第1章++15++力的时间和空间积累效应

1、五五. 动量定理与动量守恒定律（矢量角度）动量定理与动量守恒定律（矢量角度） (conservation of momentum) （1.5.1）Fma1212过程过程力作用的积累力作用的积累按时间按时间按空间按空间冲量冲量功功过程过程*. 动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律 (conservation of momentum) *. 动能定理与能量（机械能）守恒定律动能定理与能量（机械能）守恒定律 (conservation of mechanical energy *. 角动量定理与角动量守恒定律角动量定理与角动量守恒定律 (conservation of angular mom

2、entum) 三个定理与三个守恒定律（过程）三个定理与三个守恒定律（过程）1. 质点动量定理与动量守恒质点动量定理与动量守恒Principal of partical momentum()d mvFdt)( vmddtF1221vmvmdtFItt冲量（冲量（Impulse)（力的时间积累效应（力的时间积累效应, , Ns ）dI质点动量定理质点动量定理例例1. 质量为质量为m的质点，以不变速率的质点，以不变速率v沿图中正三角形沿图中正三角形ABC的水平光滑轨道运动质点越过的水平光滑轨道运动质点越过A角时，轨道作角时，轨道作用于质点的冲量为用于质点的冲量为 A C B 3Imvjxy例例2 图

3、示一圆锥摆，质量为图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面的小球在水平面内以角速度内以角速度w匀速转动在小球转动一周的过程匀速转动在小球转动一周的过程中，中， (1) 小球动量增量等于小球动量增量等于_ (2) 小球所受重力的冲量小球所受重力的冲量_ (3) 小球所受绳子拉力的冲量大小等于小球所受绳子拉力的冲量大小等于_ 0y2mgImgj 2TImgjIG+IT=P例例3. 一物体质量为一物体质量为10 kg，受到方向不变的力，受到方向不变的力F3040t (SI)作用，在开始的两秒内，此力冲量的大作用，在开始的两秒内，此力冲量的大小等于小等于_；2120d(3040 )d140( N s)tt

4、IFttt2140 =10(-10)21I = mv -mvv24( m/s)2v2. 质点系动量定理与动量守恒质点系动量定理与动量守恒质点系的内力与外力质点系的内力与外力 质点系质点系质点系的动量质点系的动量 iiPp12mm（）由由分立质点分立质点 mi 组成组成mi由由质量元质量元 dm 组成组成dm 质点系质点系mj内力：内力： 系统系统各质点间的相互作用力各质点间的相互作用力ijf成对出现；成对出现；大小相等方向相反。大小相等方向相反。iF外jFj外1iF外外力：外力：系统系统对质点系对质点系 内部质点的作用力内部质点的作用力0ifi内mijif 质点系的内力与外力质点系的内力与外力

5、111.m v1f内2f内221.mv1F外2F外I111.m v222.mv1F外2F外112.m v1f内1drII2dr过程过程2222()()iiiiiPpm v系1111()()iiiiiPpm v系 质点系的动量质点系的动量 质点系动量定理质点系动量定理 1:m2:m1 11,)()fFdtd mv外1内（2 22,)()fFdtd m v外2内（20dIffdt内1 内内（）1,21 122,()()外外FFdtd m vm v12():mm()iidIFdtdP外外系21IPP外系系质点系动量定理质点系动量定理内力不改变系统的动量但可改变系统内质点的动量内力不改变系统的动量但可

6、改变系统内质点的动量1230,0,0,iixxxiiiyyyiiizzziFmvPCFmvPCFmvPC外外外iiiiiPpm v系常矢量常矢量 质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律 ：0iiF外()iidIFdtdP外外系三个方向必三个方向必须同时满足须同时满足时系统动量时系统动量守恒守恒vm人在船上行走人在船上行走例例. 质量为质量为M1.5 kg的物体，用一根长为的物体，用一根长为l1.25 m的的细绳细绳悬挂在天花板上今有一质量为悬挂在天花板上今有一质量为m10 g的子弹的子弹以以v0500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小弹的

7、速度大小v 30 m/s，设穿透时间极短求：，设穿透时间极短求： (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小；子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量子弹在穿透过程中所受的冲量 lMm0v vxy解：解：(1)子弹、物体系统：穿透过程水平向未受外力子弹、物体系统：穿透过程水平向未受外力系统在水平方向动量守恒。设子弹穿出时物体的水系统在水平方向动量守恒。设子弹穿出时物体的水平速度为平速度为v201.0 10(30500)4.7(N s)xImvmv (2)0:0 x mvmvMV3.13(/ )26.5()Vm sTN2：VyTMgMlMgTVMyx六六. 动能定理与机械能守恒定

8、律（标量角度）动能定理与机械能守恒定律（标量角度）(Kinetic energy theorem) (convercation of mechenical energy ) （1.5.2）1. 功（功（work)（1）力对质点的功）力对质点的功中学：直线位移常力的功中学：直线位移常力的功cosAF x大学：曲线、变力的功大学：曲线、变力的功F？BABASrdFdAAAFdrBrdFrdFdAcos微分、积分微分、积分元过程力的功：元过程力的功：dAF dr宏观过程力的功：宏观过程力的功：例例1 1：如果一质点位置的时间函数是如果一质点位置的时间函数是 （m），质点受到的力中有一个力是，质点受到

9、的力中有一个力是 （N）。求：当质点从）。求：当质点从 秒位置运动到秒位置运动到 秒位置过程中这个力的功。秒位置过程中这个力的功。j tir32 i tF21t2t解：解：(2 ) (3)0dAF drtidtj0AdA例例2：一力一力3()Fxi N而质点运动函数而质点运动函数33( )rxiyj m求质点在求质点在(0,0)(2,3)空间位置变化过程中力的功。空间位置变化过程中力的功。解：解：(3) (33)9dAF drxidxidyjxdx222009918( )2AxdxxJa=(X1,Y1),b=(X2,Y2)则a.b=X1X2+Y1Y2（2）力对质点系做功）力对质点系做功111.

10、m v1f内2f内221.mv1F外2F外I111.m v222.mv1F外2F外112.m v1f内1drII2dr过程过程1111neidA( F +f) dr外1211221122(inindAdAdAFdr+Fdr )+(fdr+fdr外外）2222neidA(F +f) dr外inAAA外indA=dAdA外（3）一对内力对质点系做的功）一对内力对质点系做的功12ff 1212112121222211)()(rdfrrdfrdfrrdfrdfrdfdA 22211Afdr1f2f21r1m2mO1r2r21121Afdr一对内力做的功与参照系选择无关，一对内力做的功与参照系选择无关，

11、只决定于两质点间的相对路径。只决定于两质点间的相对路径。 无论惯性系还是非惯性系。无论惯性系还是非惯性系。1212112121222211)()(rdfrrdfrdfrrdfrdfrdfdA 一个参照系一个参照系一个参照系一个参照系一个参照系一个参照系例例1：求求A、B之间一对摩擦力的功之间一对摩擦力的功FFrAB一对摩擦力的功为零，每个摩擦力的功不为零。一对摩擦力的功为零，每个摩擦力的功不为零。例例2: 有一面为有一面为1/4凹圆柱面（半径凹圆柱面（半径R）的物体（质量）的物体（质量M）放置在）放置在 光滑水平面，一小球（质量光滑水平面，一小球（质量m），从静），从静止开始沿圆面从顶端无摩擦

12、下落（如图），小球从止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体时速度水平方向飞离大物体时速度 v ，求：小球和物体内，求：小球和物体内力所做的功。力所做的功。RMm（零）（零）（4）保守力与保守力的功）保守力与保守力的功 如果力作用在物体上，当物体沿闭合路径移动如果力作用在物体上，当物体沿闭合路径移动一周时，力做的功为零，这样的力叫保守力。一周时，力做的功为零，这样的力叫保守力。0f drmbafff 保守力保守力 如果一对内力的功与相对路径无关如果一对内力的功与相对路径无关,只决定于相只决定于相互作用的质点的始末位置互作用的质点的始末位置,这样一对力叫保守内力。这样一对力

13、叫保守内力。Mmff Mmbafff 一对保守内力的功一对保守内力的功0rr(t)drf 引引drBrr(tdt)A Mm recosrredredrdr02rA Bm MrMmrGmMAfdredrr引例例1： 质点系内质点系内一对万有引力的功一对万有引力的功02rA BrdrAGmMr0()() MmMmGGrr一对万有引力是保守内力一对万有引力是保守内力例例2: （k+m)系统内一对弹性内力的功系统内一对弹性内力的功x自然长度自然长度弹簧弹簧XF0m12由由 1 到到 2弹力的功弹力的功Fkx 22221111()22kAkxdxkxkx 弹性力是保守力，弹性内力是保守内力弹性力是保守力

14、，弹性内力是保守内力弹簧原长位置建立原点弹簧原长位置建立原点摩擦力是非保守力，系统内一对摩擦摩擦力是非保守力，系统内一对摩擦内力是非保守内力。内力是非保守内力。2. 质点动能定理质点动能定理 2222() ()()1()21()2xzxyzyxxyyzzxyzdvdAF drmdrmdv vdtm dv idv jdv kv iv jv km v dvv dvv dvmd vvvdmv 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。21()2dAF drdmv2122212121mvmvArdF （力的空间积累效应）（力的空间积累效应）质点动能定理质点动能定理

15、 LLxeAdxAeA0)1(解解： mvmeAvL/ ) 1(2 质量为质量为m的物体，在原点从静止开始在力的物体，在原点从静止开始在力F=Aex 的作用下，沿的作用下，沿X轴正向运动。求物体移动到轴正向运动。求物体移动到L时时 质点的速度。（质点的速度。（A，a是常量）是常量）例例.3. 质点系的动能定理质点系的动能定理（1 1） 系统的动能系统的动能iivm221iiikvmE 系系111.m v1f内2f内221.mv1F外2F外I111.m v222.mv1F外2F外112.m v1f内1drII2dr过程过程（2）系统动能定理）系统动能定理21111 112nei(F +f) dr

16、d(mv )外1:m2:m12():mm11222211221 1221122inin( Fdr+Fdr )+(fdr+fdrd(m vm v )外外）in()kdAdAd E外系22222212nei( F +f) drd(m v )外inkkAAEE外系系I II II I质点质点系系动能定理动能定理4. 系统机械能守恒定律系统机械能守恒定律（1） 势能的引入势能的引入用系统势能表示系统保守内力的功用系统势能表示系统保守内力的功pEkE0()() 万有引力MmMmAGGrr系统能量的增量的负值系统能量的增量的负值决定于质点间的始末相对位置决定于质点间的始末相对位置(位形位形)所以叫势能或位

17、能所以叫势能或位能,(0) pp rMmEGEr两质点间的引力势能两质点间的引力势能功功 万有引力内力功与系统（万有引力内力功与系统（M+m)引力势引力势能能 00P0()0 rMmEGr地面地面mhh0(0,0)pphEghEm,(0) ，php rMmEGERh00P0()0 rMmEGr0,(0) ，php rMmEGER,02()()() ，phP hMmMmEEGGRhRHMmGMmGhmghR RhR例：例： 弹性力的功与系统（弹性力的功与系统（k+m)弹性势能弹性势能 22212111()22()kpppAkxkxEEE 21(0,02EkxxEp弹p弹）系统（系统（k+m)弹性

18、势能弹性势能 弹簧原长位置建立原点弹簧原长位置建立原点竖直弹簧振子竖直弹簧振子0y22012()pEk yy重力势能重力势能求：求： 0y 势能的变化势能的变化mk（地球）1 pEmgy212pEky(0)0pEy 设势能零点：设势能零点：:y弹性势能弹性势能222001122()pEk yyky:mk（地球）例：例：e000e()ypggyyEffdrfdrfdr 系统势能等于保守内力从此状态到系统势能系统势能等于保守内力从此状态到系统势能零点所做的功零点所做的功m1yy2y0()k yymg求：求：y1y2 时的时的 势能变化势能变化mk（地地球球）: :例：例：平衡位置作为势能零点（参考

19、点）平衡位置作为势能零点（参考点）2110112220221:()21:()2ppyEk yymgyyEk yymgy21222102121222111()()221122pppEEEkykykyyymg yykykym+k: 势能势能m+地地:势能势能m+k+地地:势能势能0yyo例：例： 竖直弹簧振子。弹簧的劲度系数为竖直弹簧振子。弹簧的劲度系数为kA。平衡位平衡位置为势能零点时不同系统的势能。置为势能零点时不同系统的势能。 由势能求保守力由势能求保守力 pdAdE xEFpx yEFpy zEFpz ()pxyzdEF drF dxF dyF dz （2 2）系统的功能原理：系统的功能原

20、理：质点系的动能定理质点系的动能定理()外系inkdAdAd E ()外非保守力保守力系ininkdAdAdAd E ()()外非保守力系inpkdAdAdEd E()()()外非保守力系系inpkpkdAdAd Ed Ed EE ()外非保守力系机械能indAdAd E系统的功能原理系统的功能原理系机械能系 机械能IIIEE 非非保保守守内内外外AA（3） 系统的机械能守恒定律系统的机械能守恒定律只有保守内力做功只有保守内力做功E系机械能常量0 非非保保守守内内外外若若：AA则：则：0) pIkIpIIkIIEEEE（）（)pIkIpIIkIIEEEE （）（系统初末状态机械能相等系统初末状

21、态机械能相等系统的机械能守恒定律系统的机械能守恒定律dAdAd E外非保守内系机械能（）in0外非保守dAdA例例：质量为：质量为m的小珠子系在长为的小珠子系在长为L的细线的一端，的细线的一端， 细线的另一端固定。起始线与小珠子水平静细线的另一端固定。起始线与小珠子水平静 止，当珠子自由下摆止，当珠子自由下摆角时小珠子的速率是角时小珠子的速率是 多少？多少？mL21sin22sinmgLmvvgL质点动能定理：质点动能定理：m系统功能原理：（系统功能原理：（m+地）地）0pE sinpEmgl 2100(sin )2mvmgl 系统机械能守恒系统机械能守恒 ： (m+地地)2100(sin )

22、2mvmgl mL C 例例1. 考虑下列四个实例你认为哪一个实例中物体考虑下列四个实例你认为哪一个实例中物体和地球构成的系统的机械能不守恒和地球构成的系统的机械能不守恒? (A) 物体作圆锥摆运动物体作圆锥摆运动 (B) 抛出的铁饼作斜抛运动（不计空气阻力）抛出的铁饼作斜抛运动（不计空气阻力） (C) 物体在拉力作用下沿光滑斜面匀速上升物体在拉力作用下沿光滑斜面匀速上升 (D) 物体在光滑斜面上自由滑下物体在光滑斜面上自由滑下 例例2. 一人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点为一人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点为A，远地点为，远地点为BA、B两点距地心分别为两点距地心分别为r1 、r2

23、。设。设卫星质量为卫星质量为m，地球质量为，地球质量为M，万有引力常量为，万有引力常量为G则卫星在则卫星在A、B两点处地球卫星的万有引力势能之差两点处地球卫星的万有引力势能之差EPB - EPA=_；卫星在；卫星在A、B两点的动能之差两点的动能之差EPBEPA_ABr1r2地心2112rrrrGMm2121rrrrGMm七七. 角动量定理与角动量守恒定律角动量定理与角动量守恒定律(Angular momentum) （1.5.3）1. 质点的角动量定理与角动量守恒质点的角动量定理与角动量守恒（1） 力矩：力矩： (点力矩点力矩)OFrMrFsinMFr取决于固定点取决于固定点 的选择（点力矩）

24、的选择（点力矩）sinMrF力矩方向力矩方向Fr 单位单位:mN 右手螺旋法右手螺旋法在讲力矩时一定指明对那一个点而言在讲力矩时一定指明对那一个点而言.点力矩：点力矩：(Torgue)MrFMrF oMrFdpFdtdprdt()d rpdLdtdtdLMdtvmrL 动量矩动量矩MrF点力矩：点力矩：牛顿定理另一种形式牛顿定理另一种形式 （2） 质点角动量质点角动量 LvmrL 取决于固定点的选择取决于固定点的选择sinLmvr角动量方向角动量方向pr sJsmkg 12MdtLd LddtM1221LLdtMttLrmv常矢量常矢量 质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律 质点角动量定理质点角动量定理 （过程中对某一固定点质点的角动量保持不变）（过程中对某一固定点质点的角动量保持不变）0 M(F,r,)冲量矩冲量矩（3） 质点角动量定理与守恒质点角动量定理与守恒匀速圆周运动质点相对圆心的角动量守恒匀速圆周运动质点相对圆心的角动量守恒.行星围绕太阳的椭圆运动中行星围绕太阳的椭圆运动中,相对于太阳的角动量相对于太阳的角动量 保持不变保持不变. 因为受到的是有心力因为受到的是有心力