2021年全国高考数学试卷(理科)(乙卷)

1、2021年全国高考数学试卷（理科）（乙卷） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（5分）设2（z+耳）+3（z-）=4+6i,贝Uz=（） A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i 2. （5分）已知集合S=s|s=2n+1,nZ,T=t|t=4n+1,nZ,WJSAT =（） A.?B.SC.TD.Z 3. （5分）已知命题p：?xCR,sinxb C. aba2 9.(5分) 7冗 12 二 A. B. 表目距的差 十表距 C. 表高乂表距我目距的差我高 X赛距 10.(5分)设a#0,若x=a为函数f(x)=a(

2、x-a)2(x-b)的极大值点, 一点P都满足|PB|2b,则C的离心率的取值范围是（） A.苧1）B. ,1）C.（。，孕D.（0,1 12 .（5分）设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=LM1,则（） A.abcB.bcaC.bacD.ca0）的一条渐近线为爽x+my=0,m 则C的焦距为. 14 .（5分）已知向量W=（1,3）,E=（3,4）,若（Z-4）,则入 15 .（5分）记那BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为必，B= 60,a2+c2=3ac,贝Ub=. 16.（5分）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图， 组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视

3、图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17 11.（5分）设B是椭圆C:岂5+ =1（ab0）的上顶点，若C上的任意 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据 17.（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某 项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件 产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510

4、.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为M和3，样本方差 分别记为S12和S22. （1）求工，V,S12,S22； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ?-三2倍则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高， 否则不认为有显著提高）. 18.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PDL底面ABCD,PD=DC=1,M为BC中点，且PBXAM. 求BC; （2）求二面角A-PM-B的正弦值. 2 19.（12分）记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知三一 +上=2. 匕门 (1)证明：数列bn是

5、等差数列； (2)求an的通项公式. 20.(12分)己知函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点. (1)求a； (2)设函数g(x)=(工).证明：g(x)0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. 求p; (2)若点P在M上，PA,PB为C的两条切线，A,B是切点，求4PAB面积的最大值. (二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。选彳4-4:坐标系与参数方程(10分) 22.(10分)在直角坐标系xOy中，OC的圆心为C(2,1),半径为1. (1)写出。C的一个参数方程；

6、 (2)过点F(4,1)作。C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程. 选彳4-5:不等式选讲(10分) 23.已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|. (1)当a=1时，求不等式f(x)6的解集； (2)若f(x)-a,求a的取值范围.第 6页（共 29 页） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（5分）设2（z+G）+3（z弓）=4+6i,贝Uz=（） 【分析】利用待定系数法设出z=a+bi,a,b是实数，根据条件建立方程进 行求解即可. 【解答】解

7、：设z=a+bi,a,b是实数， 工=a-bi, WJ由2（z+W）+3（z-z）=4+6i, 得2X2a+3X2bi=4+6i, 得4a+6bi=4+6i, 得，得a=1,b=1, 16b=6 即z=1+i, 故选：C. 【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本 题的关键，是基础题. 2. （5分）已知集合S=s|s=2n+1,nZ,T=t|t=4n+1,nZ,WJSAT =（） A.?B.SC.TD.Z 【分析】分别讨论当n是偶数、奇数时的集合元素情况，结合集合的基本运 2021年全国统一高考数学试卷（理科） （乙卷） A.1-2i B.1+2i C.1+i D.

8、1-i 算进行判断即可. 【解答】解：当n是偶数时，设n=2k,则s=2n+1=4k+1, 当n是奇数时，设n=2k+1,WJs=2n+1=4k+3,kCZ, 则T?S, 则SAT=T, 故选：C. 【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用分类讨论思想结合交集定义是 解决本题的关键，是基础题. 3. （5分）已知命题p：?xCR,sinx1；命题q：?xCR,e凶1,则下列命 题中为真命题的是（） A.pAqB.pAqC.pAqD.（pVq） 【分析】先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案. 【解答】解：对于命题p：?xCR,sinx1, 当x

9、=0时，sinx=01, 因为|x|R,又函数y=ex为单调递增函数，故e|x|e0=1, 故命题q为真命题，q为假命题， 所以pAq为真命题，pAq为假命题，pAq为假命题，（pVq）为假命题， 故选：A. 【点评】本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性 命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题. 4. (5分)设函数f(x)=上三，则下列函数中为奇函数的是( 1+x A.f(x1)TB.f(x1)+1C,f(x+1)-1D,f(x+1)+1 【分析】先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)的对称中心，然后通过图 象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0

10、),从而得到答案. 【解答】解：因为f(x)=-0+1)+21+x 所以函数f(x)的对称中心为(-1,-1), 所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位, 得到函数y=f(x-1)+1，该函数的对称中心为(0,0), 故函数y=f(x-1)+1为奇函数. 故选：B. 【点评】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x) 的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题. 5. (5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1 所成的角为( 【分析】由AD1/BC1,得/PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补 角)，由此利用

11、余弦定理，求出直线PB与AD1所成的角. 【解答】解：.AD1/BC1,/PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的 补角), 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 则PB1=PC1+2,BC1=q22+22=2L,BP卜/工=n, A. 兀 B. 7T C. 7T T D. 兀 in zPBCi=, 直线PB与ADi所成的角为 【点评】本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题. （5分）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志 愿者，则不同的分配方案共有（） A.60种B

12、.120种C.240种D.480种 【分析】5分先选2人一组，然后4组全排列即可. 【解答】解：5名志愿者选2个1组，有醺种方法，然后4组进行全排列， 有种, 共有C#240种， 故选：C. 【点评】本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本 题的关键，是基础题. .cos/PBCi J-FC/2XPBCL V3 故选：D. 7. （5分）把函数y=f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的看倍，纵坐标 不变，再把所得曲线向右平移上个单位长度，得到函数y=sin（x-2L）的34 【分析】由题意利用函数y=Asin（x+小）的图像变换规律，得出结论. 【解答】解：二.把函数y=f

13、（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍, 纵坐标不变, 再把所得曲线向右平移等个单位长度，得到函数y=sin（x- 得至Uy=sin(x+三-sin(x+-)的图像;4 寸J.乙 再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变, 故选：B. 【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+小）的图像变换规律，属基础题. 8. （5分）在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于的 概率为（ C.二； Ky4 即可得出结论. 的图像, 把函数y=sin （xg）的图像，向左平移 十个单位长度, A. 【分析】由题意可得可行域: 图像，则f（x）=（ B.sin D.sin ）的图

14、像. 可得f(x)=sin 【点评】本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. （5分）魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一 题是测量海岛的高.如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂 直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”,EG称为“表距”，GC 和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB 【解答】解：由题意可得可行域: r0 x1 ly I4 ,可得三角形的面积=工过过 244 32 9 32 23 32 八表二又武战士门A-表目距的差+表同 o 表高乂

15、表距.主角B表目距的差表同 【分析】根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可 得出. 理=%1=竺一故地=毁 ABAHBACAAHCA 解彳3AE=EH0及a0时，由三次函数的性质可知，要使C. D. 表高 X表距 我目距的差 +表距 表局 X表距 表目距的差 一表品巨 即建厂而悬而 【解答】解: A.ab C. aba2 x=a是f(x)的极大值点，则函 故选：A. 数f(x)的大致图象如下图所示, 当aa2. 【点评】本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形 结合思想，属于中档题. 2 11.(5分)设B是椭圆C:三丁a 点P都满足|PB|b0)的上顶点

16、，若C上的任意 则0ab; ba驮2 消去x,可得一y22by+a2-3b2=0,b 22 .必b2-4?匕?(a2-3b2)0,b2 整理可得4b4-4a2b2+a40,即(a2-2b2)2sC, 解得a2=2b2,二一二孝， 故e的范围为(0,苧, 故选：C. 【点评】本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归 思想，属于中档题. 12.(5分)设a=2ln1.01,b=ln1.02,cAl.M1,则() A.abcB.bcaC.bacD.cab 【分析】构造函数f(x)=2ln(1+x)-(Ml+4工 T),0Vxb, 令f(x)=2ln(1+x)(Jl+4x1),0Vx

17、1, 令山十4工=t,则1tV5 x= .()t)小(1)=ln21+1ln2=0, .h(x)b, acb. -g(t)=21n( t2+3 4 )-t+1=2ln(t2+3)-t+1-2ln4, 0, g（t）在（1,鸣上单调递增, .g(t)g=2ln4T+21n4=0, .f(x)0, .ac, 同理令h(x)=ln(1+2x)-(d1十4工1), 再令41刊x=t,则10）的一条渐近线为近x+my=0,ID 则C的焦距为4. 【分析】根据题意，由双曲线的性质可得昭=行，解可得m的值，即可得V3 双曲线的标准方程，据此计算c的值，即可得答案. 【解答】解：根据题意，双曲线C:或-y2=

18、1（m0）的一条渐近线为近 x+my=0, 则有31=而，解可得m=3, 则双曲线的方程为-y2=i,则c=di=2, 其焦距2c=4; 故答案为：4. 【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属 于基础题. 14. (5分)已知向量W=(1,3),b=(3,4),若( 【分析】利用向量的坐标运算求得恒-世=（1-3入，3-4人）,再由（W-忠） 可得（月-也）？b=0,即可求解入的值. 【解答】解：因为向量工=（1,3）,三=（3,4）, 贝（Jw2=（13入，34入）一一一 又（且一入b） 所以（6）？4=3（13入）+4（3-4X）=1525人=0, 解得人=.

19、故答案为：1 5 【点评】本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程 思想与运算求解能力，属于基础题. 15. （5分） 记那BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为日:，B=60。，a2+c2=3ac,贝Ub=26. 【分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得. 【解答】解：:zBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为x/1,B =60,a2+c2=3ac, .gacsinB=/l?-acx=f3?ac=4?a2+c2=12, 222 又cosB：-+；一匕？=支2?b=2x号,（负值舍）2aa2o 故答案为：2返. 【点评】本

20、题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题. 16.（5分）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为或 （写出符合要求的一组答案即可）. 【分析】通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、 以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形. 【解答】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1,图形的高也为1,即可能为该三棱锥的侧视图， 图形的长为2,即可能为该三棱锥的俯视图， 当为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为， 当为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线， 可以确

21、定该三棱锥的俯视图为. 故答案为：或. 【点评】该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系， 以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中， 需要较强空间想象，属于中等题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据 要求作答。（一）必考题：共60分。 17.（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某 项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件 第 19 页（共 29 页）产品该项指标数据如下: 旧设备9.810.3

22、10.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为区加样本方差分别记为S12和S22. (1)求工，y,S12,S22； (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果 彳-工2j上手,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高， 否则不认为有显著提高). 【分析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可； (2)比较&与2涓萨的大小,即可判断得到答案. 【解答】解：(1)由题中的数据可得，彳二乂(9

23、.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10, =乂(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)= 10.3, S12=j(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8-10)2 +(1010)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.710)2=0.036;S22=X(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0- 10.3)2+(10.1-10.3)2 +(10.3

24、-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+ (10.5-10.3)2=0.04; (2)y-7=10,3-10=0.心 2用=产嚓工标174， I2,2 所以,2_1_,Vio 故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 【点评】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的 计算公式，考查了运算能力，属于基础题. 18. (12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PDL底面ABCD,PD= DC=1,M为BC中点，且PBXAM. 求BC; (2)求二面角A-PM-B的正弦值. 【分析】(1)连结BD,利用线面垂直

25、的性质定理证明AM PD,从而可以 证明AM，平面PBD,得到AM BD,证明RtABsRtaBM,即可得到 BC的长度； (2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系 求解即可. 【解答】解：(1)连结BD,因为PD，底面ABCD,且AM?平面ABCD, 则AM，PD,又AM，PB,PBAPD=P,PB,PD?平面PBD, 所以AM，平面PBD,又BD?平面PBD,则AM BD, 所以/ABD+/DAM=90,又AM+/MAB=90 , 贝U有/ADB=/MAB,所以Rt竺ABc/RtABM, 则聚畸，

26、所以派落1,解得BC=& (2)因为DA,DC,DP两两垂直，故以点D位坐标原点建立空间直角坐标 系如图所示， 则京亚，0,。)，B1,0),M哈1,0),P(0,0,1), 所以屈(-近，0,D 嬴=(*，170),赢二(*，5。)，BP=(-V2-1，1), 设平面AMP的法向量为V,切， l*ro n,AP=0口口 则有，即虫., LL 令冀*2WJy=1,z=2,故福(限h2), 设平面BMP的法向量为需(p,q,r), L-.(V2 n.nfBM=0-5-p=O 则有:，即2, 11n=Q、_p_q+r=。 令q=1,则r=1,故/g,1,1), 设二面角A-PM-B的平面角

27、为a,所以|mni InImlV?xV2 bn-bn-1=/,进一步得到数 则sin民仁工心房互（噜了书所以二面角A-PM-B的正弦值为唔. 【点评】本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空 间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为 空间向量问题进行研究，属于中档题. 19. （12分）记Sn为数列an的前n项和,bn为数列Sn的前n项积,已知 （1）证明：数列bn是等差数列; （2）求an的通项公式. 【分析】（1）由题意当n=1时，bi=Si,代入已知等式可得bi的值，当n 列bn是等差数列； 2时，将以了治， 可得 (2)由ai=Si=bi=&

28、amp;,可得bn=,代入已知等式可得Sn=3,当n22n+1 2时，an=Sn-Sn-1=-/工，进一步得到数列an的通项公式. 【解答】解：(1)证明：当n=1时，bi=Si, 由上+上=2,解得bi=2, 如2 当n2时，上L=Sn,代入-+工=2, 消去Sn,可得三上空工=2,所以bn-bni=-l,|L|闻2 所以bn是以目为首项，方为公差的等差数列. (2)由题思，得ai=Si=bi=亍， 由(I),可得bn=-1-+(n-i)Xry=T，ib-ii. 由*+3=2,可得Sn=， 工L门十1 当n2时，an=Sn-Sn-1=门1=/1；%,显然ai不满足该式,n-+innE+U 3

29、. 5，n=l 所以an=. /n(n+lP口)2 【点评】本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想， 是基础题. 20. .(12分)己知函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点. (1)求a； 、r一，Jt4f(K)、r (2)设函数g(x)=.证明：g(x)1. 【分析】(1)确定函数f(x)的定义域，令g(x)=xf(x),由极值的定义 得到g(x)=0,求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值； (2)将问题转化为证明xln(Lr) xln(1-x),令h(x)=x+(1-x)In(1-x),利用导数研究h(x)的单 调性，证明h(x)h(

30、0),即可证明. 【解答】(1)解：由题意，f(x)的定义域为(-8,a), 令g(x)=xf(x),贝Ug(x)=xln(ax),x(一,a), 贝Ug(x)=ln(ax)+x?L=1口戈)二,a-xa-y 因为x=0是函数y=xf(x)的极值点，则有g(x)=0,即lna=0,所以 则g(x)在(-oo,1)上单调递减, 所以当x(-8,a)时，g(x)0, 当xC(0,1)时，g(x)0, 所以a=1时，x=0时函数y=xf(x)的一个极大值. 综上所述，a=1; (2)证明：由(1)可知，xf(x)=xln(1x), 因为当x(一oo,0)时，xln(1-x)0, 当xC(0,1)时，

31、xln(1-x)xln(1x),即x+(1x)ln(1-x)0, 令h(x)=x+(1x)ln(1x), 当a=1时，g(x)= ，且g(0) =0, 因为g(x)= 二：,二 要证詈导即需证明 /1口(下耳)X xln(1-K) 贝Uh(x)=(1-x)-1(1-x)， 1-x 所以h(0)=0,当x(8,0)时，h(x)0, 所以x=0为h(x)的极小值点， 所以h(x)h(0)=0,即x+ln(1x)xln(1x), 所以坐毕xf(x) 【点评】本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值 问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数 的取值范围问题，

32、考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题. 21.(12分)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+ (y+4)2=1上点的距离的最小值为4. 求P； (2)若点P在M上，PA,PB为C的两条切线，A,B是切点，求4PAB面积的最大值. 【分析】(1)由点F到圆M上的点最小值为4建立关于p的方程，解出即可； (2)对=/求导，由导数的几何意义可得出直线PA及PB的方程，进而 得到点P的坐标，再将AB的方程与抛物线方程联立，可得P(2k,-b),|AB| 以及点P到直线AB的距离，进而表示出4PAB的面积，再求出其最小值即可. 【解答】解：点F(0今)到圆M上的点的距离的最小值为齐沙4-1犍 解得p=2; (2)由(1)知，抛物线的方程为x2=4y,即产去公，则，斗丈, 工+1门(1-工) 0,即k2+b0,且xi+X2=4k,xiX2=-4b, .P(2k,b), 21A2b| 3_ 妞卷瓦Id=4(k2+b)&, 而yp=_bC5,3, 二当b=5时，隆.”卯二2 【点评】本题考查