归纳推理教学实录、点评与反思

1、个人资料整理，仅供个人学习使用-1 - / 6归纳推理”教学实录、点评与反思高建国（江苏省扬州大学附属中学）2009 年 12 月 18 日，江苏省第五届数学特级教师研讨会在我校举行，笔者有幸为众多专家上了一节研讨课，课题是苏教版普通高中课程标准实验教科书数学（选修 2-2）归纳推理”下面是这节课的教学过程实录、专家点评和教后反思.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。一、教学过程实录1. 创设情境，引出概念师：（案例 1）今天听课的老师很多，都是数学教育专家，第一次面对这么多专家开公开课，同学们能想象一下老师此刻的心理吗？（四个选项：（1）紧张（2）兴奋（3）忧伤（4）快乐。）聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。

2、生 1 :我想老师此刻肯定紧张.生 2 :我认为老师不但紧张而且兴奋.生 3:我认为老师紧张并快乐着.生 4 :我认为老师紧张.师：如果仅根据这四个同学的猜测，你有什么结论？生：老师紧张.师：（案例 2）同学最懂老师的心，老师此刻心理确实紧张如果换一个经历与老师类似的李老师呢？生：也会紧张.师：（案例 3）事实上，在这种场合下上课，老师们都会紧张的，高老师是老师，我们可以推断一一生：高老师紧张.（此时，学生刚开始拘谨的神态得到缓和，课堂气氛活跃起来.）师：一般的，从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.（教师投影上述整理后的三个推理案例.）师：可以告诉老师三个推理各有什么特点吗

3、？生 5 :案例 1 是从个别事实推演出一般结论；案例2 是一种类比；案例 3 有点类似于立体几何中的公理化系统.师：这三种推理是我们接下来一章推理与证明”要研究的内容，这节课我们重点研究第一种归纳推理.（教师板书课题。）2. 学生活动，感受概念师：投影上有两个归纳推 理案例，一个是推理案 例 1 ,还有一个是课本上求导公式X - - x4的归纳过程，参照两个案例，你能举出新的案例吗？残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骤。生 6:第一个同学表现好； 第二个同学表现好； 第三个同学表现好； 第四个同学表现好. 猜想： 我们班的同学表现都好.酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。（赢得学生掌声一片。）师：例子很好，比照案

4、例，似乎缺了点什么？生 7:应该增加一句，四个同学都是我们班的一员.师：该同学观察仔细，非常好！能不能从我们所学学科知识中举一个例子？生&氢氧化钠与盐酸反应；与硫酸反应；与硝酸反应；盐酸、硫酸、硝酸都是酸.猜想：氢 氧化钠与酸都反应.个人资料整理，仅供个人学习使用-2 - / 6师：非常棒！归纳推理在物理、化学、生物等学科中有广泛的应用.老师将范围进一步缩小，个人资料整理，仅供个人学习使用-3 - / 6能在数学里找一个例子吗？彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔。生 9:简单！ 一一得一；一二得二；一三得三.猜想：一乘以任何数都是他本身.（学生全笑了。）师：看来，小学里我们就学习归纳推理了.有没

5、有漏掉什么？生：应该增加一、二、三是实数.师：可以谈一谈对归纳推理的认识吗？生 10：归纳推理就是从特殊到一般的推理.生 11:归纳推理先要列举出一些事物的共同现象，再指出这些事物属于同一类，最后就可以 猜想该类事物具有相同现象.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍。师：太棒了！将上述推理过程模式化即为：前提：S1 具有（或不具有）性质 P;S2 具有（或不具有）性质 P;Sn 具有（或不具有）性质 P.S1,S2, , Sn 都是 S 类事物的对象.结论：S 类事物都具有（或不具有）性质P.3.数学应用，领悟概念问题 1:已知数列an的第 1 项 a1=1，且 an+仁 一 （n=1 , 2 ,试归纳出

6、这个数列的一个4+a通项公式.厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩。（教师收集学生的不同做法，并投影.）a1111解法 1 ：分别把 n=1,2,3,4 代入an 1得a2, a3, a4, a5，归纳1+an2345师：两个做法有什么区别？生 12:解法 1 应用了归纳推理，解法 2 更严密，但比较难想！师：事实上，归纳推理给我们提供了猜想数列通项公式的方法，是否正确还需严格证明，解法 2 不是归纳推理，它可以用来证明，或用其他方法证明（如数学归纳法）.茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐。问题 2:如右图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分 画两条线段，彼此最多分割成 4 条线段，同时将圆分 割成 4 部分;画三条

7、线段，彼此最多分割成 9 条线段, 同时将圆分割成 7 部分那么鹅娅尽損鹤惨歷茏鴛賴縈解法 2 :由an 11 a1二21 21得丄丄1an 1an故 【是等差数列，从而得an个人资料整理，仅供个人学习使用-4 - / 6将圆分割成部分？預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥。（很快，生 13 给出了第（1）问的答案：16，n2.）师：你能告诉我答案产生的思维过程吗？生 13:设圆内两两相交的n（n 2 条线段，彼此最多分割成 f（n）条线段，由题意，f（1）=1, f（2）=4,f（3）=9,很容易猜测到 f（4）=16, f（n）=n2 .渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨。师：仅凭前三项就猜测结果，可靠吗？生

8、14：可靠！我验证过 n=4 的情况了，的确是 16.师：很好，适当的验证可以进一步提高猜测的合理性，但f（5）=25 肯定对吗？生 15：我觉得可以研究其一般情况要使得到的线段尽量多，应保证第n 条线段与前 n-1 条线段各有一个交点， 从而每条线段都被分成了 n 条小线段，所以共有 n2 条线段.铙誅卧泻噦圣骋 贶頂廡缝勵。师：大胆猜想值得肯定，适当验证更显严谨，理性思考应该表扬！希望完成题（2 ）的时候既要有直觉猜测，也要有理性思考.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢。师：总结问题 1 和问题 2,能描述一下归纳推理的思维过程吗? 生 16：首先要观察，其次，需找出共性，最后合理猜测.（教师补充完

9、善归纳推理的思维过程）师：我们来体验一下上述过程.老师这儿有6 个信封，你能猜测到里面装的是什么吗?（学生七嘴八舌，猜礼品、书签等等.教师打开前三个信封，给学生展示的都是一张张课本中已学过的涉及归纳推理内容的纸条.）贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉。师：试验是归纳推理的基础，现在能猜测到了吗?生：是有关归纳推理内容的纸条.（教师打开第四个信封，正如学生所答.）师：第五个信封呢？ 生：还是有关归纳推理内容的纸条.（教师展示纸条内容是 你们猜错了 ”。学生笑声一片。）师：现在应作何猜想？生 17：可以猜装的是纸条.（附和声一片。）师：很好，概括推广的必须是共性敢猜第六个信封吗？（学生直摇头教师打开第六个信

10、封，里面没放任何东西学生惊愕！）师：说明了一个道理，归纳猜测可能出错！那为什么还要教大家这种方法呢？请看问题3.问题 3:请你观察 4=2+2 , 6=3+3 , 8 = 3+5 , 10= 5+5=3+7, 12= 5+7, 14= 7+7=3+11 , 16 = 5+11=3+13,根据上述等式左右两边数字特征，请你填空18=+=+ ,，1000=29+971, 1002=139+863， 由此，请猜想：.坛搏乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱。师：同学们相互交流一下，看看哪个同学的答案更合理.师：真厉害！著名的哥德巴赫猜想就这样轻易被大家发现了！提到哥德巴赫猜想，就不得不 提到中国数学家陈景润，他在极

11、其艰苦的条件下完成了对哥德巴赫猜想最逼近的证明，至今 无人能及！数学中很多猜想都是归纳出来的，同学们可以去研究看看，当然，做个有心人， 留意身边的事，你也能提出有意义的猜想！蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦。试验、观察*概括、推广 猜测一般性结论个人资料整理，仅供个人学习使用-5 - / 64.回顾反思，提炼概念师：请同学谈谈这一节课的收获（教师结合学生小结指出归纳推理的特点 ）二、教后专家点评 张乃达、石志群、华志远、何继刚、昌明等五位省特级教师对这节课做了认真点评和总结1. 对教材理解到位，教学重点突出 本节课的教学内容对学生来说并不乏认识基础，学生已经接触过很多运用归纳推理进行探索 的实例 本节

12、课的核心就是要引导学生 “从理性上认识归纳推理 ”。具体地说，就是要解决这样 几个层次：什么叫推理？怎样进行推理？什么叫归纳推理？怎样进行归纳推理？归纳推理的 可靠性？归纳推理的创造性 为此本节课紧紧围绕 “理性认识归纳推理 ”这一教学目标， 以教学 生如何分析问题为突破口，以提升学生归纳能力为重点，以让学生形成积极探求新知的欲望 为情感目标，成功设计出层层递进的 “问题链 ”，用问题激活学生思维，用问题推进教学进程， 用问题引导学生探究買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌。2. 在引导学生探究中实现知识建构 本节课教材内容非常简单，归纳推理的概念也早已存在于学生的认知之中，而且在不少场合 下都已不自觉地

13、 “实际使用 ”，因此本节课的目标就是要让归纳推理的概念、 步骤、 特点进一步 明确化，传统的做法是将概念讲深讲透，精讲多练，这显然忽视了学生的主观能动性，不利 于学生的发展本节课的引入构思巧妙，从具体的场景出发设计出的三个问题让学生自然形 成推理的概念，揭示出全章所学主要内容，有利于引导学生从学科整体把握所学内容通过 让学生参照两个案例，举出新的归纳推理案例来引导学生感受概念，在概念的形成和构建上 舍得花时间，有利于激活学生思维，使学生深刻理解归纳推理的概念通过问题 1 不同做法 的展示与交流， 让学生深化了概念认识；而问题 2 紧扣 “答案是怎么得到的 ”，通过教师的层层 追问，充分暴露了

14、学生的思维过程，让学生学会 “理性 ”猜测，从而为归纳推理思维过程的自 然得出铺平了道路綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪。3. 在教学过程中适时穿插数学文化数学是人类文化的重要组成部分， 高中数学课程对于认识数学的文化价值具有基础性作用 本 节课是数学概念课，也是数学文化课，如何在概念课的教学中渗透数学文化？本节课做了有 益的尝试，具体表现在三个方面： （ 1）在对三名学生举出归纳推理案例后的评价上，让学生 意识到了数学 “源于生活，又高于生活 ”，也认识到了数学对其他学科的指导作用； （ 2）猜信封 活动模仿了华罗庚教授猜玻璃球的例子（见苏教版普通高中课程标准实验教科书数学（选修 2-2）第 60

15、页），将数学文化灵活应用于教学中，旨在让学生领会归纳推理的结论多样性、 概括性、不可靠性； （ 3）问题 3 是对课本上阅读材料的改编，让学生先猜想出规律，再指出 是哥德巴赫猜想，可以让学生感受到猜想的 “惊人 ”作用，体验学习成就感， 通过对猜想寥寥数 语的评价，却能激发起学生的爱国热情和敢于拼搏，勇于探究的科学精神驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼。4. 问题研讨 本节课开头的引例， 能有效缓解气氛， 从而让学生迅速进入问题情境； 学生归纳推理举例精 彩纷呈，有效调动了学生的主体参与性；猜信封活动进一步将学生的积极性推向了高潮但 这些活动生活味过浓，数学味不足，对于高二的学生来说，建议应该更多的从科

16、学发展的内 推动力角度来设计问题，让问题更符合学生认知水平另外，对数学文化在教学中的渗透方 法、渗透内容、渗透意图等各位专家也有不同的看法：如有的专家提出能否顺便介绍一下费 马猜想；有的专家提出是否可以介绍一下哥德巴赫猜想的证明历程等等猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬。三、课后自我反思这节课是新增内容， 笔者也是第一次讲授该内容， 所以初始的教学设计只能凭自己对该内容 的理解进行 在经过说课、第一次试讲后，我校教研组的听课教师提出了很多中肯的建议， 收获很大，并进行了第二次个人资料整理，仅供个人学习使用- 6 - / 6教学设计在第二次试讲时，我校邀请了江苏省特级教师汤希龙 老师、尤善培老师、扬州市数

17、学教研员王玉宏老师等三位专家对这节课进行了现场指导，在 专家建议的基础上，进行了第三次教学设计最后，以第三次教学设计为蓝本，实施了研讨 课的教学，得到了与会专家的广泛好评反思整个过程，笔者收获很多，感触颇深锹籁饗迳琐 筆襖鸥娅薔嗚訝。1. 要认真研究课程标准和教材 归纳的思想小学生就已开始接触， 初中生已经比较熟悉， 那么为什么到高中二年级还要讲呢？ 笔者开始的理解比较浅薄， 以为只要通过增加 “归纳推理习题 ”的难度来训练学生的归纳能力就 可以了，所以刚开始时，准备了 4 道例题和 3 道练习，例题层层递进，练习紧扣例题，自认 为这样上课效果应该不错谁知教研组的教师们 “将概念课上成了习题课

18、，将新课上成了复习 课 ”的评价给我当头一棒，冷静反思，认真研读普通高中数学课程标准（实验）后，如梦初醒， 意识到了 “从理性上认识归纳推理 ”才是本节课要解决的中心问题， 而要解决该问题， 一味 的通过解题训练是完成不了的，必须要让学生经历整个归纳推理的过程，在过程中还要让学 生认识到归纳推理的价值才行構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲。2. 学情分析恰当方能实施有效教学 本节课在选择例题时，有两个问题暴露出了教师对学情的估计不足，一个是多面体欧拉公式 的归纳过程，笔者在备课收集资料时看到好多教师都采用了这一问题做例题，其好处是明显 的， 该公式有数学文化背景， 也很能巩固归纳推理的步骤， 说明归纳推

19、理的作用， 可是有一 点，很多教师忽略了，那就是在初中教材上，该问题已经作为课后探究拓展出现过，用一个 学生已知结论的素材来做归纳推理的例题，其有效性可想而知了；另一个是哥德巴赫猜想的 处理， 很多教师都认为学生很难猜出结论， 于是设计了很多小问题来引导学生 “探究”，可实际 教学表明，学生很容易就猜想出结论了，这一内容的处理，笔者觉得应该是鼓动学生不畏艰 难、积极探索的一个情感态度渗透时机，课堂教学时间有限， “好钢要用在刀刃上 ”！輒峄陽檉簖 疖網儂號泶蛴镧。3. 学生的活动设计需多元化 本节课的引入应该是很能激起学生学习欲望的，实际教学中也确实收到了效果，教学中，笔 者也一直注意调用各种手段来激发学生的参与积极性，可是事与愿违，到了半节课以后，学 生的注意力、参与程度、学习热情总会呈下降趋势这个问题怎么解决？在第二次试讲后笔 者请教了三位专家， 三位专家的观点如出一辙： 单纯的 “一问一答 ”式的简单互动， 即使语言再 精彩，学生也会出现审美疲劳，要改变课堂学生活动形式！第三次上课时，笔者增加了学生 登台展示交流、小组互助、合作讨论等活动形