2.1-平面向量的实际背景及基本概念-教学设计-教案

1、教学准备1 .教学目标1、知识和技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向 量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和 共线向量。2、过程和方法：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。3、情感态度和价值观：通过学生对向量和数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。2 .教学重点/难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系3 .教学用具多媒体4 .标签平面向量的实际背景及基本概念教学过

2、程（一）导入新课思路1.（情境导入）如图1,在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃 窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论：追 不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了 .教师适时设问：如何从数学的角度来 揭示这个问题的本质？由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题在物理课中，我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量 和力具有同样特征呢？这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知 识抽象这些具有共同特征的量呢？新的概念是对这些具有共同特征的量的描述，应怎样定义这样的量呢？数量和向量的区别在哪里？活动：教师指导学生阅读教材，思考讨论并解

3、决上述问题，学生讨论列举 和位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的 重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的 ，物体浸在液体中的体积越大 它受到的浮力就越大；速度和加速度都是既有大小 ，又有方向的量；物理中的动 量和冲量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征，我们能否在数学学科中对这 些量加以抽象，形成一种新的量.至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没 有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量 ，物理学上称 为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.讨论结果：略.我们把既有

4、大小，又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.略.提出问题如何表小向量？有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么 ？长度为零的向量叫什么向量？长度为 1的向量叫什么向量？满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗 ？有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向 量？如果把一组平行向量的起点全部移到一点 。，它们是不是平行向量？这时各向 量的终点之间有什么关系？ 数量和向量有什么区别？数学中的向量和物理中的力有什么区别 ？活动：教师指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是 有向线段，是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段，有向线段

5、就是向 量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别.向量只由方向和大 小决定，而和向量的起点的位置无关，但有向线段不仅和方向、长度有关，也和起 点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点、 B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段，通常在有 向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作 八II.起点要写在终点的前面.已知AB，线段AB的长度也叫做有向线段 AB的长度，记作I AB | .有向线段 包含三个要素：起点、方向、长度知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方法是

6、：10起点是A,终点是B的有向线段，对应的向量记作 施:.这里要提醒学生注意的方向是由点 A指向点B,点A是向量的起点.2用字母a,b,c,表示.（一定要学生规范书写：印刷用黑体a,书写用）3°向量（或a）的大小，就是向量（或a）的长度（或称模），记作|疝i |（或|a|）.教师要注意引导学生将数量和向量的模进行比较 ，数量有大小而没有方向，其大 小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0,也可以 比较大小.由于方向不能比较大小，像a>b就没有意义，而|a|>|b|有意义.讨论结果：向量也可用字母a,b,c,表示（印刷用粗黑体丑），手写用来表示， 或

7、用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如方、丽.注意：手写体上面的箭头一定不能漏写.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，具有三个要素：起点、方向、长度.向量和有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，和起点无关，只要大小和 方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要长度为0的向量叫零向量，长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.但要注意, 零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量，记作 0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.对平行向量定义的理解：第一，方向相同或相反的

8、非零向量叫平行向量；第二, 我们规定0和任一向量平行即0/a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义; 向量a,b,c平行,记作a / b / c.如图3.图4又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条和a所在直线0平行的直线 1,在l上任取一点O,则可在l上分别作出=a,=b,=c.这就是说，任一组平行向 量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.说明：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系.是共线向量，也就是平行向量.但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任 一组平行向量都可移到同一直线上（和有向线段的起点无关）.平行向量可以在同 一直线上，要区别于两平行线的

9、位置关系；共线向量可以相互平行 ，要区别于在 同一直线上的线段的位置关系.数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、 大小双重性质，不能比较大小.力有大小、方向、作用点三个要素，而数学中的向量是由物理中的力抽象出来 的，只有大小和方向两个要素，和起点的位置无关.（三）使用示例例1如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.(精确到1 km)a*.1匚nr而而分析：本例是一个简单的实际问题，要求画出有向线段表示位移，目的在于巩固向 量概念及其几何表示.解：;加表示A地至B地的位移，且|万| -232 km;(AB长度X 8

10、000 000+100 000)公表示A地至C地的位移，且| =296 km.(AC长度X 8 000 000+100 000) 点评：位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一 点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.例2判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.ABCm,方和函是共线向量；单位向量都相等.活动：教师引导学生画出平行四边形，如图7.因为AB/CD,所以商/而.由于上面已经明确，单位向量只限制了大 小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1,但方向 不确定.解:(1)正确；不正确.课堂小结本节课从平面向量的

11、物理背景和几何背景入手，利用类比的方法，介绍了向量的 两种表示方法：几何表示和字母表示，几何表示为用向量处理几何问题打下了基 础，字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的 基础上把握好.课后习题1.判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） 和零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量） 和任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）2 .把一