，CPD 45°，即：“回旋角”CPD的度数为45，（3）当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CFAB交O于F，连接PF， PF PC，同（2）的方法得，点D， P， F 在同一条直线上，直径AB的“回旋角”为120°，APDBPC 30°，CPF60°，PCF是等边三角形，CFD60°，连接OC，OD，COD120 °，过点O作OG CD于G，CD2DG，

26、DOG COD60°，DGODsin DOG13×sin60°， CD 13，PCD的周长为24+13 ，PC PF， PD+PF DF 24，过 O作 OH DF于 H， DHDF 12，在 Rt OHD中，OH 5，在 Rt OHP中，OPH 30°， OP 10， AP OA OP 3；当点 P 在半径OB上时，同的方法得，BP 3， AP AB BP 23，即：满足条件的AP的长为3 或 2313已知：ABC内接于O，连接CO并延长交AB于点E，交O于点D，满足BEC 3ACD（ 1 ）如图1 ，求证：AB AC；（2）如图2，连接BD，点F 为

27、弧BD上一点，连接CF，弧CF弧BD，过点A作AGCD，垂足为点G，求证：CF+DG CG；（3）如图3，在（2）的条件下，点H为AC上一点，分别连接DH，OH，OHDH，过点C作CPAC，交O于点P，OH：CP1：，CF12，连接PF，求PF的长1 ）证明：如图1 中，连接AD设BEC 3，ACDBEC BAC+ ACD，BAC 2，CD是直径，DAC 90°，D 90°，BD 90°，90°ACB 180°BACABC 180°2（90°）ABC ACB，AB AC2）证明：如图2 中，连接AD，在CD上取一点Z，使得C

28、Z BD，DB CF，DBADCA， CZ BD， AB AC，ADB AZC（ SAS），AD AZ，AG DZ，DG GZ，CG CZ+GZ BD+DG CF+DG3）解：连接AD，PA，作OKAC于K，ORPC于R，CTFP交FP的延长线于TCP AC，ACP 90°，PA是直径，OR PC， OK AC，PR RC，ORC OKCACP 90°，OKCR是矩形，RC OK，OHa， PC 2a，sin OHKPR RC a，RC OK a，OHK 45，OH DH，DHO 90°，DHA 180°90°45°45，CD是直径，

29、DAC 90°，ADH 90° 45° 45，DHA ADH，AD AH，COP AOD，AD PC，AH AD PC 2a，AK AH+HK 2a+a 3a，在 Rt AOK中，tan OAK， OA a，sin OAKADG+ DAG 90°，ACD+ ADG 90°，DAG ACD，AO CO，OAK ACO，DAG ACO OAK，tan ACD tan DAG tanAG 3DG， CG 3AG，CG 9DG，2）可知，CG DG+CF，DG+12 9DG，DG， AG 3DG 3× ，ADPC AD，sin F sin O

30、AK，sin F12CT× FC× 12 ， FT， PT， PTPF FT PT14如图，在正方形AB方向匀速运动，ABCD中，AB 4，动点P从点A出发，以每秒2 个单位的速度，沿线段到达点B 停止连接DP交AC于点E，以DP为直径作O交AC于点F，连接DF、 PF（ 1 ）求证：DPF为等腰直角三角形；（ 2）若点P的运动时间t 秒当 t 为何值时，点E 恰好为AC的一个三等分点； 将 EFP 沿 PF 翻 折 ， 得 到 QFP， 当 点 Q 恰 好 落 在 BC 上 时 ， 求 t证明：（1 ）四边形ABCD是正方形，AC是对角线，DAC 45，O中，所对的圆周角

31、是DAF和DPF，DAF DPF，DPF 45°，又DP是 O的直径，DFP 90°，FDP DPF 45，DFP是等腰直角三角形；2)当AE： EC 1： 2时， AB CD，DCEPAE，CDEAPE，DCEPAE，解得， t 1 ；当 AE： EC 2： 1 时， AB CD，DCEPAE，CDEAPE，DCEPAE，解得， t 4，点P从点A到 B， t 的最大值是4÷ 2 2，当 t 4 时不合题意，舍去；由上可得，当t 为 1 时，点E 恰好为AC的一个三等分点；如右图所示，DPF 90°，DPFOPF，OPF 90°，DPA+ QPB 90°，DPA+ PDA 90°，PDAQPB，点Q落在BC上，DAPB 90°，DAPPBQ，DA AB 4， AP 2t，DAP